资源描述
,2.2.2,向量减法,1/53,【,知识提炼,】,1.,相反向量及性质,相反,向量,定义,与a长度_、方向_向量，叫,作a相反向量，记作：_.,性质,(1)-(-a)=_.,(2)假如a，b是互为相反向量，那么,a=_，b=_，a+b=_.,(3)a-b=a+_.,(4)零向量相反向量仍是_.,相等,相反,-,a,a,-,b,-,a,0,(-,b,),零向量,2/53,2.,向量减法及几何意义,向量减法,向量a加上向量b_,叫作a与b差,即a-b=a+(-b),求两个向量差运算,叫作向量减法.,向量减法,几何意义,如图，设,则 =a-b，即a-b表示从_终点B,指向_终点A向量.,相反向量,向量,b,被减向量,a,3/53,【,即时小测,】,1.,思索以下问题,:,(1),任何向量与其相反向量共线吗,?,提醒,:,共线,.,假如该向量为零向量,其相反向量也是零向量,零向量与任何向量共线,;,假如该向量不是零向量,该向量与其相反向量方向相反,所以共线,.,4/53,(2),向量加法运算律适合用于向量减法吗,?,提醒,:,适用,.,向量减法能够借助于相反向量转化为向量加法运算,所以适用,.,5/53,2.=,(,),【,解析,】,选,B.,6/53,3.,在,ABC,中,则,=,(,),A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b,【,解析,】,选,D.,因为,7/53,4.,在,ABC,中,D,是,BC,中点,设,则,d,-,a,=_.,【,解析,】,如图,答案,:,c,8/53,5.,已知平行四边形,ABCD,对角线相交于点,O,且,则,=_.(,用,a,b,表示,),【,解析,】,如图,=-,a,-,b,.,答案,:,-,a,-,b,9/53,【,知识探究,】,知识点,向量减法,观察如图所表示内容,回答以下问题,:,问题,1:,向量相反向量是怎样定义,?,有何性质,?,问题,2:,怎样进行向量减法运算,?,运算法则是什么,?,10/53,【,总结提升,】,1.,相反向量意义,(1),在相反向量基础上,能够经过向量加法定义向量减法,.,(2),为向量“移项”提供依据,.,利用,(-,a,)+,a,=,0,在向量等式两端加上某个向量相反向量,实现向量“移项”,.,比如,由,a,+,b,=,c,+,d,可得,a,-,c,=,d,-,b,.,11/53,2.,对相反向量三点说明,(1),a,与,-,a,互为相反向量,.,(2),相反向量与方向相反向量不是同一个概念,相反向量是方向相反向量,反之不成立,.,(3),相反向量与相反数是两个不一样概念,相反数是两个数符号相反,绝对值相等,;,相反向量是方向相反,模长相等两个向量,.,12/53,3.,对向量减法了解,(1),实质,:,向量减法实质是向量加法逆运算,.,(2),应用,:,利用相反向量定义,把其中减向量方向变为与原方向相反,大小不变就能够把减法化为加法,.,在用三角形法则作两个共起点向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可,.,13/53,4.,非零向量,a,b,差向量不等式,14/53,(1),当,a,b,不共线时,如图,作,因为在三角形中两边之和大于第三边,于是,|,a,-,b,|,b,|,则,a,-,b,与,a,b,同向,(,如图,),于是,|,a,-,b,|=|,a,|-|,b,|.,若,|,a,|,b,|,则,a,-,b,与,a,b,反向,(,如图,),于是,|,a,-,b,|=|,b,|-|,a,|.,15/53,(3),当,a,b,共线且反向时,a,-,b,与,a,同向,与,b,反向,.,于是,|,a,-,b,|=|,a,|+|,b,|(,如图,).,可见,对任意两个非零向量,总有以下向量不等式成立,:,|,a,|-|,b,|,a,-,b,|,a,|+|,b,|.,16/53,【,题型探究,】,类型一,向量减法几何意义,【,典例,】,1.,如