第三章-泊松过程.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北京邮电大学电子工程学院,*,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,1,第三章 泊松过程,理解泊松过程的基本概念,掌握泊松过程的数字特征,掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分布,掌握泊松过程达到时间的条件分布,了解非齐次泊松过程和复合泊松过程,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,2,第一节 泊松过程的定义,例,3.1,电话交换台在时间段,0,，,t,内接到的呼叫次数是与,t,有关的随机变量,X,(,t,),。对于固定的,t,，,X,(,t,),是取非负整数的随机变量。由于在不相重叠的时间间隔内收到的呼叫数是相互独立的，故,X,(,t,),，,t,0,+,是独立增量随机过程。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,3,第一节 随机过程的定义,定义,3.1,.,称随机过程,N,(,t,),t,0,为计数过程，若,N,(,t,),表示到时刻,t,为止已发生的“事件,A”,的总数，且,N,(,t,),满足下列条件：,（,1,）,N,(,t,),0,；,（,2,）,N,(,t,),取正整数值；,（,3,）若,s,t,，则,N,(,s,),N,(,t,),；,（,4,）当,s,0,的泊松过程，若它满足下列条件：,(1),X,(0)=0;,(2),X,(,t,),是独立增量过程；,(3),在任一长度为,t,的区间中，事件,A,发生的次数服从参数,t0,的泊松分布，即对任意,s,t,0,，有,从条件,(3),知泊松过程是平稳增量过程且,E,X,(,t,)=,t,。由于,表示单位时间内事件,A,发生的平均次数，故称,为此过程的速率或强度。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,7,定义,3.3,称计数过程,N,(,t,),t,0,为具有参数,0,的泊松过程，若它满足下列条件：,(1),X,(0)=0;,(2),X,(,t,),是独立、平稳增量过程；,(3),X,(,t,),满足下列条件：,定义中的条件,(3),说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。,可以证明两个定义是等价的。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,8,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,9,第二节 泊松过程的基本性质,一、数字特征,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,10,二、时间间隔与等待时间的分布,如果我们用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行详细的讨论。,设,X,(,t,),t,0,是泊松过程，令,X,(,t,),表示,t,时刻事件,A,发生（顾客出现）的次数，,W,1,W,2,表示第一次、第二次，,事件,A,发生的时间，,T,n,(,n,1),表示从第,(,n,-1),次事件,A,发生到第,n,次发生的时间间隔。通常称,W,n,为第,n,次事件,A,出现的时刻或第,n,次事件,A,的等待时间,T,n,为第,n,个时间间隔,.,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,11,定理,3.2,设,X,(,t,),t,0,是具有参数,的泊松过程，,T,n,，,n,1,是对应的时间间隔序列，则随机变量,T,n,(,n,1),是独立同分布的均值为,1/,的指数分布。,证明,：首先注意到事件,T,1,t,发生当且仅当泊松过程在区间,0,，,t,内没有事件发生，因而,P,(,T,1,t,)=,P,(,X,(,t,)=0)=e,-,t,即,F,T,1,(,t,)=,P,(,T,1,t,)=1-,P,(,T,1,t,)=1-e,-,t,所以,T,1,服从均值为,1/,的指数分布。利用泊松过程的独立、平稳增量性质，有,P,(,T,2,t|T,1,=,s,)=,P,(,在,(,s,s,+,t,内没有事件发生,|T,1,=,s,),=,P,(,在,(,s,s,+,t,内没有事件发生,)=,P,(,X,(,t,+,s,)-,X,(,s,)=0)=e,-,t,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,12,即,F,T,2,(,t,)=,P,(,T,2,t,)=1-,P,(,T,2,t,)=1-e,-,t,所以,T,2,服从均值为,1/,的指数分布。,对于任意,n,0,和,t,s,1,s,2,s,n,-1,0,有,即,所以对任一,T,n,(,n,1),，其分布是均值为,1/,的指数分布。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,13,另一个感兴趣的是等待事件,W,n,的分布，即第,n,次事件,A,到达的时间分布，因,由定理,3.2,知，,W,n,是,n,个相互独立的指数分布随机变量和，故用特征函数方法，可以得到如下结论：,定理,3.3,设,W,n,，,n,1,是与泊松过程,X,(,t,),t,0,对应的一个等待时间序列，则,W,n,服从参数为,n,与,的,分布，其概率密度为：,上式又称,爱尔兰分布,，它是,n,个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,14,证明,：由于第,n,个事件在时刻,t,或,t,之前发生当且仅当时间,t,已发生的事件数目至少是,n,，即,因此,对上式求导，得,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,15,例,3.2,已知仪器在,0,，,t,内发生振动的次数,X,(,t,),是具有参数,的泊松过程。若仪器振动,k,(,k,1),次就会出现故障，求仪器在,t,0,正常工作的概率。