高考数学复习第五章平面向量与解三角形5.2平面向量的数量积及其应用市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 平面向量与解三角形,5,.,2,平面向量数量积及其应用,高考数学,(浙江专用),1/73,考点一平面向量数量积,1.(浙江,10,4分)如图,已知平面四边形,ABCD,AB,BC,AB,=,BC,=,AD,=2,CD,=3,AC,与,BD,交于点,O,.记,I,1,=,I,2,=,I,3,=,则,(),A.,I,1,I,2,I,3,B.,I,1,I,3,I,2,C.,I,3,I,1,I,2,D.,I,2,I,1,0,n,m,.,从而,DBC,45,又,BCO,=45,BOC,为锐角.,从而,AOB,为钝角.故,I,1,0,I,3,0.,又,OA,OC,OB,1),=-,2,(,2,1),从而,I,3,=,1,2,=,1,2,I,1,又,1,2,1,I,1,0,I,3,0,I,3,I,1,I,3,I,1,0,不符合,故B错.因为|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,+2,a,b,|,a,-,b,|,2,=|,a,|,2,+,|,b,|,2,-2,a,b,则当,a,b,0时,max|,a,+,b,|,2,|,a,-,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,+2,a,b,|,a,|,2,+|,b,|,2,;当,a,b,0时,max|,a,+,b,|,2,|,a,-,b,|,2,=|,a,|,2,+,|,b,|,2,-2,a,b,|,a,|,2,+|,b,|,2,故总有max|,a,+,b,|,2,|,a,-,b,|,2,|,a,|,2,+|,b,|,2,.故选D.,4.(课标全国,3,5分)已知向量,a,=(1,m,),b,=(3,-2),且(,a,+,b,),b,则,m,=,(),A.-8B.-6C.6D.8,答案,D由题可得,a,+,b,=(4,m,-2),(,a,+,b,),b,4,3-2,(,m,-2)=0,m,=8.故选D.,5.(北京,4,5分)设,a,b,是向量,则“|,a,|=|,b,|”是“|,a,+,b,|=|,a,-,b,|”,(),A.充分而无须要条件B.必要而不充分条件,C.充分必要条件D.既不充分也无须要条件,7/73,答案,D当|,a,|=|,b,|,0时,|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,(,a,+,b,),2,=(,a,-,b,),2,a,b,=0,a,b,推不出|,a,|=|,b,|.一样,由|,a,|=|,b,|也,不能推出,a,b,.故选D.,解后反思,由向量加法、减法几何意义知,当,a,、,b,不共线,且|,a,|=|,b,|时,a,+,b,与,a,-,b,垂直;当,a,b,时,|,a,+,b,|=|,a,-,b,|.,评析,本题考查向量模及运算性质,属轻易题.,6.(天津,7,5分)已知,ABC,是边长为1等边三角形,点,D,E,分别是边,AB,BC,中点,连接,DE,并,延长到点,F,使得,DE,=2,EF,则,值为,(),A.-,B.,C.,D.,8/73,答案,B建立平面直角坐标系,如图.,则,B,C,A,所以,=(1,0).,易知,DE,=,AC,则,EF,=,AC,=,因为,FEC,=60,所以点,F,坐标为,所以,=,所以,=,(1,0)=,.故选B.,疑难突破,若利用公式,a,b,=|,a,|,b,|cos求解十分困难,则能够考虑建立平面直角坐标系,利用,坐标运算求解.确定点,F,坐标是解题关键.,9/73,评析,本题考查了向量坐标运算和向量数量积.考查运算求解能力和数形结合思想.,7.(山东,8,5分)已知非零向量,m,n,满足4|,m,|=3|,n,|,cos=,.若,n,(,tm,+,n,),则实数,t,值为,(),A.4B.-4C.,D.-,答案,B因为,n,(,tm,+,n,),所以,tm,n,+,n,2,=0,所以,m,n,=-,又4|,m,|=3|,n,|,所以cos=,=,=-,=,所以t=-4.故选B.,评析,本题主要考查了非零向量垂直充要条件和夹角公式,属中等题.,10/73,8.(安徽,8,5分),ABC,是边长为2等边三角形,已知向量,a,b,满足,=2,a,=2,a,+,b,则以下结,论正确是,(),A.|,b,|=1B.,a,b,C.,a,b,=1D.