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9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法探 讨曲线的简洁性质.3.能够依据所给条件选择适当的方法求曲线 的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主 要以解答题的形式出现，题目为中档题，有 时也会在选择、填空题中出现.基础知识自主学习 回扣基础知识训练基础题目 1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，假如某曲线。(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤【概念方法微思索】1./（Xo,Jo）=0是点尸（刘，Jo）在曲线）=0上的充要条件吗？提示是.假如曲线。的方程是M筋。=0,则曲线。上的点的坐标满意Mx y）=0,以 f（x,p）=0的解为坐标的点也都在曲线。上，故Mxo,K）=o是点（Xo,K）在曲线F（x,y）=0上的充要条件.2.方程p=、与x=/表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.3.若点尸到直线x=一 l的距离比它到点0）的距离小1,则点尸的轨迹是什么图形？提示 依题意知，点尸到直线x=2的距离等于它到点0）的距离，故点尸的轨迹是抛物 线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解;方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.RgfisetL题组一思索辨析1.推断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）方程系+盯=万的曲线是一个点和一条直线.（X）到两条相互垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是f=,（X）（3）y=Ax与x=%表示同始终线.（X）（4）动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.（X）题组二教材改编2.已知点,0）直线/：为=；,点夕是/上的动点，若过点6垂直于p轴的直线与线 段BF的垂直平分线交于点M,则点的轨迹是（）A.双曲线 B.椭圆C.圆 D,抛物线答案D解析 由已知|质|=|物|,依据抛物线的定义知，点的轨迹是以点分为焦点，直线/为准线的抛物线.3.曲线a盯=2上任一点到两坐标轴的距离之积为.答案2解析 在曲线盯=2上任取一点（xo,jb）,则xojb=2,该点到两坐标轴的距离之积为|xo|IkI=|JToTbl=2.4.若过点9(1,1)且相互垂直的两条直线乙人分别与x轴，y轴交于Z,6两点，则Z夕中点 的轨迹方程为.答案x+yT=0解析 设的坐标为(x,p),贝U4 6两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接冏/,V LLL.：.|PM=|0M,而 I PM=(xlj+(y1)2，I 0M+y./(x-l)2+(yI)2=yx+y,化简，得x+y1=0,即为所求的轨迹方程.题组三易错自纠5.方程(2x+3y1)C/x3 1)=0表示的曲线是()A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为2x+3y1=0,x320即 2x+3yl=0(x23)或 x=4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知(一1,0),Ml,0),PMPN=2,则动点分的轨迹是()A.双曲线 B,双曲线左支C.一条射线 D.双曲线右支答案C解析由于|阿一|*=|腑所以D不正确，应为以为端点，沿x轴正向的一条射线.7.已知M-2,0),M2,0),则以为斜边的直角三角形的直角顶点尸的轨迹方程是答案 x+y=4(x#2)解析连接俯，则|研=2,.点的轨迹是去掉 N两点的圆，方程为+y=4(x#2).题型分类深度剖析-真题典题深度剖析 重点难点多维探究-题型一定义法求轨迹方程.师生共研例1已知圆肱(x+l)2+y=1,圆小(Xl)2+y=9,动圆刀与圆外切并且与圆N内切,圆心刀的轨迹为曲线口求。的方程.解 由已知得圆的圆心为M-1,0),半径力=1；圆N的圆心为Ml,0),半径乃=3.设圆的圆心为P(x,y),半径为兄因为圆尸与圆外切 并且与圆N内切，所以|加|十|即=(+-)+5 而=乃+=42=|画|.由椭圆的定义可 知，曲线。是以四N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为十的椭圆(左顶点除外)，2 2其方程为日=1(xW 2).0思维升华定义法求轨迹方程在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则依据曲 线的方程，写出所求的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，假如不是完整的曲线，则应对 其中的变量为或y进行限制.跟踪训练1在力比1中，|以|=4,/欧的内切圆切勿于点，且|必|切=2/，则顶 点A的轨迹方程为.2 2答案yy=1(4解析 以优的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E,分别为两个切点.幽=|初|,|CD=|CF,1阳=1明.所以|初一|2。|=2隹4,所以点力的轨迹为以8。为焦点的双曲线的右支(/0),且之=/，c=2,所以 2 2所以轨迹方程为今一5=1(小.