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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章复习内容,一、期望和方差,1期望,设,离散型,随机变量X分布律为,则,设,连续型,随机变量,X,概率密度为 ，,则,第1页,函数期望,当 X为,离散型,随机变量,则,当X为,连续型,随机变量，,则,第2页,2.方差,计算方差时通惯用以下关系式：,称随机变量 期望为X方差，即,第3页,3性质,（1）,（2）,（3）若X和Y相互独立，则,第4页,计算协方差时通惯用以下关系式：,二、协方差,第5页,三、矩母函数,1定义,为,X,矩母函数,2原点矩求法,称 数学期望,利用矩母函数可求得,X,各阶矩，即对,逐次求导并计算在 点值：,第6页,3和矩母函数,定理1,设相互独立随机变量,矩母函数分别为 ，,则其和,矩母函数为,两个相互独立随机变量之,和,矩母函数等于它们矩母函数之,积,.,第7页,四、特征函数,特征函数,设,X,为随机变量，称复随机变量,数学期望,为,X,特征函数，其中,t,是实数。,还可写成,特征函数与分布函数相互唯一确定。,第8页,性质,则和,设相互独立随机变量,特征函数分别为 ，,特征函数为,两个相互独立随机变量之,和,特征函数等于它们特征函数之,积,.,第9页,练习:设随机变量X概率密度函数为,试求X矩母函数。,解：,第10页,练习,解,因为,所以,设随机变量,X,服从参数为 泊松分布，,求,X,特征函数。,第11页,条件分布函数与条件期望,离散型,若 ，则称,为在条件 下，随机变量,Y,条件分布律。,为在条件 下，随机变量,X,条件分布律。,一样,1、条件分布函数定义,第12页,连续型,一样,称为在条件 下，随机变量,X,条件分布律。,称为在条件 下，随机变量,Y,条件分布律。,注意：分母不等于0,第13页,2、条件期望定义,离散型,其中,连续型,其中,条件概率密度,第14页,3、全数学期望公式,定理,对一切随机变量,X,和,Y，,有,连续型,是随机变量,Y,函数，当 时取值,因而它也是随机变量。,离散型,第15页,设二维随机向量（X，Y）联合概率密度为,解：,练习:,第16页,第17页,练习:对于随机变量,X,和,Y,，满足条件,则有,练习:若随机变量,X,和,Y,相互独立,，满足条件,则有,第18页,一矿工困在矿井中，要抵达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可抵达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他抵达安全地点平均要花多长时间。,练习,解,设,X,表示矿工抵达安全地点所需时间，,Y,表示他选定通道，则,所以,第19页,第二章复习内容,随机过程分类,T,离散、I离散,T,离散、I连续,参数T状态I分类,T,连续、I离散,T,连续、I连续,Poisson过程是参数,状态,随机过程.,Brown运动是参数,状态,随机过程.,离散,连续,连续,连续,第20页,练习,袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定,t,对应随机变量,试求这个随机过程一维分布函数族。,分析,先求 概率分布,第21页,所以,解,P,第22页,随机过程数字特征,2方差函数,1均值函数,3协方差函数,注,第23页,4自相关函数,注,第24页,5互协方差函数,6相互关函数,第25页,练习,解,求,:(,1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。,（1）,（2）,（3）,第26页,练习,解,试求它们互协方差函数。,所以,第27页,1.严平稳过程,定义1,则 称为严平稳过程,若对任意,和任意,严平稳过程有限维分布关于时间是平移不变.,第28页,2.宽平稳过程,定义2,假如它满足：,则称 为宽平稳过程，,简称平稳过程,第29页,因为,均值函数,注,:(3)可等价描述为:,第30页,注2,注1,严平稳过程不一定是宽平稳过程。,因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。,若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。,宽平稳过程也不一定是严平稳过程。,因为宽平稳过程只确保一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能确保其有穷维分布不随时间而推移。,第31页,性质1,平稳过程相关函数性质,(1)自相关函数性质,性质2,性质3,第32页,(2)协方差函数性质,性质2,性质3,性质1,第33页,练习,解:,第34页,随机变量序列,则,令,练习,2.若对任意,增量,概率分布只依赖于,而与,无关，则称随机过程,为,。,独立增量过程,时齐,第35页,定义3.1.1,第三章复习内容,第36页,定义3.1.2,第37页,定义3.1.2等价定义,显见Poisson过程本身不是平稳过程，其增量是平稳过程。,第38页,第39页,第40页,解:,练习:,第41页,设N(,t,)是参数为 Poisson过程,事件发生时刻 在已知N(,t,)=2条件下联合概率密度为_.,练习:,第42页,主要结论,第43页,解:,没被维修过概率,练习:,维修过一次概率,第44页,例1,解,设用户抵达某商场过程是泊松过程,已知平均每小时有30人抵达,求以下事件概率:两个用户相继抵达时间间隔:(1)超出2分钟;(2)在1分钟到3分钟之间.,若以分钟为单位,用户抵达数是强度为 泊松过程.