高考数学总复习 第六章 数列-专题突破 数列的综合问题.pdf

厚积扎实功底练就过硬素养 探悟多变考法激发卓越潜能第六章数列A专题突破16数列的综合问题核心考点课外阅读 规范答题课时作业温馨提示I鼠标轻轻一点，内容立即呈现I按笆I高考数学总复习核心考点考点一等差、等比数列的综合应用例1已知等差数列%和等比数列g满足即=2,既=1,a2+a3=10 b2b3=a4求数列5,(bn)(2)设数列.是数列5和数列g的相同项从小到大组成的新数列,Sn 七的前几项和，求力,并判断心是否为数列册返回至目录I按钝I高考数学总复习【解】(1)设等差数列5的公差为*等比数列也的公比为q由%+%=即+d+%+2d=4+3d=10,解得d=2an=+(n-l)d=2+2(n-1)=2n由b2b3=brqbrq2=q3=-a4=-8Z 解得q=-2.所以g=brqnr=(-2)n-1所以a九二2几，bn=(-2)n-1(2)由(1),知数列5和数列“的相同项即为数列04(1-4n)4n+1-4项，也即22,2匕26,28,2叫.所以=22几=4几所以=-1 4 3易知S八为偶数，所以S八必为数列g返回至目录I按羯I高考数学总复习【点拨】求和需要先求出通项公式，求通项公式需要先求出首项和公差（公比），确定解题的顺序.在数列的通项问题中，应注意第一项和后面的项能否用同一个公 式表示等，这些细节对解题的影响较大.返回至目录I按羯I高考数学总复习2S变式1（2022年全国甲卷）记S几为数列“几的前71项和.已知一-+n=2an+1 n（1）证明：%J（2）若口4,。79成等比数列，求Sn【解】（1）证明：-+n=2an+1,即2szi+层=2?ia九+九.当ri22 n2s+（n-I）2=2（n-l）a-+（n-1）,彳导2s八+九？-2s八 _1（71 1）2=2ia几+71 2（71 1）。几i（九1）2 a几+271 1 2Tle1rl 2（71 1）口八 _ i+1，即 2（九一l）a?i 2（71 1）。几i=2（）1 1）所以a八一。八_ 1=1,n 2fin G iV*所以。九返回至目录按钮高考数学总复习(2)1|(1)，得。4=+3,CLy a1+6,(Z9=口1+8又。4，。7，。9成等比数列，所以语=a4a9，即(即+6)2=(即+3)(即+8)a1=12n(n-1)1 9 25 1 25 9 625所以S几=-12n+-=2n 一5九二。1 一”-)-8当n=12或几=13时，九九山=一 78返回至目录按钮高考数学总复习考点二数列与函数、不等式例2设数歹的前几项和为S几，已知%=2,。2=8,Sn+1+4szi_i=记数列log2Qj的前几项和为七(1)求&J.1 1 1 1 50 4(2)B(l-)(1-)(1-),求 m2 3 41 TT/i【解】当九之2时，Sn+1+4Sn.1=5Snn+1-S九一，(，九Sji-1)/艮+1 4a九(?1 2)1 2,a?=8,a2=4a所以心是以2为首项，4为公比的等比数列.所以册=2x4-1=225Sn(n 2)-1返回至目录按钮高考数学总复习 由，得log2a几=log222rl T=271-1所以T几=log2al+log2a2+log2a3+g2an=1+3+5+(2n-1)n(l+2/1-1)二-.九 z21 1 1 1所以(1 一市)(1-)(1(1-)Y/2 1 4 1 m111 1二(1-R)X(1-三)X(1-衿)X(1-/22-1 32-1 42-1 m2-1=X X T5-xx-22 32 42 m2Ix3x2x4x3x5 xx(m-1)x(m+1)22 x 32 x 42 x-x m2lx2xmx(m+l)m+122 x m2 2m入 zn+1 50令下丁 而，解得皿99士（Tm返回至目录I按羯I高考数学总复习【点拨】数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的基本量几坐标的点在函数图象上，可得数列的递推关系；二是数列的项或前几于71列的求和与放缩法结合起来灵活运用.返回至目录I按羯I高考数学总复习变式2已知数列%J的前几项和为S”且满足2s几=3%-3(1)证明:数列%1(2)若数列也满足以=1唯矶记数列k1的前几项和为证明与n 0,所以%bnbn+i n(n+1)n71+11 1因为几EN*,所以=70.