,解：,依题意知发生故障的时刻,T,就是发生第,k,次振动的时刻,W,k,，由定理,3.2,知,T,的概率密度为,故仪器在,t,0,时刻正常工作的概率为,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,16,三、到达时间的条件分布,假设在,0,，,t,内事件,A,已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间,W,1,的分布。因为泊松过程有平稳独立增量性，故有理由认为,0,，,t,内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个事件的到达时间应在,0,，,t,上服从均匀分布。事实上，对,s,t,有,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,17,即分布函数为,分布密度为,定理,3.4,设,X,(,t,),t,0,是泊松过程，已知在,0,t,内事件,A,发生,n,次，则这,n,次到达时间,W,1,W,2,W,n,与相应于,n,个,0,t,上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布,.,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,18,证明,：令,0,t,1,t,n,+1,=,t,，且取,h,i,充分小使得,t,i,+,h,i,t,i,+1,(,i,=1,2,n,),，则在给定,X,(,t,)=,n,的条件下，我们有,因此,令,h,i,0,，有,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,19,例,3.3,设在,0,t,内事件,A,已经发生,n,次，且,0,s,t,对于,0,k,n,，求,P,(,X,(,s,)=,k,|,X,(,t,)=,n,),。,解：,利用条件概率及泊松分布得,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,20,例,3.4,设,X,1,(,t,),，,t,0,和,X,2,(,t,),，,t,0,是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为,1,和,2,。记,W,k,(1),为过程,X,1,(,t,),的第,k,次事件到达时间，,W,1,(2),为过程,X,2,(,t,),的第,1,次事件到达时间，求,P(,W,k,(1),W,1,(2),),，即第一个泊松过程的第,k,次事件发生比第二个泊松过程的第一次事件发生早的概率。,解：,设,W,k,(1),的取值为,x,，,W,1,(2),的取值为,y,，由,(3.7),式得,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,21,则,其中,D,为由,y,=,x,与,y,轴在上半平面所围区域。,f,(,x,y,),由于,X,1,(,t,),和,X,2,(,t,),相互独立，故,于是,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,22,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,23,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,24,第三节 非齐次泊松过程,定义,3.4,称计数过程,X,(,t,),，,t,0,为具有跳跃强度函数,(,t,),的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：,（,1,）,X,(0)=0,；,（,2,）,X,(,t,),是独立增量过程；,（,3,）,于是，非齐次泊松过程的均值函数为：,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,25,定理,3.5,设,X,(,t,),，,t,0,是具有均值函数 的非齐次泊松过程，则有,证明略。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,26,例,3.5,设,X,(,t,),，,t,0,是具有跳跃强度,的非齐次泊松过程,(,0,),。求,EX,(,t,),和,DX,(,t,),。,解：,由定理,3.5,知,DX,(,t,)=,m,X,(,t,),例,3.6,设某路公交车从早晨,5,时到晚上,9,时有车发出。乘客流量如下：,5,时按平均乘客为,200,人,/,时计算；,5,时至,8,时乘客平均到达率按线性增加，,8,时达到率为,1400,人,/,时；,8,时至,18,时保持平均到达率不变；,18,时到,21,时从到达率,1400,人,/,时按线性下降，到,21,时为,200,人,/,时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求,12,时至,14,时有,2000,人来站乘车的概率，并求出两小时内来站乘车人数的数学期望。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,27,解,：按题意得乘客到达率为,(,将时间平移为,0,时至,16,时,),：,由题意知乘客数,X,的变化可用非齐次泊松过程描述。,由于在,12,时至,14,时之间乘客的到达率恒为,1400,，故,两小时内来站乘车人数的数学期望为：,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,28,第四节 复合泊松过程,定义,3.5,设,N,(,t,),，,t,0,是强度为,的泊松过程，,Y,k,，,k,=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与,N,(,t,),，,t,0,独立，令,则称,X,(,t,),，,t,0,为复合泊松过程。,例,3.8,设,N,(,t,),是在时间段,(0,，,t,内来到某商店的顾客人数，,N,(,t,),，,t,0,是泊松过程。若,Y,k,是第,k,个顾客在商店所花的钱数，则,Y,k,，,k,=1,2,是一列独立同分布随机变量序列，且与,N,(,t,),，,t,0,独立。记,X,(,t,),为该商店在内的营业额，则,X,(,t,),是一个复合泊松过程。,2025/10/30 周四,北京邮电大学电子工程学院,29,定理,3.6,设 是复合泊松过程，则,(1),X,(,t,),，,t,0,是独立增量过程；,(2),X,(,t,),的特征函数 ，其中,g,Y,(,u,),是随机变量,Y,1,的特征函数；,是事件的到达率；,(3),若 ，则 。,证明略。,