则用户抵达时间间隔 服从参数为 指数分布,其密度函数为,故,第45页,例2：,一剪发师在t=0时开门营业,设用户按强度为,泊松过程抵达.若每个用户剪发需要,a,分钟,a,是正,常数.求第二个用户抵达后不需等候就马上剪发,概率及抵达后等候时间S平均值.,解：,设第一个用户抵达时间为T,1,，第二个用户,抵达时间为T,2,。令X,2,=T,2,-T,1,，则第二个用户抵达,后不需等候等价于 X,2,a,。,由定理知X,2,服从参数为,指数分布，故,等候时间,第46页,考虑一特定保险企业全部赔偿，设在0,t,内投保死亡人数N(,t,)是发生率为 泊松过程。设 是第,n,个投保人赔偿价值，独立同分布。,表示0,t,内保险企业必须付出,全部赔偿。,练习:,第47页,解：,第48页,第四章 更新过程,1.更新过程定义,设X,n,n1是独立同分布非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令,记,称N(t),t0,更新过程,。,第49页,2、更新函数,令,M,(,t,),=E,N,(,t,)，称,M,(,t,)为更新函数。,Theorem：,第50页,3.更新方程,设,M(t),为更新函数，其导数称为更新密度，记为,m(t)，,则,其中 是 密度函数。,第51页,定义（更新方程）,以下形式积分方程称,为更新方程,其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时，H(t)，F(t),均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为,适定更新方程，简称更新方程,。,第52页,更新方程解,定理：,设更新方程中H(t)为有界函数，则,方程存在惟一在有限区间内有界解,第53页,更新定理,1、,初等更新定理,设 ，则,第54页,2、布莱克威尔(Blackwell)定理,设F(x)为非负随机变量X分布函数,(1)若F(x)不是格点，则对任意,a,0，有,(2)若F(x)是格点，周期为d，则,P,在nd处发生更新,轻易看出，初等更新定理是,Blackwell定理,特殊情况。,第55页,记 ，设,h,(,t,)0满足(1),h,(,t,)非负不增；(2)。,H,(,t,)是更新方程,解。那么,（1）若,F,(,x,)不是格点,3、关键更新定理,第56页,（2）若,F,(,x,)是格点，对于,注：,关键更新定理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等价性,第57页,第五章复习内容,马尔可夫性即无后效性.,状态分类及性质是重点,互通,类,不可约,周期等概念.,第58页,状态,i,非常返,常返,正常返,零常返,第59页,第60页,平稳分布与极限分布(重点),第61页,研究状态关系(重点),第62页,练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,第63页,练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,状态转移图如右:,第64页,两状态互通，周期为1，故对于不可约有限马氏链是正常返.,第65页,练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,显然,此链含有遍历性。,由,解得,第66页,练习：设马氏链状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为,解:,第67页,练习：设马氏链状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为,解:,第68页,(2),经两步转移后处于状态3概率为,第69页,设马氏链状态空间为1,2,3,4,一步转移矩阵为,试研究其状态关系.,解:状态转移图以下:,练习,第70页,第71页,故状态1与2都是正常返状态,又因周期都是1,故都为遍历状态.,故状态3是非常返状态.,故状态4是吸收状态.,第72页,练习,设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解：,第73页,练习,设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为,解:,第74页,第六章复习内容,了解上鞅,下鞅,鞅定义,第75页,、上鞅,上鞅,、下鞅,下鞅,上鞅,下鞅,上鞅,下鞅,上鞅,下鞅,下鞅,上鞅,第76页,若,为下鞅，,为上鞅，则有(),为下鞅,A,为上鞅,B,为下鞅,C,为上鞅,D,练习:,第77页,第七章复习内容,Brown运动定义,第78页,(1),(2),(3),(4),第79页,(5),(6),第80页,(7),(8),(9),第81页,解:,练习,第82页,主要结论,Brown运动含有Markov性,Brown桥定义,原定反射Brown运动定义,几何Brown运动定义,有漂移Brown运动定义,第83页,练习:计算Brown桥均值,方差,协方差函数.,解:,第84页,利用标准布朗运动矩母函数,计算几何布朗运动,均值函数与方差函数.,练习:,解:,第85页,练习:计算有漂移Brown运动均值,方差,协方差函数.,解:,第86页,有漂移Brown运动,第87页,
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