第三章：怎样理解数学的理解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 怎样理解数学的理解,怎样理解数学的理解,一、什么是数学的理解,二、理解的功效,三、理解是进行中的动态过程,四、理解发展的一个理论模型,一、什么是数学的理解？,行为主义对“理解”的解释,：,行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结认为学习是在不断的尝试与错误中逐渐形成联结。因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由自觉地执行向自动地执行的转化。于是,个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题。,行为主义所谓的理解需要有一个外在表现的判定。,带有行为主义色彩的“理解”：,会使用知识才叫理解。,当学生能够利用自己的语言来叙述一个概念或原理,时就有了理解。,理解是一系列水平的层次，例如：了解、领会、掌握、熟练应用等。,显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层,面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”,加以区别。事实上，行为主义只关注人的外部行为，,不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”,作深入探讨。,现代认知心理学对“理解”的阐释：,现代认知心理学认为:,理解实质上是学习者以信息的传输、编码为基础,根据已有经验及认知结构,主动建构内部的心理表征,并进而获得心理意义的过程。,这个,观点就理解的内部机制和过程进行说明，使理解所含有的内部要点，即内部发生了什么或内部应该做些什么，可以比较明确的把握，以指导学生的学习，诊断学生的错误，有利于教学方法的改进。,李士琦：,利用认知结构的观点，特别是结构的建构观点，我们认为学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的部分，那么才说明是理解了。,例如：学习复数的概念，除了要用到正、负,实数和方根等基本的数的概念以外，还须要,具有多项式及其运算的概念。,因为a+bi需要类比于a+bx，它不能再进一步,相加得(a+b)i或其他形式，故(1+2i)+(3+4i)只,可以作“同类项”合并,学生常常在我们称为“教学难点”的地方出错，仔细分析一下就会发现，这种情况常常发生在教学过程中知识的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处。,例如：算术与代数、数字与字母、平面与空间、常量与变量、有限与无限等衔接处。,这些教学内容的跳跃处，学生学习所需要的准备知识，即认知结构中有紧密关系的知识点，对新知识的依托比较薄弱或根本上就是不存在的，于是就会引起学习问题。,如：几何中“点”的概念,解决方法：有些教科书另辟蹊径，将“体”作为几何,概念的起点，由此来引出面、线、点等概念。,这样做的好处：体的直观对象与思维对象的本质,差别不大，在理解时可以利用认知结构中已有的直,观图式作心理依托，达到建构意义的目的。,总结：要让学生达到确切的理解，关键是要能帮助学生准备好已有的认知结构，以便组织新概念。如果他们缺乏当前必需的结构，就须立即补充，而且要达到一定的稳定程度，否则理解就很难进行下去。,2、必须选择和调动起相称的认知图式,在构建新概念或建构新概念的意义时，所利用的认知图式必须是,正确的、适当的，即相称的，,否则就会引起误解。,要形成正确的理解，并不只是靠感知或读通概念的定义就可以的事。在头脑中作信息加工的时候，被调动的内容将经过监控系统的比较、判断、甄别等复杂过程的过滤，而且须在形式上作一定的处理。,按照心理学观点，在处理过程中最基本的机制是同化与顺应。,同化与顺应：,1、信息处理时利用头脑中现成的图式，对知识进行,取舍、改变的过程称为“同化”过程。,2、在没有现成的图式可直接利用时，则设法调整或,改变自己已有的图式，或是设立新图式，使之能够,接纳新信息，这样的过程称为“顺应”。