复变函数第五章 留数理论及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,留数理论及其应用,1.,留数的定义,2.,留数定理,3.,留数的计算规则,5.1,留数,(Residue),的奇点,所围成的区域内含有,),(,z,f,C,0,z,一、留数的引入,设,C,为区域,D,内,包含,的任一条正向简单闭曲线,),(,f,dz,z,c,未必为,0,0,z,所围成的区域内解析,在,),(,C,f,=,.,的某去心邻域,:,D,内的,Laurent,展式,:,在,0,(,P49,例,3.3,),0,(,柯西,-,古萨基本定理,),定义,设,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点，,f,(,z,),在,z,0,邻域内的洛朗级数中负幂次项,(,z,-,z,0,),1,的系数,c,1,称为,f,(,z,),在,z,0,的,留数,，记作,Res,f,(,z,),z,0,。,由,留数定义,Res,f,(,z,),z,0,=,c,1,(1),综上,，,的系数,-,0,1,),(,-,z,z,展式中负幂项,Laurent,记作,为,f(z),在 的,。,定义,留数,注,二、利用留数求积分,1.,留数定理,设函数,f(,z,),在区域,D,内除有限个孤立奇点,z,1,z,2,.,z,n,外,处处解析,.,C,是,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,证明,两边同时除以 得，,如图,由复合闭路原理,求沿闭曲线,C,积分,求,C,内各孤立奇点处的留数,.,注,1,(1),如果,为,的,可去奇点,一般规则说明,：,2.,留数的计算规则,成,Laurent,级数求,(2),如果,为,的,本性奇点,展开,则需将,(3),如果,为,的,极点,则有如下计算方法：,1),应用,Laurent,展式,2),求,n,级极点的一般方法,(,求导运算,),1),应用,Laurent,展式,例,5.1,解,如果 为 的 级极点,规则,2,那末,如果 为 的一级极点,那末,规则,1,2),求,n,级极点的一般方法,（当,m,=1,时就是,规则,1),规则,3,如果,设,及,在,都解析，,那末,为,的一级极点,且有,解,例,2,例,3,解,思考题,思考题答案,例,2,解,例,3,解,例,4,解,故由留数定理得：,(1),要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留,数，不要死套规则。,如,是,f,(,z,),的三级极点,。,-,该方法较规则,2,更简单！,(2),由规则,2,的推导过程知，在使用规则,2,时，可将,m,取得比实际级数高，这可使计算更,简单。,如,三、在无穷远点的留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.,定义,设函数,在圆环域,内解析，,C,为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,p,-,=,C,z,z,f,i,d,),(,2,1,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定义有,:,(,绕原点的并将,内部的正向简单闭曲线,),包含在,2.,定理二,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在所有各奇点,(,包括,点,),的留数的总和必等于零,.,证毕,说明,:,由定理得,(,留数定理,),计算积分,计算无穷远点的留数,.,优点,:,使计算积分进一步得到简化,.,(,避免了计算诸有限点处的留数,),3.,在无穷远点处留数的计算,规则,4,说明,:,定理,5.2,和规则,4,提供了,计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法,:,此法在很多情况下此法更为简单,.,现取正向简单闭曲线,C,为半径足够大的,正向圆周,:,于是有,证,内除,在,外无其他奇点,.,证毕,例,5,计算积分,C,为正向圆周,:,函数,在,的外部,除,点外没有,其他奇点,.,解,根据定理,5.2,与规则,4:,与以下解法作比较,:,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,的内部,所以,由规则,3,可见,利用无穷远点的留数更简单,.,例,6,计算积分,C,为正向圆周,:,解,除,被积函数,点外,其他奇点为,由于,与,1,在,C,的内部,则,所以,小结与思考,一概念,-,留数,一定理,-,留数定理（,计算闭路复积分）（,重点,）,两方法,-,展开式和规则求留数,三规则,-,求极点处留数,（,难点,）,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数,定理,.,应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极,点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复,积分,.,5.2,留数在定积分中的应用,其中,注意,:,对 的要求,分母,Q(x,),次数比分子,P(x,),至少高两次，是函数 在,上半平面,内的有限个孤立奇点；,注意,:,对 的要求,分母比分子至少高一次，是函数 在,上半平面,内的有限个孤立奇点；,思想方法,:,封闭路线的积分,.,两个重要工作,:,1),积分区域的转化,2),被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,注意：其中 是函数 在,单位圆,内的有限个孤立奇点。,形如,当,历经变程,时,的,正方向绕行一周,.,z,沿单位圆周,z,的有理函数,且在,单位圆周上分母不,为零,满足留数定,理的条件,.,包围在单位圆周,内的诸孤立奇点,.,例,5.10,计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点,所以可取图示路线,:,解,封闭曲线,C,:,由柯西,-,古萨定理得,:,由,当 充分小时,总有,即,记住以下常用结果：,作 业,P120,2,；,3,；,5,（,1,）,