资源描述
,第2课时,指数型、对数型函数模型应用举例,1/63,2/63,类型一指数型函数模型应用实例,【典例1】,(1)(菏泽高一检测)每次用同体积,水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢 ,若洗x次后存,留污垢在1%以下,则x最小值是_.,3/63,(2)设在海拔xm处大气压强是yPa,y与x之间函数关系式是y=ce,kx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面大气压为1.0110,5,Pa,1000m高空大气压为0.9010,5,Pa,求600m高空大气压强(结果保留3个有效数字).,4/63,【解题指南】,(1)依据题意建立指数函数模型求解.,(2)依据已经有函数模型,由题中条件先确定c,k,进而可求出600m高空大气压强.,5/63,【解析】,(1)每次洗去污垢 ,就是存留了 ,故洗x,次后,还有原来 (xN,*,),故有 100,解得x最小值为3.,答案:,3,6/63,(2)将x=0,y=1.0110,5,x=1000,y=0.9010,5,分别代入函数式y=ce,kx,得,所以c=1.0110,5,将c=1.0110,5,代入0.9010,5,=ce,1000k,所以k=,7/63,由计算器得k=-1.1510,-4,所以y=1.0110,5,将x=600代入上述函数式得,y=1.0110,5,由计算器算得y=0.94310,5,.,所以600m高空大气压强约为0.94310,5,Pa.,8/63,【方法总结】,指数型函数模型在生活中应用,(1)在实际问题中,相关人口增加、银行利率、细胞分裂等增加率问题常能够用指数型函数模型表示.通常能够表示为y=N(1+p),x,(其中N为基础数,p为增加率,x为时间)形式.,9/63,(2)增加率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关量值要求不严格时,能够经过图象近似求解.用函数图象求解未知量值或确定变量取值范围,是数学惯用方法之一.,10/63,【赔偿训练】,1.(1)(金华高一检测)衣柜里樟,脑丸,会伴随时间挥发而体积缩小,刚放入衣柜新樟,脑丸体积为a,经过t天后体积与天数t关系式为,V=ae,-kt,若新樟脑丸经过50天后,体积变为 a;若一,个新樟脑丸体积变为 a,则需经过天数为(),A.75B.100C.125D.150,11/63,(2)某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采取买一个这种商品赠予一个小礼品方法.实践表明:礼品价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n+1)元时,比礼品价格为n(nN,*,)时销售量增加10%.设未赠予礼品时销售量为m.,12/63,写出礼品价格为n元时,利润y,n,(元)与n(元)函数关系式;,请你设计礼品价格,以使商店取得最大利润.,13/63,【解析】,(1)选A.依据题意可知 a=ae,-50k,所以,=e,-50k,所以-50k=ln .,令 a=ae,-kt,所以e,-kt,=,-kt=ln ,结合式可,知,t=75,故选A.,14/63,(2)当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%),n,件,故利润y,n,=(100-80-n)m(1+10%),n,=(20-n),m1.1,n,(0n20,nN,*,).,令y,n+1,-y,n,0,即(19-n)m1.1,n+1,-(20-n),m1.1,n,0,解得n9.,所以y,1,y,2,y,3,y,11,y,12,y,13,y,19,.,所以礼品价格为9元或10元时,商店取得最大利润.,16/63,2.某城市现在人口总数为100万人,假如年自然增加率为1.2%,试解答下面问题:,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)函数关系式.,(2)计算10年后该城市人口总数(准确到0.1万人).,(3)计算大约多少年以后该城市人口将到达120万人(准确到1年).,17/63,【解题指南】,处理这类题关键是依据题意建立函数模型.解题流程为“审、设、列、解、答”,即审题设未知量列出函数关系式求解作答.在求解过程中要注意所设未知量实际意义.,18/63,【解析】,(1)1年后该城市人口总数为y=100+100 1.2%=100(1+1.2%).,2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%),2,.,19/63,3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%),2,+100(1+1.2%),2,1.2%=100(1+1.2%),3,.,故x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%),x,.,20/63,(2)10年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%),10,=100 1.012,10,112.7(万人).,(3)设大约n年后该城市人口将到达120万人,即100(1+1.2%),n,120,nlog,1.012,=log,1.012,1.2015.3.,故大约16年以后该城市人口将到达120万人.,21/63,类型二对数函数模型应用,【典例2】,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研,究燕子科学家发觉,两岁燕子飞行速度能够表示为,函数v=5log,2,单位是m/s,其中Q表示燕子耗氧量.,22/63,(1)求燕子静止时耗氧量是多少个单位?,(2)当一只燕子耗氧量是80个单位时,它飞行速度是多少?,23/63,【解题指南】,(1)燕子静止时耗氧量即v=0时Q值.,(2)两岁燕子耗氧量是80个单位时,求它飞行速度,即为当Q=80时v值.,24/63,【解析】,(1)由题意,当燕子静止时,它速度v=0,代入,题中给出公式可得:0=5log,2,解得Q=10.,即燕子静止时耗氧量是10个单位.,(2)将耗氧量Q=80代入题中给出公式得:,v=5log,2,=5log,2,8=15(m/s).,25/63,【延伸探究】,1.