,比如：在一般的“距离-速度-时间”概念中，知道其中两个量，求第三个量，只要利用乘法及除法结构就可以。这里主要用到的了,“同化过程”。,而要理解“距离差-速度差-时间差”概念时，不仅需要利用上述“距离-速度-时间”关系，而且需要在心理上作一番调整和识别才能弄懂。这里就经历了一个,“顺应过程”。,在通常的认识过程中，同化与顺应总是互相补充，共同发挥作用。,数学教育心理学的一些研究认为，在数学学习中大部分过程是顺应过程，这也是数学难学的一个因素。,3、理解是一个信息或要素组织的过程,简单地讲，理解式的学习牵涉到两个方面的建构：,处理新旧知识之间的联系，产生一个新、旧知识之间的特定概念关系,组织起相应的关系结构，以利于新概念的存贮和回忆。,从一个概念的形成看，就是从若干个已有的适当的认知结构中萃取相关的要素，组织起来，并确定这些要点之间的特定的联系方式。,例如：代数和的概念,就是以算术和与算术差这两个概念作为组织的基,础，并且要先作一个心理上的顺应，将减法调整,为加法，这就是我们常说的“减去一个数，等于加,上这个数的相反数”，然后将两个基础要点组织成,为“代数和”这个新的概念。如下图（1）所示：,代数和,加其相反数,算术差,算术和,图1,例如：关于函数f(x)在点 处处连续的概念，决不会是按照定义的陈述顺序将定义的要素一次排列起来就能产生理解的，而是要分别弄清它们在情境下的特定含义，并根据定义陈述背后蕴含的内在意义，搭起一个很复杂的结构，如图（2）所示：,的指定，|x-|的含义,由|f(x)-f()|导出|x-|的方法和意义,量词 的含义,的意义，它与 的关系,|f(x)-f()|的含义,关于|f(x)-f()|的意义,量词 的意义,的含义,图（2）,4、理解还需要认知结构的再组织,如果说单个概念的形成是一个心理上的组织过程的话，那么学习中更为重要的是心理上的再组织过程，这是一个对数学来说至关重要的过程。如果没有再组织或调整，较深入的理解是不可能达到的。,比如：函数概念结构按照“变量说”的定义“对应说”的概念定义那么对函数的理解就必须作一个调整，函数是f，而不是f(x)。其定义域和值域的范围也要作恰当的推广。即函数概念的图式需经历再组的过程，以达到新的水平的理解。,随着学习的展开，知识的增多，数学的知识又需要作进一步的组织。这种组织是一个专题内或几个专题之间的或密切或松散的关系结构。,比如学习一般的工程问题，可能会组成一个“工程问题”图式，但一旦与行程问题进行对比后，可以发现两者的基本要素有本质上的类同，实质上可以归纳入一个结构，使知识的组织得以简化。然而，思维的建构工作又不是两类概念的简单合并，需要把握他们之间的异,同。,总而言之：,理解过程中，认知结构始终呈现一种,动态的特性。,学习从本质上讲是一个经验的过程，需,要靠时间来逐步体会其中的意义。初步的经,验未必没有意义，但通常比较肤浅，比较狭,隘，比较片面。借助于内部结构的再组织，,将能使思维对对象的把握达到一个理性的阶,段，进展到一个更深入、更全面、更广阔的,程度。,数学中每一个概念，从本质上说都是嵌进了一些概念的体系中的，它从一些基础概念中得来，又为建立别的概念作基础，因此它总是概念结构网络中的一个节点，与其它概念存在着包含、从属或并列关系。,综上：理解一个概念不仅要懂得本身规定的内部联系，而且要从它与其他概念的外部关系中去理解。,比如：理解绝对值的概念，要依靠正负数、相反数概念，而绝对值概念形成后，反过来又能加深对正负数、相反数的理解。,数学学习中的理解,应解释为对已学东西的意义不断地加以更新、改造、整理和重组的过程，为形成更合理的结构，从整体内部进行正、逆交叉、跳跃式的联系，从总体中认识局部的、孤立的概念之间的内部联系，通过表象的更新、新联系的建立、旧联系的调整或抛弃来影响总体或局部结构的进化，甚至得以革新，形成更丰富、更紧密、更融会贯通的知识网络。,学生要能够在理解中进行结构的再组织，其必不可少的机制是心理上的反省思维。,通俗来讲：“反省”是自己做了某件事，然后“脱身”出来，让自己以一个“旁观者”的姿态，换一个角度来考虑所作所为，把自己的思考过程作为考察对象，然后加以调整、改进或提炼。反省也称反思。