(4,a,+,b,),答案,D,b,=-,=,|,b,|=|=2,故A错;,=2,2,cos 60,=2,即-2,a,b,=2,a,b,=-1,故B、C都错;(4,a,+,b,)=(4,a,+,b,),b,=4,a,b,+,b,2,=-4+4=0,(4,a,+,b,),故选D.,9.(福建,9,5分)已知,|,|=,|,|=,t,.若点,P,是,ABC,所在平面内一点,且,=,+,则,最大值等于,(),A.13B.15C.19D.21,11/73,答案,A以,A,为原点,AB,所在直线为,x,轴,AC,所在直线为,y,轴建立平面直角坐标系,则,B,(,t,0),C,(0,t,),P,(1,4),=,(-1,t,-4)=17-,17-2,2=13,故 最大值为13,故选A.,10.(山东,4,5分)已知菱形,ABCD,边长为,a,ABC,=60,则,=,(),A.B.C.,D.,答案,D,=(,+,),=,+=,a,2,+,a,2,=,a,2,.,11.(课标全国文,13,5分)已知向量,a,=(-2,3),b,=(3,m,),且,a,b,则,m,=,.,答案,2,解析,a,b,a,b,=0,又,a,=(-2,3),b,=(3,m,),-6+3,m,=0,解得,m,=2.,12/73,12.(北京文,12,5分)已知点,P,在圆,x,2,+,y,2,=1上,点,A,坐标为(-2,0),O,为原点,则,最大值,为,.,答案,6,解析,解法一:,表示,在方向上投影与|乘积,当,P,在,B,点时,有最大值,此时,=2,3=6.,解法二:设,P,(,x,y,),则,=(2,0)(,x,+2,y,)=2,x,+4,由题意知-1,x,1,x,=1时,取最大值6,最大值为6.,13/73,13.(课标全国理,13,5分)已知向量,a,b,夹角为60,|,a,|=2,|,b,|=1,则|,a,+2,b,|=,.,答案,2,解析,本题考查向量数量积计算.,由题意知,a,b,=|,a,|,b,|cos 60,=2,1,=1,则|,a,+2,b,|,2,=(,a,+2,b,),2,=|,a,|,2,+4|,b,|,2,+4,a,b,=4+4+4=12.,所以|,a,+2,b,|=2,.,14.(山东理,12,5分)已知,e,1,e,2,是相互垂直单位向量.若,e,1,-,e,2,与,e,1,+,e,2,夹角为60,则实数,值是,.,答案,解析,本题考查向量坐标运算和向量夹角公式.,由题意不妨设,e,1,=(1,0),e,2,=(0,1),则,e,1,-,e,2,=(,-1),e,1,+,e,2,=(1,).依据向量夹角公式得cos 60,=,=,=,所以,-,=,解得,=,.,14/73,疑难突破,依据“,e,1,e,2,是相互垂直单位向量”将原问题转化为向量坐标运算是处理本题,突破口.,易错警示,对向量夹角公式掌握不牢而致错.,15.(浙江文,15,4分)已知平面向量,a,b,|,a,|=1,|,b,|=2,a,b,=1.若,e,为平面单位向量,则|,a,e,|+|,b,e,|最,大值是,.,答案,15/73,解析,由已知易得,a,b,所成角为60,如图.,设向量,e,与,a,所成角为,e,与,b,所成角为,则,与,关系为,=60,-,(,e,在区域)或,=60,+,(,e,在区域)或,=300,-,(,e,在区域)或,=,-60,(,e,在区域).,当,=60,-,(,e,在区域)时,|,a,e,|+|,b,e,|=cos,+2cos,=2cos,+,sin,=,sin(,+,),其中tan,=,则,30,+,60,+,|,a,e,|+|,b,e,|最大值为,.,同理可得另三种情况下所求最大值均为,.,故|,a,e,|+|,b,e,|最大值为,.,16/73,16.(天津,14,5分)在等腰梯形,ABCD,中,已知,AB,DC,AB,=2,BC,=1,ABC,=60,.动点,E,和,F,分别,在线段,BC,和,DC,上,且,=,=,则,最小值为,.,答案,解析,如图,以,A,为原点,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,则,B,(2,0),C,D,.,由,=,得,E,由,=,得,F,.,从而,=,=,+,+,+2,=,当且仅当,=,时,取等号,.,17/73,17.(江苏,12,5分)如图,在平行四边形,ABCD,中,已知,AB,=8,AD,=5,=3,=2,则,值是,.,答案,22,解析,=(,+,)(+),=,=,-,+,=25-,64-,=13-,=2,故,=22.,18/73,18.(安徽,15,5分)已知两个不相等非零向量,a,b,两组向量,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,和,y,1,y,2,y,3,y,4,y,5,均由2个,a,和3个,b,排列而成.