故T几nl-ryVl 71+1 n+1所以*Tnl返回至目录I按羯I高考数学总复习考点三奇偶项与子数列问题例3已知在各项均为正数的数列。中，ar=1,且0+1-W=2(1n+2an+1 g的前几项和为S”已知2s八+1=3bn()求。几,Pn(2)若在加与a+i之间依次插入&J中的上项构成新数列.如alf b2l a2。3，“4，”5，“6，04，.，求呢中前50项的和人。返回至目录按钮高考数学总复习【解】由W+i-反=2a九+2a八+i(Q?i+1 Q?i)(a?i+1+a?i)2(a 几+1+。几)因为ai+i+。几 0,所以。九+1-=2.所以a九以a注=2n 1当几=1时，2sl+1=2bl+1=3bll 解得=1当九22时，由2sli+1=3以得2s几_1+1=3b几_1一，得2g=3g一 3b-1，BPbn=3hn_1所以好是首项为1,公比为3的等比数歹I.故以=3几一返回至目录一救锂高考数学总复习 A(2)数列。几中，bk+i(含法+1(fc+l)(k+2)(1+2+3+/c)+(k+1)=-y-由U+iy+2)q 50(k G N*),得k i+j(J0)CL+Qj+i+Qj+2-l-卜 +j=71,则称Q为血(1)判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-(2)若Q:,，以为8-连续可表数列，求证：k(3)若Q:，a女为20-连续可表数列，且a1+。2+。3+5返回至目录按钮高考数学总复习【解】口2=1,%=2,即+Q=3,%=4,g+。3=5,所以Q是5 可表数列.易知不存在ij使得ai+%+1+%+2 H-Faj+j=6,所以Q不是6 表数列.(2)证明：若k 5返回至目录I按羯I高考数学总复习1 1 1变式【多选题】记数列5的前几项和为S”若7=-,其中4 BER力 3 八十万 CLn CLn+i则称心是P(4 3)节/不存在常数列%是P(4 B)数列 B.若%=n,则“是尸(1,0)VQn=2n,则&J是尸(1Z数列 3(11)【解】若即是不为。的常数列，则词力=。-nil n(n+1)cr.lxl 1 n2 1 1 1 111右心=九，贝瓦二所以m=”=2(ie)所以=区所以即是P(2,0)返回至目录按钮高考数学总复习右a几=2n,贝S几=211 171+112.所以S八+2=2几+1S 几+2 2n+1 2n 2n+1 因为&J是P(LB)数列，所以 1 1 111 1。n。几十.所以5是尸(L2)S n+B CLn1所以VziGN*,“71+1an H 0.n=1Si+8当n 2时，Sn+B=+0a2dnCLn+1“71+1 71，s几 一 1+8=a几 1。八”71071+1 a?l 1071a 八二 二 二。n+1 a?i a?i 一 口ni(a 几+1-a7i)(Q?i a?i i)CLn-CL.因为a几W 0,所以1=71-1“71+1a八_ 1a?i+1 a?!a?i 八in+i(a?i a?i-1)a?i-i(n+1 a1=an+ran.i.又”几H 0,所以a几是等比数列，故D正确.故选ACD返回至目录I.核便I高考数学总复习规范答题数列解答题【范例】(2024年新课标I卷第19题)(17分)设m为正整数，数列即,即,。3,4皿+2是公差不为。的等差数列，若从中删去两项出和出(i 力后剩余的4nl项可被平均分为m称数列即,。2，。3,47n+2是&/)(1)写出所有的6/),lij6,使数列a，a6是)-(2)当加23时，证明：数列，。4皿+2是(2,13)-(3)从1,2,3,，4m+2中一次任取两个数用V。2m+2.(14分)(利用j=4m+5与j=4m+6,计算 1+/Km再由(1)，知康i|=3,可得IGI之一+=+1ll、m2+m+1 1所以Pm N q_2 a_Z7 o87Tlz+6m+i 8返回至目录I按羯I高考数学总复习【总结提升】如何将一个数列划分为若干满足特定条件的子数列，是离散数学领域（等差数列、等比数列是其重要研究对象）关心的重点问题，此题以离散数学中的等 价类这一背景进行命制，具有很强的探索性、创新性和选拔性.根据考后统计数据，此题平均得分不到满分的十分之一，究其原因，主要有以下4点.一是答题时间分配不 合理，导致时间不够，空白率较高.二是阅读理解能力弱，对等差数列的概念与性质 理解不透彻，导致第（1）问列举不全，没拿到3分满分.