,反省是以自己的行为为思维对象，因此将产生高一层次的思维成果，达到对象的重新组织，所以它是具有一定抽象水平的思维活动，其中包含了反省意识和反省的方法。,Dubinsky等人认为，反省抽象有两类基本形式：,通过几个结构，反省到更一般的高一水平的结构,通过对已有结构的反省，构造出不同于原来的新结构。,学生可能要达到一定认知水平才具有这种能力，运用这种机制去认识数学理解的特点和方式，因此需要在适当的阶段加以有意识的培养，以利于学习的发展。,二、理解的功效：,1、理解可以促进记忆,我们将学习看成是一个建构，那么将信息处理成能够记忆的形式也就是一个建构和再建构的过程。所以记忆不是一个被动的将所得信息原封不动地、接收、存贮的过程，在信息处理过程中，理解即建构意义的工作主要涉及三个方面：,首先，须将原始信息改造成适应个人认知结构特点、便于存入和提取的形式，因此，建立概念表象对自己越熟悉、越精致、越准确，就越记得住，也就越容易提取。,其次，新知识节点与其他节点的连线越多，该接待你的入口就越多，经由这些通道进入该节点的机会也就增多。,再次，在新、旧知识的节点的联系中，本质性的联系越多，准确性越强，这些联系就越紧密和牢固，甚至可以大大减少中间连线的数量没这样，经由其他节点激活该节点的可能性越大，回忆必然越方便越迅速。,当个人在处理信息中对新知识建构了理解以后，就加强了知识联系的广度和深度，从而使新知识的记忆获得提高。,2、理解能降低知识的记忆量,由于工作记忆容量的有限与狭小，如果一个知识点,没有得到理解，那么它将只能单独地、孤立地存入记忆,中的某个地方，并且占用一个记忆单位。当一个知识点,获得理解以后，它就与其他相关知识一起被组织起来。,也就是说：它就进入到某一个组块中，并成为其中的一,个有机组成部分，以一个网络中的一元表示出来。,综上：如果网络的结构越强，那么需要单独记忆的,东西就越少，相对而言组块数量就越少。更进一步看，,随着理解的深入，网络内部可能得到简化，网络与网,络之间的外部联系又得以加强，一些网络能进一步组成,新的整体，使整体结构获得简化。这样一来，记忆负担,得以减轻，信息的提取也更加方便。,3、,理解将推动迁移,1）迁移：一种学习对另一种学习的影响。,2）迁移的分类：,a、按时间顺序分为：顺向迁移和逆向迁移,顺向迁移指：先前对后继的影响,逆向迁移指：后继对先前的影响,b、按迁移的作用分为：正迁移和负迁移,正迁移是指一种学习能促进另一种学习,负迁移是指一种学习对另一种学习的干扰或抑制,教学中应用：考虑关键因素是怎样才能形成和推,动学习的正迁移，避免负迁移。,“形式训练”,的观点认为：要达到迁移必须经过若干,的心理功能的专门训练。,“相同要素”或“共同成份”,的观点认为：只有当两类学,习中存在着相同要素或共同的成份的情境过程时，才可,能获得预期效果。这个观点是伴随着行为主义的学习观,点而来的，它比较注重知识方面，局限于具体的知识，,就事论事，其解释比较狭窄。,“概括化迁移”,的观点认为：将远离的理解作为实现迁,移的关键，当学生能将两类学习活动中的基础原理识别,和提炼出来时，将能达到迁移。这个观点是与认知理论,联系密切的，关于迁移的条件与数学教学更贴近一些。,从认知结构的观点来解释理解，那么,知识之间网络,结构的建立与改进是理解的内部活动,，这实质上就为学,习的迁移提供了潜在的支持，因为理解就是建立更好的,表象以及表象之间更好的、更多的联系，这就为学习之,间的相互影响打下基础，或者反过来说，迁移也正是需,要在联系中对其他学习发生影响，产生功能。,经过理解过程中的对相关知识、方法等的异同进行,比较、判别、分析、提炼和抽象，从而打破了原以为无,关的知识、方法之间的藩篱，为迁移创造了先决条件。,4、,理解会影响信念,我们要求学生理解数学，建构知识结构，寻找知识的联系，那么他们在思考、理解的过程中会渐渐地体会到数学是一个有紧密的内部联系的整体，网络内部和网络之间的联系将数学组织的非常有条理，这些联系是可以通过自己的努力去探索、常识性地建立起来的，这同时也建立起比较正确的数学观及数学学习观等信念。,这些信念将会促进他们对数学内容、方法的理解和掌握。,三、理解是进行中的动态过程,传统的观点认为：理解是学习的结果，是取得的成果，是一种终结的状态。