记,S,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,3,y,3,+,x,4,y,4,+,x,5,y,5,S,min,表示,S,全部可能取值中最小值.则以下命题,正确是,(写出全部正确命题编号).,S,有5个不一样值若,a,b,则,S,min,与|,a,|无关,若,a,b,则,S,min,与|,b,|无关若|,b,|4|,a,|,则,S,min,0,若|,b,|=2|,a,|,S,min,=8|,a,|,2,则,a,与,b,夹角为,答案,解析,依据题意得,S,取值依据含,a,2,个数,分三类:有0个,a,2,有1个,a,2,有2个,a,2,.分别得,S,取值为,S,1,=4|,a,|,b,|cos,+,b,2,S,2,=2|,a,|,b,|cos,+,a,2,+2,b,2,S,3,=2,a,2,+3,b,2,(记,=).,S,至多有3个不一样值,故错误;,若,a,b,则,=90,易知,S,min,=,S,1,=,b,2,=|,b,|,2,与|,a,|无关,故正确;,若,a,b,则,S,三个值均与|,b,|相关,S,min,也一定与|,b,|相关,故错误;,若|,b,|4|,a,|,则S,1,-16,a,2,|cos,|+16,a,2,=16,a,2,(1-|cos,|),0,S,2,-8,a,2,|cos,|+,a,2,+32,a,2,=,a,2,(33-8|cos,|)0,S,3,0,S,min,0,故正确;,若|,b,|=2|,a,|,则,S,1,=8,a,2,cos,+4,a,2,S,2,=4,a,2,cos,+9,a,2,S,3,=2,a,2,+12,a,2,=14,a,2,S,2,-,S,1,=,a,2,(5-4cos,)0,S,3,-,S,1,=2,a,2,(5-,4cos,)0,S,min,=,S,1,=8,a,2,cos,+4,a,2,若,S,min,=8|,a,|,2,则可解得cos,=,=,.故错误.,19/73,19.(江西,12,5分)设,e,1,e,2,为单位向量,且,e,1,e,2,夹角为,若,a,=,e,1,+3,e,2,b,=2,e,1,则向量,a,在,b,方向上,射影为,.,答案,解析,向量,a,在,b,方向上射影为|,a,|cos=,a,b,=(,e,1,+3,e,2,)2,e,1,=2,+6,e,1,e,2,=2+6,=5,|,b,|=|2,e,1,|=2,|,a,|cos=,.,20.(广东,16,12分)在平面直角坐标系,xOy,中,已知向量,m,=,n,=(sin,x,cos,x,),x,.,(1)若,m,n,求tan,x,值;,(2)若,m,与,n,夹角为,求,x,值.,20/73,解析,(1)因为,m,n,所以,m,n,=,sin,x,-,cos,x,=0.,即sin,x,=cos,x,又,x,所以tan,x,=,=1.,(2)易求得|,m,|=1,|,n,|=,=1.,因为,m,与,n,夹角为,所以cos,=,=,.,则,sin,x,-,cos,x,=sin,=,.,又因为,x,所以,x,-,.,所以,x,-,=,解得,x,=,.,21/73,21.(纲领全国,4,5分)若向量,a,、,b,满足:|,a,|=1,(,a,+,b,),a,(2,a,+,b,),b,则|,b,|=,(),A.2B.,C.1D.,以下为教师用书专用,答案,B由题意得,-2,a,2,+,b,2,=0,即-2|,a,|,2,+|,b,|,2,=0,又|,a,|=1,|,b,|=,.故选B.,22.(重庆,6,5分)若非零向量,a,b,满足|,a,|=,|,b,|,且(,a,-,b,)(3,a,+2,b,),则,a,与,b,夹角为,(),A.,B.,C.,D.,答案,A(,a,-,b,)(3,a,+2,b,),(,a,-,b,)(3,a,+2,b,)=0,3|,a,|,2,-,a,b,-2|,b,|,2,=0,3|,a,|,2,-|,a,|,b,|cos-2|,b,|,2,=0.,又|,a,|=,|,b,|,|,b,|,2,-,|,b,|,2,cos-2|,b,|,2,=0.,cos=,.0,=,.选A.,22/73,23.(四川,7,5分)平面向量,a,=(1,2),b,=(4,2),c,=,ma,+,b,(,m,R),且,c,与,a,夹角等于,c,与,b,夹角,则,m,=,(),A.-2B.