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同角三角函数基本关系式及诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式siR+cos2a=1,照-an a.2.掌握诱导公 式，并会简单应用.落实主干知识【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2a+cos2a=l.商数关系：色=tan1Q丹+E,gZ).cos a j2.三角函数的诱导公式公式*二三四五六角2E+a/Z)7i+aa7i-a71屋 l+a正弦sin a sin a sin asin acos acos a余弦cos acos acos acos asin a sin a正切tan atan atan atan a一口诀奇变偶不变，符号看象限【常用结论】同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2a=1 cos2a=(1+cos q)(1 cos a)；cos2a=1 sin2a=(1+sin a)(1 sin a)；(sin acos a)2=l2sin occos a.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)若(为锐角,则 sin2+cos2=1.(X)(2)若aR,则tan。二妥勺亘成立.(X)LU、(A(3)sin(7i+a)=-since成立的条件是a为锐角.(X)(4)若 sin(-，=g,贝J cos a 二-g.(V)【教材改编题】1.已知是第二象限角，sin。=手，贝!J cos。的值为.答案-乎解析sin a=半，a是第二象限角，cos a=-yj 1-sin2a=-_ j sin a 2cos a z,、12.已知尸-=5,那么tan a 的值为_.3sma十5cos a答案-itsin q-2cos q解析 由-=-5,知cosaWO,等式左边分子、分母同时除以cos a,3sin a+5cos atan a-2可得-=-5,解得tan a二3 tan a+52316,3.化简1 sin（a兀）cos（2 兀a）的结果为答案 一sin2a角星析 原式=（-sin（x）-cos auOo（X=-sin2（x.探究核心题型题型一 同角三角函数基本关系 例 1（1）已知 cos a=一可，贝U 13sin a+5tan a=答案0 角星析 cos a=-卷。且 cos aW-1,a是第二或第三象限角.若。是第二象限角,贝J sin a 二弋 1-cos2a=_ 12=13,12.sin a 13 12.tan oc=-=7=-7.cos a 5 5-13止匕时 13sin a+5tan。二 13Xy|+5X(-=0.若a是第三象限角,_ 12=1312.sin a 13 12.tan a=-=三=w,cos a 5 5-13止匕时，13sin a+5tan a=13X-+5X=0.综上,13sin a+5tan a=0.(2)已知 tan a=g，r,sin a3cos a则Esin2a+sin occos a+2 答案-1 f解析已知tana=；,sin a-3cos a tan a-3 5所以-=-=-Tsm a+cos a tan a+1 sin2a+sin acos a+2sin2ot+sin occos a=-+2sin2(x+cos2ottan2a+tan a=-+2tan2a+1百亍7(3)已知 sin 9+cos。=近，。(0,兀)，贝U tan 9=.12答案一行7 60解析由 sin 9+cos 9=），得 sin&os。二-TZ7?/15 iObz因为。（0,兀），所以 sinGO,cos 00,所以 sin 3-cos 3=yjl-2sin 9cos 0=不，7 r 12sin 9+cos 9=F，sin。二 正，17解得彳 sin 0-cos 9=,|cos Q-记,所以tan。二-y.【教师备选】1.（2022.平顶山联考）已知;m jcs&=、,则 cos*26（+1sm 2a 等于（）cos ck sin ok 乙A 3 3A.g B.一5C.-3 D.3答案Asin a+3cos a tan a+3角翠析 由二-=5,得-二5,3cos a-sm a 3-tan a可得 tan a=2,贝J cos2（x+；sin 2a=cos2a+sin occos acos2a+sin occos a 1+tan occos2a+sin2（x 1+tan2a _3=?2.若 a（0,7i）,sin（兀-a）+cos a=则sin acos a的值为（）3，C.1B-WD.答案C解析由诱导公式得sin(7i-a)+cos a=sina+cos a=t、2所以(sin a+cos oc)2=1+2sin occos a=7贝！