,认知建构观点提出：理解是认知结构的建构和知识意义的建构。,这给理解以致学习赋予了崭新的含义。,1、理解是一个“谱”,理解是一个由学生自己积极地构造的过程。,这个过程有发生也有发展。,学习者要根据教师或书本提供的信息，寻找,自己思想中已有的适当的知识材料，尝试建立一,个初步的结构，然后在联系、解题、复习等等情,况下作反省或检验，加以调整、更新、进行再组,织，并继续寻找与其它知识组块的联系，将其融,入更大、更高效的结构中去。,理解不是指接受现成的结果或是获得的知识,的最终状态，而是一个动态的、发展的过程。,连加过程,乘法概念,例如：,加法概念,乘法概念,乘方概念,乘法过程,加法概念,R,.Skemp将理解划分为：“工具性理解”和,“关系性理解”。,工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由。,关系性理解是我们平时所讲的“知道怎么做”又,“知道为什么这样做”。,R,.Skemp的观点在方法,上打开了研究的思路，使人们认识到不应将“理解”,看成一个单方面的、要么是对、要么是错的东西，,而是一个有丰富内涵的，多个侧面的、多种成分的，,应加以剖析的“谱”,是一个“范围”，一个“系,列”。,Tom Kieren不同意R,.Skemp的观点,从建构观点上看，学生只要经过自己努力，总是能在某种层次、某种水平上知道“为什么”的。所以理解不是全对、全错的结果，也不存在全有、全无的两个极端，学习与理解不能截然地分割开来。换句话说即任何学习都将带有一定程度的理解。,2、建构是螺旋式发展的,按照皮亚杰的观点：建构过程的发展方式是螺旋形上升,的，这对数学教育颇有启发。实际上数学体系的发展就是螺,旋式的、往复递进式的。例如：数系的发展，数系的扩充是,一个逐步揭示和解决矛盾的过程。又如：积分概念。,实际教学应用：,学生对数学学习的理解不是直线发展,的，不应要求学生在接触某一个专题的该阶段时间里一次性,地完成，而需要在认识向前发展的过程中时时返首回顾，为,认识新的数学内容而重温已接触过的东西，主次地拓广或更,新自己的理解体会，通过螺旋形往复式的认识和再认识，作,进一步的同化和顺应，以适应全面深刻地掌握认知对象的要,求。,数学史上三次危机,第一次数学危机无理数的发现,发展：促成了公理几何与逻辑的诞生。,第二次数学危机 微积分的发明（无穷小,量是零吗？）,发展：促成了分析基础理论的完善与集合论的,创立。,第三次数学危机罗素悖论,发展：促成了数理逻辑的发展与一批现代数学,的产生。,著名的哥而徳定理：哥德尔于1931年证明的两个定理。,第一不完备性定理：任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。,第二不完备性定理：任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。,哥德尔的不完备性定理使希尔伯特证明数论系统无矛盾性的方案归于失败。但哥德尔的证明中所用到的方法却开创了递归论的研究。哥德尔不完备性定理中所指出的不可判定的命题是理论的而不是自然的命题。,哥德尔定理阐述了这么一个道理，完备的系统里，必然蕴含着矛盾，即存在不可判定的命题，要判定此命题，需更高层次的系统。,依照该定理，一个形式的数学系统，即使是最基本的算术系统，如果它是完备的，就一定是不相容的，其中必存在既不能肯定，也不能否定的命题，即它包含了无法确定真伪的命题。因此一个完备的、相容的数学体系，不能只靠它自己的或较弱的手段来证明该体系的无矛盾性，而需要利用这个体系基础上发展起来的高级体系中的更强的理论。,就学习和理解而言，它具有明确的指导意义，它说明了，数学体系、数学整体不是封闭的、对于某个整体中的有一些概念、命题和法则，仅在内部理解是不够的，必然要利用专题以外的内容来帮助理解，需要到更大的范围中去需找启发领悟的契机。,总之，当一个结构还未放到一个高层次或更大结构中检验时，它总是不完善的。新的层次和情景将对原有结构提出新的建构的要求，产生深入理解的动力。,按照,Kieren的提法，理解是一个进行中的过程，它是来回往返地逐步递进的，其发展是持续的，而且不会存在终点。,讲的绝对一点：理解只有深浅之分，只有改进，没有彻底的完善。