-1C.1D.2,答案,D解法一:由,c,与,a,夹角等于,c,与,b,夹角,可设,c,=,=,a,+,b,(,R),c,=,ma,+,b,m,=2.,解法二:,c,=,ma,+,b,=(,m,+4,2,m,+2),c,与,a,夹角等于,c,与,b,夹角,且向量夹角取值范围是0,=,2(,a,c,)=,b,c,2(,m,+4+4,m,+4)=4,m,+16+4,m,+4,m,=2.,23/73,24.(天津,8,5分)已知菱形,ABCD,边长为2,BAD,=120,点,E,F,分别在边,BC,DC,上,BE,=,BC,DF,=,DC,.若,=1,=-,则,+,=,(),A.,B.,C.,D.,答案,C以,为基向量,则,=(,+,)(,+,)=,+,+(1+,),=4,(,+,)-2(1+,)=1.,=(,-1),(,-1),=-2(,-1)(,-1)=-,由可得,+,=,.,评析,本题考查平面向量基本定理,数量积等相关运算,难度中等.,25.(课标,3,5分)设向量,a,b,满足|,a,+,b,|=,|,a,-,b,|=,则,a,b,=,(),A.1B.2C.3D.5,答案,A由|,a,+,b,|=,得,a,2,+,b,2,+2,a,b,=10,由|,a,-,b,|=,得,a,2,+,b,2,-2,a,b,=6,-得4,a,b,=4,a,b,=1,故选A.,24/73,26.(陕西,3,5分)设,a,b,为向量,则“|,a,b,|=|,a,|,b,|”是“,a,b,”,(),A.充分无须要条件B.必要不充分条件,C.充分必要条件D.既不充分也无须要条件,答案,C|,a,b,|=|,a,|,b,|cos|=|,a,|,b,|,故|cos|=1,故,a,b,同向或反向,即,a,b,反之也成立.故为,充分必要条件.,27.(湖北,6,5分)已知点,A,(-1,1)、,B,(1,2)、,C,(-2,-1)、,D,(3,4),则向量,在方向上投影为,(),A.,B.,C.-,D.-,答案,A,=(2,1),=(5,5),|=5,故,在,上投影为,=,=,.,25/73,28.(课标全国,13,5分)设向量,a,=(,m,1),b,=(1,2),且|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,则,m,=,.,答案,-2,解析,由|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,知,a,b,a,b,=,m,+2=0,m,=-2.,评析,本题考查向量数量积及向量模,难度不大.,29.(湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=,.,答案,9,解析,=0,即(-)=0,=,=9.,26/73,30.(课标全国,13,5分)已知正方形,ABCD,边长为2,E,为,CD,中点,则,=,.,答案,2,解析,解法一:,=,(,-,)=,-,=2,2,-,2,2,=2.,解法二:以,A,为原点建立平面直角坐标系(如图),得,A,(0,0),E,(1,2),B,(2,0),C,(2,2),D,(0,2),=(1,2),=(-2,2),则,=(1,2)(-2,2)=1,(-2)+2,2=2.,31.(课标全国,13,5分)已知两个单位向量,a,b,夹角为60,c,=,ta,+(1-,t,),b,.若,b,c,=0,则,t,=,.,答案,2,27/73,解析,解法一:,b,c,=0,b,ta,+(1-,t,),b,=0,ta,b,+(1-,t,),b,2,=0,又|,a,|=|,b,|=1,=60,t,+1-,t,=0,t,=2.,解法二:由,t,+(1-,t,)=1知向量,a,、,b,、,c,终点,A,、,B,、,C,共线,在平面直角坐标系中设,a,=(1,0),b,=,则,c,=,.,把,a,、,b,、,c,坐标代入,c,=,ta,+(1-,t,),b,得,t,=2.,评析,本题考查了向量运算,利用三点共线条件得到,c,坐标是解题关键.,28/73,32.(江苏,13,5分)如图,在,ABC,中,D,是,BC,中点,E,F,是,AD,上两个三等分点,=4,=-1,则,值是,.,答案,29/73,解析,由已知可得,=,+,=,+,=,-,=,(,-,)-,(,+,)=,-,=,+,=,+,=,-,=,(,-,)-,(,+,)=,-,=,+,=,+,=,(,-,)-,(,+,),=,-,=,+,=,+,=,(,-,)-,(,+,)=,-,因为,=4,所以,=4,则,=,=,-,-,+,=,-,(,+)=,4-,(,+)=-1,所以,+=,30/73,从而,=,=-,-,+,=-,(,+)+,=-,+,4,=,=,.,思绪分析,合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量数量积.,31/73,考点二向量综合应用,1.