题型二干脆法求轨迹方程.师生共研 例2(2024全国HI)已知抛物线C：/=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线h4分别交。于4 6两点，交。的准线于R 0两点.若在线段加上，是川的中点，证明：AR/FQ.(2)若户处的面积是力郎的面积的两倍，求力6中点的轨迹方程.(1)证明由题意知，&，0),设 Ji：p=a,L：y=b,则 abW3且 6,a)，哙,4 彳一/4(2)4 29 2 记过4 6两点的直线为1,则/的方程为2x9+5)y+/=0.由于在线段力6上，故1+成=0.记4?的斜率为左，园的斜率为左,*lab_ a-b _ 1l+a2 aab a abO-5则 k,1-2-1-2所以4?尸Q.(2)解 设过力6的直线为/,设/与x轴的交点为(荀,0),则 5k4麻=|b-a FD=)b-a 荀一J 乙 乙 乙由题意可得|6H为一；=占2,所以毛=1或矛1=0(舍去).设满意条件的力的中点为双心y).当力6与不轴不垂直时，2 y由 kAB k/)E 可得|J 1).a 十 b x-i为一I b而一-=y,所以/=x1(/1).当力6与x轴垂直时，与重合，此时点坐标为(1,0),满意方程y=x1.所以所求轨迹方程为y=x1.思维升华干脆法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要留意 翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最终 的证明可以省略，假如给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需留意 检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练2（2024 沈阳模拟）在平面直角坐标系中，点尸（a,5）为动点，R,用分别为椭 2 2X V圆F+至=1（a50）的左、右焦点，已知为等腰三角形.a b求椭圆的离心率e；设直线期与椭圆相交于4 6两点，是直线行上的点，满意近左一2,求点的轨迹方程.解（1）设右（一c,0）,用（。,0）（。0）.由题意，可得|出|=|右知，即耳（2一仁2+炉=2c,整理得282+/1=0,Q C 1 1得=-1(舍去)或=亍所以e=.由知a=2c,b=y3c,可得椭圆方程为3/+4/=12c2,直线 行的方程为y=/（x c）.4 6两点的坐标满意方程组3/+4y=12c2,尸十(xc),消去y并整理，得5系一8cx=0.8解得荀=0,加=三。，5代入直线方程得荀=0,%=一十c,r 8X2=C,533L 5 c不妨设 与B(3 y3c).设点的坐标为（x,p）,则森=（x|c,廊=1x,y+y3c).由 y=/(x。)，得 c=x-y.J于是加=%g M3世)5 xyBM=x,5x),由亚正一2,即8 3镜5|x x+X化简得 18/163-15=0.将y18/-15代入c=xzn 10/+5 LL 一得所以x0.因此，点的轨迹方程是18/16/3y15=0（jr0）.题型三 相关点法求轨迹方程-师生共研例3如图所示，抛物线：/=2夕匠（夕0）与圆0：/+/=8相交于4夕两点，且点Z的横坐 标为2.过劣弧四上动点尸（刘，珀作圆。的切线交抛物线于。，两点，分别以G 为切 点作抛物线的切线h,，与人相交于点（1）求夕的值；求动点的轨迹方程.解（1）由点力的横坐标为2,可得点力的坐标为（2,2）,代入/=2夕x,解得夕=1.由知抛物线区y=2x设（I，%），%W。，J2W0,切线的斜率为则切线，1：yK=4x9，代入 y=2x,得一2y+2%而=0,由=0，解得=，JiL的方程为同理心的方程为尸十十1%72 x=2yi+72 尸丁一解得易知的方程为x0 x+kp=8,其中刘，为满意岔+点=8,xo 2,2/2,y=2x,荀 x+)y=8,得 jroy+2yby16=0,r工红%十 J2,Xo则 16yi 72=，I Xq代入,.二2 由8 x=,刘可得加x,力满意r 8Xo=一,x 可得c 8y yo=一，I XY代入器+点=8,并化简，得不一/=1,O考虑到照2,2镜,知 4,-2/2,2动点的轨迹方程为点一/=1,芸4,-272.思维升华“相关点法”的基本步骤设点：设被动点坐标为(为，p),主动点坐标为(荀，%);求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式=力，=欧X，力；代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.(4)检验：留意检验方程是否符合题意.跟踪训练3(2024 包头调研)如图，动圆G：/+/=户1伙3与椭圆G：+/=1相交于4B,C,四点.点4,4分别为G的左、右顶点，求直线24与直线46交点的轨迹方程.解 由椭圆 G：豆+/=1，知 4(3,0),4(3,0).设点力的坐标为(荀，%)，由曲线的对称性，得 8(Xo,7b),设点的坐标为(x,y),直线力4的方程为(x+3).Xq o 直线46的方程为尸U(l3).由相乘得/=克石(9一9).2又点力(刘，加在椭圆G上，故4=1Z)将代入得一/=l(x 3,y0,y0)3B.-jr2 3y=1(jr0,y0)3C.3x-y=1(jr0,y0)D.3A2+义/=1(x0,y0)答案A解析 设力(20),B(0,5),d0,50.由麻三2百，x=2(ax),得(x,y垃=2(ax,y),所以，yb=-2y,口口 3即 a=jr0,5=3y0.由题意得，点0(x,p),故由。力6=1,得(x,y)(0,y0).故选A.5.在抽。中，6(2,0),以2,0),AU。，给出力国满意的条件，就能得到动点力的轨 迹方程.