本例中“函数v=5log,2,”若换为“v=5log,2,”,其它条件不变,试求燕子静止时耗氧量.,26/63,【解析】,由题意,当燕子静止时,它速度v=0,所以,0=5log,2,解得Q=100,则燕子静止时耗氧量是100,个单位.,27/63,2.本例条件不变,则当燕子飞行速度为v=5(m/s)时耗氧量是多少?,【,解析】,因为v=5log,2,v=5,所以5log,2,=5,即log,2,=1,故 =2,所以Q=20.,28/63,【方法总结】,对数函数应用题基本类型和求解策略,(1)基本类型:相关对数函数应用题普通都会给出函数解析式,然后依据实际问题再求解.,(2)求解策略:首先依据实际情况求出函数解析式中参数,或给出详细情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后依据数值回答其实际意义.,29/63,【赔偿训练】,载人飞船是经过火箭发射.已知某型号,火箭起飞重量Mt是箭体(包含搭载飞行器)重量,mt和燃料重量xt之和.在不考虑空气阻力条件下,假,设火箭最大速度ykm/s关于x函数关系为y=kln(m+x)-ln(m)+4ln2(其中k0,lnx是以e为底x,对数).当燃料重量为(-1)mt时,该火箭最大速,度为4km/s.,30/63,(1)求此型号火箭最大速度ykm/s与燃料重量xt之间函数解析式.,(2)若此型号火箭起飞重量是479.8t,则应装载多少吨燃料(准确到0.1t,取e=2.718)才能使火箭最大飞行速度到达8km/s,顺利地把飞船发送到预定椭圆轨道?,31/63,【解析】,(1)由题意,得4=klnm+(-1)m-,ln(m)+4ln2,解得k=8,所以y=8ln(m+x)-ln(m)+4ln2=8ln,32/63,(2)由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x.,将y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln,解得x303.3.,答:应装载303.3t燃料,才能使火箭最大飞行速度到达8km/s,顺利地把飞船送到预定椭圆轨道.,33/63,类型三拟合型函数模型应用,【典例3】,(重庆高一检测)某学习小组在暑期社,会实践活动中,经过对某商场一个品牌服装销售情况,调查发觉:该服装在过去一个月内(以30天计)每件,销售价格P(x)(百元)与时间x(天)函数关系近似满足,P(x)=1+(k为正常数),日销售量Q(x)(件)与时间x(天),部分数据以下表所表示:,34/63,已知第10天日销售收入为121(百元).,x(天),10,20,25,30,Q(x)(件),110,120,125,120,35/63,(1)求k值.,(2)给出以下四种函数模型:,Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b,Q(x)=ab,x,Q(x)=alog,b,x.,36/63,请你依据表中数据,从中选择你认为最适当一个函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)改变关系,并求出该函数解析式.,(3)求该服装日销售收入f(x)(百元)最小值.,37/63,【解题指南】,(1)依据题中条件求k值.(2)选择一个函数模型,依据待定系数法求其解析式.(3)借助(2)中函数解析式求其最值.,38/63,【解析】,(1)依题意知第10天日销售收入为P(10),Q(10)=110=121,解得k=1.,(2)由表中数据知,当初间改变时,日销售量有增有减,并不单调,故只能选Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取,两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1x30,xN,*,).,39/63,(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|,=,所以f(x)=P(x)Q(x)=,40/63,当1x25时,y=x+在1,10上是减函数,在10,25),上是增函数,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x),min,=,121;,41/63,当25x30时,y=-x为减函数,所以当x=30时,f(x)取得最小值f(x),min,=124.,总而言之,当x=10时,f(x)取得最小值f(x),min,=121.,所以该服装日销售收入最小值为121百元.,42/63,【方法总结】,数据拟合问题三种求解策略,(1)直接法:若由题中条件能显著确定需要用数学模型,或题中直接给出了需要用数学模型,则可直接代入表中数据,问题即可获解.,(2)列式比较法:若题所包括是最优化方案问题,则可依据表格中数据先列式,然后进行比较.,43/63,(3)描点观察法:若依据