(浙江,7,5分)设,ABC,P,0,是边,AB,上一定点,满足,P,0,B,=,AB,且对于边,AB,上任一点,P,恒有,则,(),A.,ABC,=90,B.,BAC,=90,C.,AB,=,AC,D.,AC,=,BC,答案,D如图,在,ABC,中取,BC,中点,D,AB,中点,E,连接,CE,DP,0,.,故,=(,-,)(,-,)=,-,(,+,)+,=,+,同理,=,+,.,由,得,故,DP,0,AB,.由作图知,CE,DP,0,所以,CE,AB,又,E,为,AB,中点,所以,AC,=,BC,.选D.,32/73,2.(课标全国,3,5分)已知向量,=,=,则,ABC,=,(),A.30,B.45,C.60,D.120,答案,Acos,ABC,=,=,所以,ABC,=30,故选A.,3.(四川,10,5分)在平面内,定点,A,B,C,D,满足|,|=|,|=|,=,=,=-2,动,点,P,M,满足|,|=1,=,则|,|,2,最大值是,(),A.,B.,C.,D.,33/73,答案,B由|,|=|,|=|及,=,=,DB,CA,DC,AB,DA,CB,且,ADC,=,ADB,=,BDC,=120,ABC,为正三角形,设|,|=,a,则,a,2,cos 120,=-2,a,=2,AC,=2,OC,=3,如图建立平面直角坐标系,xOy,则,A,(-,0),B,(,0),C,(0,3).由,=,P,M,C,三点共线且,M,为,PC,中点,设,P,(,x,y,),由|,|=1,(,x,+,),2,+,y,2,=1,令,则,即,P,(sin,-,cos,),M,|,|,2,=,(sin,-3,),2,+(3+cos,),2,=,37-(6,sin,-6cos,)=,(37+12)=,.,|,|,2,最大值为,.,34/73,疑难突破,本题难点是怎样找出|,|,2,与变量之间关系,突破之处是抓住|,|=1,(,x,+,),2,+,y,2,=1,然后将坐标参数化,从而将问题转化为求,a,sin,+,b,cos,=,sin(,+,)最大值问题.,4.(湖南,8,5分)已知点,A,B,C,在圆,x,2,+,y,2,=1上运动,且,AB,BC,.若点,P,坐标为(2,0),则|,+,+,|最大值为,(),A.6B.7,C.8D.9,答,案B解法一:由圆周角定理及,AB,BC,知,AC,为圆直径.,故,+=2=(-4,0)(,O,为坐标原点).,设,B,(cos,sin,),=(cos,-2,sin,),+,+,=(cos,-6,sin,),|,+,+,|=,=7,当且,仅当cos,=-1时取等号,此时,B,(-1,0),故|,+,+|最大值为7.故选B.,解法二:同解法一得,+=2(,O,为坐标原点),又,=+,|,+,+|=|3+|,3,|+|=3,2+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时,B,点坐标为(-1,0),故|,+,+|,max,=,7.故选B.,评析,本题考查向量坐标运算,向量模等基础知识,对能力要求较高.,35/73,5.(湖南,6,5分)已知,a,b,是单位向量,a,b,=0.若向量,c,满足|,c,-,a,-,b,|=1,则|,c,|取值范围是,(),A.,-1,+1B.,-1,+2,C.1,+1D.1,+2,答案,A以,a,和,b,分别为,x,轴和,y,轴正向单位向量建立直角坐标系,则,a,=(1,0),b,=(0,1),设,c,=(,x,y,),则,c,-,a,-,b,=(,x,-1,y,-1),|,c,-,a,-,b,|=1,(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=1.,即(,x,y,)是以点,M,(1,1)为圆心,1为半径圆上点,而|,c,|=,所以|,c,|能够了解为圆,M,上点到,原点距离,由圆性质可知,|,OM,|-,r,|,c,|,|,OM,|+,r,即|,c,|,-1,+1.故选A.,6.