三是分析解决问题的能力不 强，第（2）问无法根据去掉的两项的位置，进行合理分组，解决问题；返回至目录I按羯I高考数学总复习第(3)问不能基于前面两问的深入分析，得到启发，由特殊到一般地解决问题(本小问解法多样，具备思维开放性).四是逻辑思维不严谨，处理证明题能力不足,导致书写不严谨.因此，在日常学习中，要加强对等差数列、等比数列概念与性质的 理解，深入体会“由特殊到一般研究数列”“复杂问题分类处理”等数学思想，加强阅读 理解能力、推理论证能力、规范书写能力的训练，提高逻辑思维能力和自主探究、解 决问题的能力.返回至目录I核羯I高考数学总复习课时作亚1.设等差数列5的前几项和为S”已知。7-。2=10，且。1/6，。21(1)求。1 1 1(2)设数列-的前几项和为证明：Tn CZ几CZ九 _|_ 53-LO【解】(1)设数列为公差为da7 a2=W,即5d=10,即d=2由即，a6l a21al=即即1/即(即+I。)？=%(即+40)故 a几=5+2(n-1)=2n+3返回至目录2 3 4Je羯I高考数学总复习(2)则 即加证明：bn=-=,Q、g1不=（一工 一）1 4/八欧 1（2九:3）（2九+/）2,71+3,?1+5 九2 1sL 7 7 9 2n+3 2n+57 215 2n+5，5（2n+5）=-G N*n25 1 1因为 10 10+W 35,所以五 Tn n 35 1034返回至目录按钮高考数学总复习2,已知数列出的首项为四=工,且满足an+1=O 乙(X九 I X1(1)求证：数列-1“711 3(2)设好=几(不-1),记数列以的前几项和为7,求T”并证明：7V ar、,、一r?,3a九 g 1 2an+1 2 1【解】(1)证明：显然W o.由%1+1=7 工7，得-=丁-=可+2a曾+1。力41 3a曾 3 3a曾I v f w I I v，L11 1-1=n(-1)+1 an.?1又一-1=1 所以-1是以不为首项，-243返回至目录按钮高考数学总复习1 2 1 2(2)由(1),知-1=万,=而所以办几an 3 3 3 12 4 6 2(n-l)2n丁九=拿+三+3+3几1+*12 4 62n3-Tn=+3 n 32 33 342.一电72(n 1)2n3九+3几+12 2=-1-1-1-1-n 31 32十33十 3八t2H-3几2n q 2几+3甘匚、jt 3 2n+：3几+1-1+2 2x32 234返回至目录I按羯I高考数学总复习3.(2022年新课标II卷)已知心为等差数列，好a2-b2=a3-b3=b4-a4(1)证明：%=&i(2)求集合可%=a,+%,1 m 500(%+d 2bl=%+2d 4bL“1+d 2bl=80i (a+3a).dbi=ai=2d(2)由(1),知所以%=。瓶+。1乙bi X 2卜-1=+(m l)d+alt 即2-1=2m,即m=2k2 G 1,5002k 10.所以满足等式的解k=2,3,4，10.故集合用%=。祖+a1,l m,为数列5,CM的前71项和，$4=32,73=16(1)求an(2)证明：当几5时，TnSn返回至目录2 3 4i按羯I高考数学总复习 A【解】(1)设5的公差为d,则/%-6也=2。2=2。1+2d b3=%6=a1+2d 6,所以S4=4al+6d=32,T3=4al+4d-12=16.解得：(d=z.所以 Q 几=即+(71 l)d=2n+3所以。n的通项公式是a几=2n+3z、nn.z.5 71(5+2ti+3)(2n 3,n证明：由(1),知%=-=n2+4n,bn=L(47i+o,n当九为偶数时,bn_1+&n=2(n 1)3+4n+6=6n+l13+(6n+l)n 3?7Tn=-=n2+nn 2 2 2 2Tn=(61+仇+仇 H-H 6n-l)+(入2+64+6-n)34返回至目录Je羯I高考数学总复习3 7 1当71 5时，Tn-Sn=(-n2+-n)-(n2+4n)=-n(n-1)0,所以T几 Sn当几3 9 7 3 9 5T几=7九+1 一八九+i=(几+1)2+(几+1)-4(n+l)+6=-n2+-n-5Tn=+力3+b5 H-F bn)+(b2+b4+b6 H-F bn_1)3 5 1当71 5时，Tn Sn=(-n2+-n 5)(n2+4n)=-(n+2)(n 5)0 乙 乙 乙Tn 综上，当n5时，TnSn34返回至目录