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可依据表中数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点位置改变情况,确定所需要用数学模型,问题即可顺利处理.,44/63,【拓展延伸】,数据拟合过程中假设作用,普通情况下数学建模,是离不开假设,假设作用主要表现在以下几个方面:,45/63,(1)深入明确模型中需要考虑原因和它们在问题中作用,通常初步接触一个问题,会以为围绕它原因非常多,经仔细分析筛选,发觉有原因并无实质联络,有原因是无关紧要,排除这些原因,问题则越发清楚明朗,在假设时对这些原因就不需考虑.,46/63,(2)降低解题难度,经过适当假设就都能够有能力建立数学模型,而且得到对应解.,(3)普通情况下,是先在最简单情形下组建模型,然后经过不停地调整假设使模型尽可能地靠近实际,从而得到更满意解.,47/63,【赔偿训练】,1.北京某企业常年生产一个出口产品,依据需求预测:自从举行奥运会以来,前8年在正常情况下,该产品产量将平稳增加.已知年为第一年,前4年年产量f(x)(万件)以下表所表示:,x,1,2,3,4,f(x),4.00,5.58,7.00,8.44,48/63,(1)画出年该企业年产量散点图.,(2)建立一个能基本反应(误差小于0.1)这一时期该企业年产量改变函数模型,并求之.,(3)年(即x=8)因受到某国对我国该产品反倾销影响,年产量应降低30%,试依据所建立函数模型,确定年年产量为多少?,49/63,【解析】,(1)如图所表示.,50/63,(2)由散点图知,可选取一次函数模型.设f(x)=ax+b,由,已知得 解得a=1.5,b=2.5,所以f(x)=1.5x+,2.5.检验:f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.080.1;,f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.060.1,所以一次函数模型,f(x)=1.5x+2.5能基本反应年产量改变.,51/63,(3)f(8)=(1.58+2.5)(1-30%)=10.15,年年产量应为10.15万件.,52/63,2.某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品逐月投资与所获纯利润列成下表:,投资A种商品,金额(万元),1,2,3,4,5,6,获纯利润(万元),0.65,1.39,1.85,2,1.84,1.40,投资B种商品,金额(万元),1,2,3,4,5,6,获纯利润(万元),0.25,0.49,0.76,1,1.26,1.51,53/63,该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制订一个资金投入方案,使得该经营者能取得最大利润,并按你方案求出该经营者下月可取得最大纯利润(结果保留两位有效数字).,54/63,【解题指南】,制订投资方案时,首先应确定好两种商品投资金额与纯利润之间函数关系,而题目未明确给出其满足函数关系,仅仅给定了两个表格说明二者之间数量关系,极难看出其满足函数模型,所以可画出对应散点图,依据散点图特征找到其满足函数关系.,55/63,【解析】,以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所表示.,56/63,观察散点图能够看出,A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间改变规律能够用二次函数模型进行模拟,如图所表示.,取(4,2)为最高点,则y=a(x-4),2,+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4),2,+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4),2,+2.,57/63,B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间改变规律是线性,能够用一次函数模型进行模拟,如图所表示.,设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入得,所以y=0.25x.,58/63,即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品金额x函数关系式是y=-0.15(x-4),2,+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品金额x函数关系式是y=0.25x.设下月投入A,B两种商品资金分别为x,A,x,B,(万元),总利润为W(万元),59/63,那么,所以,当x,A,=3.2(万元)时,W取最大值,约为4.1万元,此,时x,B,=8.8(万元).,即该经营者下月把12万元中3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可取得最大利润约为4.1万元.,60/63,【课堂小结】,1.知识总结,61/63,2.方法总结,用数学模型方法处理实际问题普通步骤,(1)对现实问题进行抽象分析,建立数学模型.,(2)对建立模型进行推理和演算,顺利地求得模型解.,62/63,(3)把模型解代入现实问题中,检验数学模型拟合程度或取得现实问题解.,建立数学模型应遵照基本标准:简化标准;可推算标准;反应性标准.,63/63,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