(浙江,15,6分)已知向量,a,b,满足|,a,|=1,|,b,|=2,则|,a,+,b,|+|,a,-,b,|最小值是,最大值是,.,答案,4;2,36/73,解析,本题考查向量线性运算、坐标运算,向量几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不,等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.,解法一:|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,|(,a,+,b,)+(,a,-,b,)|=2|,a,|=2,且|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,|(,a,+,b,)-(,a,-,b,)|=2|,b,|=4,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,4,当且仅当,a,+,b,与,a,-,b,反向时取等号,此时|,a,+,b,|+|,a,-,b,|取最小值4.,=,=,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|,2,.,当且仅当|,a,+,b,|=|,a,-,b,|时取等号,此时,a,b,=0.,故当,a,b,时,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最大值2,.,解法二:设,x,=|,a,+,b,|,由|,a,|-|,b,|,|,a,+,b,|,|,a,|+|,b,|,得1,x,3.,设,y,=|,a,-,b,|,同理,1,y,3.,而,x,2,+,y,2,=2,a,2,+2,b,2,=10,故可设,x,=,cos,cos,37/73,y,=,sin,sin,.,设,1,2,为锐角,且sin,1,=,sin,2,=,则有,1,2,又0,1,2,则,x,+,y,=,(cos,+sin,)=2,sin,1,+,+,2,+,而,1,+,2,+,故当,+,=,即,=,时,x,=,y,此时|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,所以当,a,b,时,x,+,y,=|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最大值2,.,又sin,=sin,=,=,故当,=,1,或,=,2,时,x,=3,y,=1或,x,=1,y,=3,此时,a,b,x,+,y,=|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最小值4.,解法三:设,b,=(2,0),a,=(,x,y,),则,x,2,+,y,2,=1.,则|,a,+,b,|+|,a,-,b,|=+,38/73,=,+,=,+,=,=,0,x,2,1,故当,x,=0,即,a,b,时,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最大值2,当,x,2,=1,即,a,b,时,|,a,+,b,|+|,a,-,b,|有最小值4.,解法四:设,x,=|,a,+,b,|,由|,a,|-|,b,|,|,a,+,b,|,|,a,|+|,b,|,得1,x,3.设,y,=|,a,-,b,|,同理可得1,y,3.,又,x,2,+,y,2,=2,a,2,+2,b,2,=10.,故可转化为线性规划问题“已知,求,x,+,y,最大值和最小值.”,其可行域为图中弧,AB,平移直线,x,+,y,=0,显然过,A,、,B,点时,x,+,y,有最小值4.,与圆弧相切时,切点为,C,(,),x,+,y,有最大值2,则|,a,+,b,|+|,a,-,b,|最小值为4,最大值为2,.,39/73,7.(课标全国文,13,5分)已知向量,a,=(-1,2),b,=(,m,1).若向量,a,+,b,与,a,垂直,则,m,=,.,答案,7,解析,本题考查向量数量积坐标运算.,a,=(-1,2),b,=(,m,1),a,+,b,=(,m,-1,3),又(,a,+,b,),a,(,a,+,b,),a,=-(,m,-1)+6=0,解得,m,=7.,8.(江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,模分别为1,1,与夹角,为,且tan,=7,与夹角为45,.若=,m,+,n,(,m,n,R),则,m,+,n,=,.,答案,3,40/73,解析,本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量夹角及其应用等知识.,解法一:tan,=7,0,cos,=,sin,=,与夹角为,=,=,m,+,n,|=|=1,|=,=,又与夹角为45,=,=,又cos,AOB,=cos(45,+,)=cos,cos 45,-sin,sin 45,=,-,=-,41/73,=|,|,|cos,AOB,=-,将其代入得,m,-,n,=,-,m,+,n,=1,两式相加得,m,+,n,=,所以,m,+,n,=3.,解法二:过,C,作,CM,OB,CN,OA,分别交线段,OA,OB,延长线于点,M,N,则=,m,=,n,由正弦定理得,=,=,|,|=,由解法一知,sin,=,cos,=,|,|=,=,=,|,|=,=,=,42/73,又=,m,+,n,=+,|=|=1,m,=,n,=,m,+,n,=3.,9.