2sin acos a=-0,所以 cos a0,因为(sin a-cos a)2=l-2sin occos a=华，所以 sin a-cos a=j思维升华 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin a+cos a,sin acos a,sin a-cos a方法二（弦化切法）因为tan 9=-2,这三个式子，利用(sin acos a)2=l2sin acos a,可以(2)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+cos2z sin2oc：跟踪训练1(1)(2021.新高考全国I)若tan 0=一2,贝6 2 2 6A.B.C,D.g答案c解析方法一因为tan-2,所以角。的终边在第二或第四象限，、卜n泉、卜口泉所以j 或j、sin 0(1+sin 23)sin 9(sin 0+cos 02所以-sin 6+cos 0 sin 0+cos 0=sin 仇sin 0+cos 6)=sin20+sin 9cos 0_4 2_2=5-5=?知一求二.=1-cos2z cos2a=1-sin2oc.sin/1+sinJ sine+cos。寸)sin 9(1+sin 20)sin 0+cos 6sin 9(sin 0+cos 3)2sin 3+cos 3=sin 仇sin 0+cos 6)sin20+sin 9cos 0sid。+cos20tai?。+tan 0 4-2 21+tai?。1+4 5(2)已知a是三角形的内角，且tana=W,贝sina+cosa的值为答案一手角星析 由 tan a 二一；,得 sin a 二-geos a.将其代入 sin2a+cos2a=1,得rcos2a=1,y、9所以cos2a=正，易知cosa0且W1）的图象过定点尸，且角a的始边与x轴的正半轴重合,cosl终边过点p,则一（野Jin 修+J+sin 2acos|1+a）sin（一兀一 a）等于（）-3 3C，2 D.答案B解析易知函数於）=4 2+2（a0且4W1）的图象过定点P（2,3），故 tana=|,则+sin 2acos|2+aJsin（-兀-a）+a+sin 2。cos|2+aJsin a-sin occos a+2sin acos a-sin asin aB.）A-io3ToC-434D.答案A 解析 易知sin x=3cos x.所以 tanx=-3,所以 COS XCOsQ+9-sin xcos x=-sin xcos x=sin2%+cos2x-tan x 3 tan2x+1 1思维升华诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了;化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数利警f区任意正角的三角函数利用诱导公式口0 2兀内的角的三角函数舞森锐角三角函数 跟踪训练 2(1)已知 cos(75+)=|-,求 cos(105(x)+sin(15)=.答案0解析 因为(105。-d)+(75+)=180。，(15-a)+9+75。)=90。，所以 cos(105-a)=cos180-(75+a)=-cos(75+a)_ 1=3,sin(15-a)=sin90-(a+75)=cos(75+a)所以 cos(105-a)+sin(15-a)=-+0.l.sin(3兀+a)+cos(a兀)(2)(2022盐城南阳中字月考)设tan(5兀+a)=2,则一孑cos 2n)+sin(5+a)答案3解析 由已知tan(5兀+a)=tan a=2,sin(-3兀+a)+cos(ot-兀)cos|，11)a-5兀I+asin(7i+a)+cos(7i-a)cos(a+2)+a-sin a-cos a-sin a+cos asin a+cos asin a-cos atan(X+1-=3.tan(X-1题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用sin(a3ti)cos(27ioc)sinl-aI例 3 已知=-7-7-.cos(7ia)sm(7ia)化简角z)；31兀(2)若。=一手，求八Q)的值；若 C0S(-a-a 兀，3兀 T求/(a)的值.解(1)=sin(x-3?i)cos(2兀-a)sin-a+cos(-7i-ot)sin(-Ti-a)-sin aXcos aX(-cos a)-cos a X sin a=-cos a.+1_ 3171(2)右二则火a)=-cos-)71 1=-cos 2=2(3)由 cos-71 aZ51可得sin a=15因为a所以 cos a 二一，所以/(a)=-cos a【教师备选】2sin(7i+oc)cos(7i-d)cos(7i+a).