,这个观点的积极意义是：为看待学生的学习水平提供了新的观念。,比如：任何一个学生的理解过程都存在着可资利,用之处，即使是差生的一个错误的表现中，也可以在,他内部建构中看到一定的进步，应给以鼓励和利用。,又如：学生学习评价方式上的改善：分数在多大程,度上反映出学生的建构？,四、理解发展的一个理论模型,英国的皮尔（S,.Pirie）和加拿大的凯仞（T.Kieren）提出了一个数学理解发展的理论模型，这个模型以认知的观点,强调理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的发展，是反反复复的建构组织过程，是以认知观点比较全面认识数学理解的一个好理论。,理解的八个水平：,1、初步了解：了解概念的有关方面。特别指出这一水平的理解是指初始的思考活动，但不一定是低水平的活动。,2、产生表象：能根据先前的了解逐步产生表象，其表象可能是错的，归结出它的特征，并以新的方式运用。,3、形成表象：使学生能有了好的表象，能脱离产生表象的活动而使用它。,4、关注性质：表现为能够利用并组织概念的若干表象的几个方面，构造出特殊的、相关的性质。,5、形式化：学生能从以前的表象抽象出方法或是常 用的特征，并根据有关性质的一些理由，建立形 式化的数学对象。,6、观察评述：能够将概念、性质形式化的学生就也 能反省并协调这样的活动，将这种活动结果表示成定理。,7、组织结构：学生能将形式的观察评论转化为定理法则，了解了一组定理间的相互关系后，通过逻辑等方式验证或证实它们。,8、发明创造：学生有了全面的结构性的理解，因此能产生、形成其它新的概念、新的问题。,这里的“了解”、“产生”、“形成”、“观察”、“组织”等等主要是指人的内部思维的心理“行为”，不强调“外显的”行为。,要检验学生是否达到某一水平，还是需要利用学生的外部表现来鉴定，但不是看学生的答案是否正确或是得多少分，而是要利用观察、谈话、倾听等方法仔细地了解、分析他们的思维过程，从多方面的信息中作全面的综合判断。,初步,了解,产生,表象,形成,表象,关注,性质,形式化,观察,评述,组织,结构,发明,创造,理解的超回归模型,这八个水平的理解，用二维的形式来描述，目的之一在于表明它不是单向发展的过程，这强调了相互关系。,如上图所示：每一个圆包含了前面的小圆，又含在后面的大圆中，可以逐步拓广。,理解过程中的具体活动在其间可以前后来回移动，以表明理解是一个动态的、组织的过程。,这八种理解水平着眼是表示内层和外层的差别，而不是强调水平的高低之分。,模式的三个特点,Pirie和Kieren认为每一个理解水平内部存在着达到和推进理解的两种要素性活动。,学生在这一水平上的实际组织活动,学生的表达活动,特点一：进一步分别描述了各个水平中这两类不同的活,动，并做了命名（除第一和第八水平外）。,水 平,活 动,表 达,产生表象,制作表象,检查表象,形成表象,查看表象,说明表象,关注性质,预测性质,记录性质,形式化,应用方法,证实方法,观察评述,确定特点,描述特点,组织结构,猜想定理,证明定理,活动与表达两个部分，两者互补，共同完成整个水平上的,理解。在任一个水平上的理解活动包含了以前水平的所有,的理解，为发展的连续性提供内层基础，表达则为各个水,平区分出自己的特点。,模式所表示的这个特点，将内部的思维活动与外部的语言表达活动结合在一起,说明了活动需要语言来总结与反省，以让概念思维的内部活动转化为外部活动，成为有意识的活动，使语言成为促进思维活动成熟的动力。,活动的外部语言化要求语言表达能力的发展与提高。,两者相互补充、配合与促进，推动了理解的发展，这也体现了,Vygotsky,关于自发性概念与科学概念、思维与语言活动相互关系的精辟思想。,例如：让学生考虑函数 ，要求在-2和+2之间取,x,的整数值，求得对应的,y,的值，列成一张表，并按表上的值在坐标平面上画出图像。,若学生能解决这些问题，在直角平面坐标系中找出各个点，并用光滑的曲线将各个点依次连起来，那么就是在进行,“产生表象”的理解,，是在作,“制作表象”的活动,将各点的连接看成是一个有着特定次序的情况，就需要进行,“检查表象”,的活动，作为“制作表象”的补充。