(浙江,15,4分)已知向量,a,b,|,a,|=1,|,b,|=2.若对任意单位向量,e,都有|,a,e,|+|,b,e,|,则,a,b,最,大值是,.,答案,解析,对任意单位向量,e,都有,|,a,e,|+|,b,e,|,|,a,e,+,b,e,|=|(,a,+,b,),e,|,|,a,+,b,|,当且仅当,a,+,b,与,e,共线时,等号成立.,a,2,+2,a,b,+,b,2,6,又|,a,|=1,|,b,|=2,a,b,即,a,b,最大值为,.,10.(江苏,14,5分)设向量,a,k,=,cos,sin,+cos,(,k,=0,1,2,12),则,(,a,k,a,k,+1,)值为,.,答案,9,43/73,解析,由,a,k,=,(,k,=0,1,2,12)得,a,k,+1,=,(,k,=,0,1,2,11),故,a,k,a,k,+1,=,cos,sin,+cos,cos,sin,+cos,=cos,cos,+,sin,+cos,=cos,cos,+sin,sin,+sin,cos,+cos,sin,+cos,cos,=cos,+sin,+cos,=cos,+sin,+,cos,cos,-,sin,=cos,+sin,+,-,sin,=,+sin,+,cos,-,sin,=,+,sin,+,cos,+,cos,-,sin,44/73,=,+,sin,+,cos,=,+,sin,其中cos,=,sin,=,.,所以,(,a,k,a,k,+1,),=,+,+,+,sin,+,+,=12,=9,.,11.(湖北,11,5分)设向量,a,=(3,3),b,=(1,-1).若(,a,+,b,)(,a,-,b,),则实数,=,.,答案,3,解析,|,a,|=3,|,b,|=,a,b,=3,1+3,(-1)=0.因为(,a,+,b,)(,a,-,b,),所以(,a,+,b,)(,a,-,b,)=|,a,|,2,-,2,|,b,|,2,=18-2,2,=0.故,=,3.,45/73,12.(山东,15,4分)已知向量,与夹角为120,且|,|=3,|=2.若,=,+,且,则实数,值为,.,答案,解析,=0,(,+,),=0,即(,+,)(,-,)=,-,+,-,=0.,向量,与夹角为120,|,|=3,|=2,(,-1)|,|,|cos 120,-9,+4=0,解得,=,.,46/73,13.(重庆,10,5分)在平面上,|=|=1,=+.若|,|,则|,|取值,范围是,(),A.,B.,C.,D.,以下为教师用书专用,47/73,答案,D以,A,为原点,AB,1,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,如图所表示.,设,B,1,(,a,0),B,2,(0,b,),O,(,m,n,),则由已知得,P,(,a,b,).由|=|=1,|,|,得(,m,-,a,),2,+,n,2,=1,m,2,+(,n,-,b,),2,=1,(,m,-,a,),2,+(,n,-,b,),2,即-2,am,+,a,2,=1-(,m,2,+,n,2,),-2,nb,+,b,2,=1-(,m,2,+,n,2,),m,2,+,n,2,-2,am,-2,bn,+,a,2,+,b,2,将代入中,得,m,2,+,n,2,+1-(,m,2,+,n,2,)+1-(,m,2,+,n,2,),.又|,|=|,|=1,相当于以,O,为圆心,1为半径圆与,x,轴,y,轴有交点,即有|,m,|,1,|,n,|,1,即,m,2,+,n,2,2,故有|,|=,选D.,评析,本题考查了向量坐标运算、不等式等知识,考查了数形结合思想,建立坐标系,转化为,坐标运算是解题关键.,14.(福建,7,5分)在四边形,ABCD,中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形面积为,(),A.,B.2,C.5D.10,答案,C,=(1,2)(-4,2)=0,故,.故四边形,ABCD,对角线相互垂直,面积,S,=,|,|,|,|=,2,=5,选C.,评析,本题考查向量坐标运算和数量积应用,考查学生运算求解及观察能力,观察出,与,相互垂直是处理本题关键.,49/73,15.(广东,8,5分)对任意两个非零平面向量,和,定义,。,=,.若平面向量,a,b,满足|,a,|,|,b,|0,a,与,b,夹角,且,a,。