设汽。)=-7-7(l+2sin iW0).1+sin2a+cos(3+a sin2!)化简角z)；23兀(2)若。=铲，求穴q)的值.(-2sin 办(-cos a)-cos a)解(刎=皿工+sm基2sin(xcos a+cos a2sin2oc+sin acos a(2sin a+1)sin a(2sin a+1)cos a 1一 sin a-tan a当a二-等时,tan1-4兀+看十#4tan 7*-6 3思维升华 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练3（1）（2022.聊城模拟）已知。为锐角，且2tan（7i一336+力+5=0,tan（7i+（z）+6sin（7i+）1=0,则 sin a 的值是（）现空西D1A.5 o.7 J 10 u3答案C解析由已知得3sinp-2tan a+5=0,tan a-6sin p-1=0.消去 sin p,得 tan a=3,sin a=3cos a,代入 sin2a+cos2a=1,化简得sin2a二卷 则sin q二陪4。为锐角）.(2)已矢口一兀vx0,sin(7i+x)cos x=15r,sin 2x+2sin2x 则1tan：答案24175解析由已知，得sinx+cosxj.两边平方得 sin2x+2sin xcos x+cos2x=24整理得2sinxcos x=-石.(sinx-cosx)2=l-2sinxcosx=f由-7ix0 知，sin x0,sin x-cos x0,7故 sin%-cos x=-亍sin 2x+2sin2x 2sin x(cos x+sin x)1-tan xsinx1-cos x2sin xcos x(cos x+sin x)COS X-sinx24 1-云对 7-524175,课时精练过基础保分练1.cos（一鸟等于（）A.一坐 B.-C.|D 坐2.若 cos 1650=，A.yjla2c 山一层.a答案c解析若cos 165。二 则 cos 15=cos(180=-cos 165-a,sin 15 1-2,则tan 195。等于()Ryl一 D.aaD.i-lla2a,-165)答案D所以 tan 195:y-c sir-tan 15-CO!3.若 cos(a-A含C起J3=tan(180+15)115。71-*s 15-a,*则sin借一a)等于()12B-13D13角翠析因为m-a+-御=1,所以磊-旧伞书，所以sin甯-a)=cos-萨得4.(2022.天津西青区模拟)已知sin a+cos a=一地，则tan。+而胃等于()A.2 B.g C.2 D.一；答案A解析由已知得1+2sin occos a=2,.1.sin(xcos a=,.1 sin a cos a tan a+-=-+-tan a cos a sm asin*2(x+cos2a 一 sin occos a 1-,25.在ABC中，下列结论不正确的是()A.sin(A+B)=sin CB+C AB.sin-=cos,C.tan(A+B)=-tanD.cos(A+B)=cos C答案D解析在ABC中，有4+5+。=兀，则 sin(A+B)=sin(7i-Q=sin C,A 正确.B+C(r A A _匕sin-一=sin(1-q=cos s，B 正确.tan(A+B)=tan(兀-Q=-tan,C 正确.cos(A+B)=cos(7i-C)=-cos C,D错误.6.已知a(0,7i),且sin a+cos Q=g,给出下列结论：(Dsin(xcos a=3 c 3cos a=j；cosz-sin=-1.其中所有正确结论的序号是（A.)B.C.D.答案A角平析 sin a+cos。=g.等式两边平方得(sin a+cos)2=1+2sin1(xcos a=云,12解得sin qcos a=故正确;.(0,兀)，sin(xcos a=-昔0,cos a0,故正确，错误;cos a-sin a0t且(cos a-sin a)2=1-2sin occos a=l-2X-g|=g,7解得cos a-sin a=-予 故正确.7.cos l+cos 2+cos 3H-Heos 177+cos 178+cos 179=.答案0解析 因为cos(180-a)=-cos a,于是得cos 10+cos 2+cos 3+cos 890+cos 900+cos 91+cos 177+cos 178+cos 179=cos 1+cos 2+cos 3+cos 890+cos 90-cos 89-cos 3-cos 2-cos 1=cos 90=0.2cos2。+sin2(27i-9)+sin0+3j3 7 兀、8.设式。)=2+2cos(7i+0+cos(-0，贝-121答案解析2cos2。