,特点二：描述了理解的波浪式发展的动态性：,理解并不是单向地由内向外发展，也不只是可以在某处徘徊或停顿。,如：学生的理解过程中，在某一水平上遇到不能解决的问题，不能前进时，除了停留下来回忆思考外，也会需要随时返回到前面的某一水平作补救性的内层水平的深入理解。,此时特点：学生已带有解决外层水平的问题的目的，来调整某一水平上的不适当的理解，显然与原先的意义有所不同，他的新建构为外层水平理解提供更好的必要条件。,由于各人情况不同，学生将以不同的速度、方法从内部水平逐步向外发展，又可不时地折返回内层，建立更广更深的理解。,性质三：反映了数学学习独有的性质,模型示意图有三个圆是用粗黑线画出的，为了要,表示理解超出了这个边界后，学生就又能力直接,使用现有的理解了的对象，进行新阶段水平的独,立活动，这正体现了数学的符号水平的操作和思,考活动的特点，表明学生的发展在此有了数学上,的质的飞跃，可以摆脱前一水平活动中具体的或,思维参照物的束缚，不再重复理解具体符号的过,程，或借助具体表象。,初步,了解,产生,表象,形成,表象,关注,性质,形式化,观察,评述,组织,结构,发明,创造,不必要的边界,必要的边界,理解的超回归模型,一个学生形成了数学概念表象后，就有能力不再做产生表象的活动，或不需要回忆实际例子，而直接应用表象了。,例如：学习分数时，就不必再画出一个圆的三分之一阴,影部分，或是一条线段的三分之一长度来表示1/3，而,用某个心理表象来代表和想象分数。,但在“关注性质”水平，学生仍需要利用形成现有表象的活动，以能够关注一般性。因此必须穿越“形成表象”和“注意性质”的界线，才能完成“关注性质”的工作。,从“关注性质”发展到“形式化”后，学生掌握了形式化概念，可以不再利用表象而发展理解。,这个模型最根本性的特点是：将理解看作为一个整体的、动态的、分水平的但不是线性的发展。,这个理论讲理解表示为人们只是结构的不断、连续的组织：一个动态的过程，而不是各种认识的获得。,超回归数学理解模型的启示,“超回归”数学理解模型及示,“超回归”数学理解模型解释了学生数学理解过程的基本规律，运用这一理解模型，可以对不同的学生，在各种学习环境中进行的教学活动和理解过程，进行细致的分析和研究，然后，根据得到的结论，制定教学计划，组织教学及开发教材。,1、应“螺旋式”地安排知识,根据“超回归”数学理解模型，数学的理解并非是直线发展的，而要经历一个多次重新返回到内测水平的过程，才能逐步达到高水平的理解，只有重新回到内测水平，才能扩充和加深外侧水平的理解。由此可知，学生在数学学习过程中，不可能一次完成，需要不断地进行反复，才能逐渐地把对新知识的理解推向深入。因此，在教学过程中，为了加深和扩充学生对数学基本概念、基本原理的理解，要以基本概念、基本原理为核心，“螺旋式”地安排知识，使学生能够反复地接触重要的基本概念和原理，直至学生掌握了与这些基本观念相适应的知识体系为止。,2、应丰富学生能的数学学习材料,根据“超回归”数学理解模型，数学理解有着不同的层次和水平，不能认为只有对事物本质规律的认识才算是理解表象水平的理解.即使是初步的、不完全的，只要它与对事物本质和规律的认识相联系，都可以称为理解并且,起源于教学活动的初步了解和表象是数学理解的基础由此可知，学生在学习新知识时，经常要回到内侧水平理解中去，依靠具体经验获得对新知识的相应水平的理解这就要求教师要根据教科书提供的线索，为学生提供实物、图、表等丰富的数学学习材料，让学生有充分的时间对具体事物进行操作使他们获得学习新知识所需要的具体经验，通过自己的思维构成对概念的理解，而不是通过机械地重复，记住教师所讲述的那些关于概念的现成解释这样学生所获得的知识才是全面的、清晰的、牢固的,3、应给学生反省的机会和时间,根据“超回归”数学理解模型，学习者面对一个不能马上理解或解决的问题，为了加深和扩充自己的理解不只是将自己的理解直线式地抽象为更高水平的理解，而是通过重新返回更内侧理解水平来完成数学理解之所以能从内侧扩充到外侧，关键要靠主体不断地进行反省和抽象，反省和抽象是不断提高数学理解水平的重要手段因此，要给学生学习的主动权不能拨苗助长，急于求成允许学生有学习上的反复，使他们有时间、有机会对自己的思维活动过程进行反省，通过观察、反刍、抽象和改进等思维活动来提高对新知识的理解,