下表给出了一些条件及方程：条件方程力比1周长为10G：炉=25力6。面积为10G：f+/=4(尸0)力中，乙4=90。2 2X VG：+=1(yO)17 U则满意条件，的轨迹方程依次为()a.g,a,a b.g,c,ac.a,g,a d.a,a,a答案A解析力欧的周长为10,即|力用十|力。|+|理|=10,又|以|=4,所以|屈十|力。=6|以|,此时动点力的轨迹为椭圆，与G对应；力6。的面积为10,所以|引=10,即|y|=5,与G对应；因为N4=90,所以赤赤=（2 x,y）（2 笛 y）+炉一4=0,与G对应.故选A.6.（2024 抚顺模拟）如图，斜线段46与平面Q所成的角为60,6为斜足，平面。上的 动点分满意/阳6=30,则点分的轨迹是（）C.椭圆 D.双曲线的一支答案C解析 可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30,然后用平面。去截，使直线力6 与平面。的夹角为60,则截口为9的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知,P的轨迹为椭圆.故 选C.A7.已知两定点力（一2,0）,6（1,0）,假如动点满意|浏|=2|%|,则点的轨迹所包围的图形的面积为.答案4兀解析设（x，P），由|朋=2|%|,（x+2+y 2yj（X l）2+y,.3/+3y-12=0,即 x+y 4x=0.9的轨迹为以（2,0）为圆心，2为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4 it.X V8-直线二十1=1与篙P轴交点的中点的轨迹方程是-答案 x+y=l(xWO 且 xWl)X V解析 直线一+六=1与X,y轴的交点为力(20),6(0,2 a),设月方的中点为(x,y),则x=*y=1 I，消去a,得x+y=l.因为aWO且aW2,所以#0且xWl.9.已知圆的方程为f+/=4,若抛物线过点4 1,0),6(1,0)且以圆的切线为准线，则抛 物线的焦点的轨迹方程是.2 2答案igo)解析设抛物线焦点为凡过4 B,。作准线的垂线力4,BB,明,则|皿|+|阳|=2|。|=4,由抛物线定义得|44|+|阳|=|利+|阳，所以|四|+|刑=42,故点的轨迹是 以4 6为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).2 2X V10.如图，是椭圆f+r=1(石50)上的随意一点，F、,人是它的两个焦点，。为坐标原点，a b且次=诙+房，则动点0的轨迹方程是.答案总+看=1解析由于沏=两+房，又两+房=届2两=2次设0(笛y),则游二一1沏=(卞 一J即9点坐标为卜永一/又尸在椭圆上，则有之即丁+7则有 即/+需=1.11.已知定圆肱(X3尸+/=16和圆所在平面内肯定点4点9是圆上一动点，线段PA的垂直平分线1交直线/于点Q.探讨0点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点.若定点力(5,0),试求的面积的最大值.解由题意知I仍=|3|,当力在圆外时，I例|4,且|3|一|画|=|可=4|也|,所以。点的轨迹是以四力为焦点的双曲线，见图(1).当/在圆内，且与不重合时，|也|4,且|3|+|函|二|加|=4|例|,所以。点的轨迹是以段力为焦点的椭圆，见图(2).当月在圆上时，/过定点弘/与田的交点0就是点弘所以点0的轨迹就是一个点，见 图.当力与重合时，/与网的交点0就是网的中点，所以点0的轨迹就是圆，见图(4).综上所述，0点的轨迹可能是四种.因为4(5,0)在圆内，由(1)知，点0的轨迹是以私力为焦点的椭圆，且|物|=2=2c,MP=4=2a,所以b=小,由椭圆的几何性质可知，0为短轴端点时，Szw/最大,所以加腿的最大值为3 2。6=(.12.如图，9是圆/+/=4上的动点，点分在不轴上的射影是点点满意晒=巳痂求动点的轨迹。的方程，并说明轨迹是什么图形；过点M3,0)的直线，与动点的轨迹。交于不同的两点4 B,求以以，神为邻边的平行 四边形力旗的顶点的轨迹方程.解设 M(x,y),则 D(x,0),由下泊;加口，P(x,2负,二点分在圆/+y=4 上，.*./+4y=4,故动点的轨迹。的方程为彳+y=1,且轨迹。为椭圆.设夕(x,p),由题意知/的斜率存在，2设/：p=A(x3),代入?+/=1,得(1+4A2)f24A2万+36左2 4=0,(*)、24左2设力(不，),3(x2,及)，则荀+=+42,7i+k=A(xi-3)+“(加一3)=左(右+加)6k24A3 一 一6k=1+4厂6=1+4/四边形旗为平行四边形，,应=勿+必=(荀+刘，/+/)(24A2 6女)=11+4/1+4#7 24炉_=1+4/又 0E=(x,y),.,6k消去A,得/+4/6万=0,由(*)中/=(241)24(1+4：)(36A24)0,得11-no8-3顶点的轨迹方程为x+4y2 6x=ofox0,满意题意.io y y14.设点P(x,y)是曲线ax+by=1(a0,60)上的动点，且满意+y+2y+1+yjx+y2 2y+l4)的点的轨 迹.给出下列三个结论：曲线。过坐标原点；曲线。关于坐标原点对称；若点尸在曲线。上，则/包的面积不大于其中，全部正确结论的序号是.答案解析 因为原点。到两个定点/(2,0),/0)的距离的积是4,又廿4,所以曲线。不 过原点，即错误；设动点在曲线。上，因为分(2,0),分0)关于原点对称，所以|阳|也|=3对应的轨迹关于原点对称，即 正确；因为 8m相PF2sinZRPF2|/|PF2=#,即电的面积不大于/I,即正确.
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