,b,和,b,。,a,都在集合,中,则,a,。,b,=,(),A.,B.1C.,D.,答案,C依据题中给定两个向量新运算可知,a,。,b,=,=,=,b,。,a,=,又由,可得,cos,0可得0,1,于是0,将代入后得2cos,2,又,a,。,b,所以,a,。,b,=2cos,2,=,(,n,Z),于是1,2,故,n,=3,cos,=,|,a,|=,|,b,|,a,。,b,=,=,故选C.,50/73,16.(江西,14,5分)已知单位向量,e,1,与,e,2,夹角为,且cos,=,向量,a,=3,e,1,-2,e,2,与,b,=3,e,1,-,e,2,夹角,为,则cos,=,.,答案,解析,a,b,=(3,e,1,-2,e,2,)(3,e,1,-,e,2,)=9+2-9,1,1,=8.,|,a,|,2,=(3,e,1,-2,e,2,),2,=9+4-12,1,1,=9,|,a,|=3.,|,b,|,2,=(3,e,1,-,e,2,),2,=9+1-6,1,1,=8,|,b,|=2,cos,=,=,=,.,评析,本题考查了向量基本运算和夹角公式.计算失误是造成错解主要原因.正确得出|,a,|、,|,b,|是求解关键.,51/73,17.(江苏,15,14分)已知向量,a,=(cos,sin,),b,=(cos,sin,),0,.,(1)若|,a,-,b,|=,求证:,a,b,;,(2)设,c,=(0,1),若,a,+,b,=,c,求,值.,解析,(1)证实:由题意得|,a,-,b,|,2,=2,即(,a,-,b,),2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,=2.,因为,a,2,=,b,2,=|,a,|,2,=|,b,|,2,=1,所以2-2,a,b,=2,即,a,b,=0,故,a,b,.,(2)因为,a,+,b,=(cos,+cos,sin,+sin,)=(0,1),所以,由此得,cos,=cos(-,),由0,得0-,又0,所以,=,=,.,52/73,1.(浙江名校(杭州二中)已知向量,a,=(cos,2,A,-sin,2,A,),b,=,其中A为ABC,最小内角,且,a,b,=-,则角,A,等于,(),A,.,B.,C.,D.,或,三年模拟,一、,选择题,A组 高考模拟基础题组,答案,C,a,b,=,-,=,=,=,-1=-,解得tan,A,=,.因,为角,A,为,ABC,最小内角,所以,A,=,故选C.,53/73,2.(浙江稽阳联谊学校4月联考,8)平面向量,a,b,c,不共线,且两两所成角相等,|,a,|=|,b,|=2,|,c,|=1,m,=,a,-2 017,c,则(,a,-,b,),m,=,(),A.2B.,C.2,D.6,答案,D因为平面向量,a,b,c,不共线,且两两所成角相等,所以,a,b,c,两两所成角为,所以(,a,-,b,),m,=(,a,-,b,)(,a,-2 017,c,)=,a,2,-,a,b,-2 017,a,c,+2 017,b,c,=2,2,+2+2 017-2 017=6,故选D.,3.(浙江绍兴质量调测(3月),8)向量,a,b,满足|,a,|=4,b,(,a,-,b,)=0.若|,a,-,b,|最小值为2(,R),则,a,b,=,(),A.0B.4C.8D.16,答案,C由,b,(,a,-,b,)=0知,a,b,=,b,2,所以|,a,-,b,|,2,=,2,a,2,-2,a,b,+,b,2,=16,2,-2,a,b,+,a,b,=,+,a,b,-,所以,a,b,-,=4,所以(,a,b,-8),2,=0,故,a,b,=8,故选C.,54/73,一题多解,在平面内过点,O,作=,a,=,b,则,b,(,a,-,b,)=0等价于,=0,所以,OAB,为直角三角,形,且,OBA,=,|,|=4.,因为|,a,-,b,|最小值为2,即点,B,到,OA,距离为2,所以,OAB,为等腰直角三角形,|,OB,|=|,AB,|=2,所以,a,b,=8,故选C.,4.(浙江名校(诸暨中学)交流卷四,7)已知,A,B,是半径为,O,上两个点,=1,O,所在平面上有一点,C,满足|+-|=1,则向量模取值范围是,(),A.2,-1,2,+1 B.,C.,-1,+1D.,-1,+1,55/73,答案,C以,O,为原点,OA,为,x,轴建立直角坐标系,由,=1,得,AOB,=,于是,A,(,0),B,设,C,(,x,y,),则,+,=1.,问题转化为求圆,+,=1上一点到原点距离取值范围.原点到圆心,距离为,又圆半径为1,所以所求|取值范围为,-1,+1.,5.(浙江温州十校期末联考,5)若向量,a,=(