+sin20+cos 0-3:a=-2+2cos2。+cos 0cos29+cos 0-22cos2。+cos 9+2又cos手=c6兀-071 1=COS =9.已知cos a是方程3x2 x 2=0的根，且a是第三象限角，求2解方程3兄2-X-2=0的根为用=1,X2=-2,2由题知cos a二-弓，.y5.sin(X=-3，tan a-?.原式二-cos asm(xtan2(x-sin acos a=tan2a=7、(2)已知 sin x+cos x=j(0 x7i),求 cos x2sin x 的值.77解 sinx+cosx=-(0 x7i),cos x0z 即 sin x-cos x0z才巴 sinx+cosx=-49两边平方得1+2sin xcos x=120即 2sin xcos x=-/.、2 i。289.(sm x-cos x)z=1-2sin xcos x=口口.17R|J sm x-cos x=瓦，7sin x+cos x=-育联立 17smx-cos x=z 5 12解得 sinx二石，cosx=-瓦，22cosx-2sinx=-77.10.(2022旗冰模拟)已知角。的终边经过点。(3祖，一6机)(加W0).sin(a+7i)+cos(o-7i)求,的值;sin+5)+2cos(2)若a是第二象限角，求sin2(a+引+sin(7i(x)-cos acosG+可的值.角翠(1):相20,二.cosaWO,即sin(a+71)+cos(oc-兀)2cos(q-2-sin a-cos acos a+2sin a-tana-11+2tan a又角a的终边经过点P(3m,-6m)(m0)ztan a-6m3m=-2,sin(Q+71)+COS(X-71)故-tan oc-11+2tan a-6m贝!sin a=i7(3m)2+(-6m)2-6m3y5m一 5，3mcos a=-17(3m)2+(-6m)23m 3y5m_迅一 一 5，2-1 1 7-l+2X(-2)-3,(2),q是第二象限角，机0,+sin(7i-a)cos a-cos仁+a=cos2a+sin(xcos a+sin a-1+255,胃技能提升练11.已知角a满足sin&cosaWO,则表达式丝也土蛔+照业小(左金的取值可能为()sin a cos aA.2 或 0C.2 或一2 答案CB.1 或 1D.2或2或0-sin q-cos q解析 当人为奇数时，原式二=（T）+（T）=-2；SUI（a LU、（a当人为偶数时，原式=瞿+筮=1+1=2.原表达式的取值可能为-2或2.12.（2022.河北六校联考）若sin a是方程5x7x6=0的根，贝!j2sin1-a 7 Isinl a）tan2（27id）伊Y；j）,等于（）cosl 21cos（5十 aJsin（7i+a）A.1 B.|C,D.答案B解析方程5砂-7%-6=0的两根为3 3Xi=-予 X2=2,贝sin a 二一j、cos a(-cos a)tan2a 1 5原式 sin a(-sin)(-sin a)sin a 313.曲线尸e%+x2在x=0处的切线的倾斜角为a,贝I sin(2Q+1=答案52解析由题意得=f(x)=ex+2x2 1所以/(。尸巳旷?所以 tan a=g,所以a。，号，、3所以 cos =99 4=cos 2a=2cos2。-1=2X-1=14.函数y=logq（x3）+2（q0且aWl）的图象过定点。，且角。的终边也过点。，贝U 3sin2。+2sin（xcos a=.7答案5解析 由题意可知点。(4,2),所以tan(x=1/所以 3sin2a+2sin occos a3sin2a+2sin occos asin2a+cos2a3tan2a+2tan a1+tan2a3XZ+2X1 7拓展冲刺练15.已知Hx）是定义在R上的偶函数，且在0,+8）上单调递增，若b=A.dbcB.cabC.bac D.cba答案B解析 根据题意，sin华=sin7i-y)又由函数加0是定义在R上的偶函数,则Q贝有 0cos 与sin 与lab.16.已知关于x的方程2/（M+1）%+机=0的两根分别是sin。和cos仇。（0,2兀），求:，八 sin20,cos 3（1）-7-n+1；一的值；sin 9cos 0 1 tan 0Q）m的值；方程的两根及此时0的值.解原式二sin20cos 0sin 0-cos 6 i sin cos 0sin2 cos2sin 3-cos 6 cos 0-sin 0sin2-cos20sin 6-cos 0=sin 0+cos 6.y3+1由已知得 sin 9+cos 6=一，匚Ui”sin?。cos 3 g+1所以-+-=-5-sin 0-cos 6 1-tan 9 z(2)由已知得 sin 6tos 解得j J 或j|cos 9=2 1cos。因为昵（0,2兀），所以亲哈