图,在梯形,ABCD,中,ADBC,AC,与,BD,交于,O,点,则,=_.,17/53,2.,如图所表示,O,为,ABC,内一点,求作,:,b,+,c,-,a,.,18/53,【,解题探究,】,1.,两个向量作差前提条件是什么,?,提醒,:,前提条件是两向量同起点,.,2.,题,2,中三个向量有何共同特点,?,提醒,:,三个向量同起点,.,19/53,【,解析,】,1.,答案,:,20/53,2.,方法一,:,以,为邻边作,OBDC,连接,OD,AD,则,方法二,:,作,连接,AD,则,21/53,【,方法技巧,】,利用向量减法进行几何作图方法,(1),已知向量,a,b,如图所表示,作,利用向量减法三,角形法则可得,a,-,b,利用此方法作图时,把两个向量起点放在一起,则,这两个向量差是以减向量终点为起点,被减向量终点为终点,向量,.,22/53,(2),利用相反向量作图,经过向量求和平行四边形法则作出,a,-,b,.,如,图所表示,作,23/53,【,拓展延伸,】,向量加法与减法几何意义联络,(1),如图所表示,平行四边形,ABCD,中,若,(2),类比,|,a,|-|,b,|,a,+,b,|,a,|+|,b,|.,可知,|,a,|-|,b,|,a,-,b,|,a,|+|,b,|.,24/53,【,变式训练,】,如图,已知向量,a,b,c,不共线,求作向量,a,+,b,-,c,.,25/53,【,解析,】,方法一,:,如图,在平面内任取一点,O,作,再作,方法二,:,如图,在平面内任取一点,O,作,再作,=,c,连接,OC,则,=,a,+,b,-,c,.,26/53,类型二,用已知向量表示其它向量,【,典例,】,平行四边形中,用,a,b,表示向量,【,解题探究,】,怎样建立被表示向量与已知向量间联络,?,提醒,:,由向量加法平行四边形法则及向量减法三角形法则可得,.,27/53,【,解析,】,由平行四边形法则得,:,28/53,【,延伸探究,】,1.(,变换条件、改变问法,),平行四边形中,当,|,a,|=|,b,|,时,试判断,关系,.,【,解析,】,由平行四边形法则得,:,因为,|,a,|=|,b,|,所以四边形为菱形,所以,相互垂直,.,29/53,2.(,改变问法,),本例条件不变,当,a,b,满足什么条件时,|a+b|,与,|a-b|,相,等,?,【,解析,】,由平行四边形法则知,因为,AC,BD,为平行四边形两条对角线,所以要使,|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,需四边形是,矩形,故当,a,b,垂直时,|,a,+,b,|,与,|,a,-,b,|,相等,.,30/53,【,方法技巧,】,利用已知向量表示其它向量一个关键及三点注意,(1),一个关键,一个关键是确定已知向量与被表示向量转化渠道,.,(2),三点注意,注意相等向量、相反向量、共线向量以及组成三角形三向量之间关系,.,注意应用向量加法、减法几何意义以及它们运算律,.,注意在封闭图形中利用多边形法则,.,31/53,【,赔偿训练,】,设,O,是,ABC,内一点,且,若以线段,OA,OB,为邻边作平行四边形,第四个顶点为,D,再以,OC,OD,为邻边作平,行四边形,其第四个顶点为,H.,试用,a,b,c,表示,32/53,【,解析,】,由题意可知四边形,OADB,为平行四边形,所以,=,a,+,b,所以,=,c,-(,a,+,b,)=,c,-,a,-,b,.,又四边形,ODHC,为平行四边形,所以,=,c+a+b,所以,=,a+b+c-b=a+c,.,33/53,【,延伸探究,】,1.(,改变问法,),本题条件不变,怎样用向量,a,b,c,表示出向量,?,【,解析,】,由以上可得,34/53,2.(,变换条件,),本题条件改为如图所表示,在五边形,ABCDE,中,若四边形,ACDE,是平行四边形,且,试用向量,a,b,c,表示向,量,35/53,【,解析,】,因为四边形,ACDE,是平行四边形,所以,所以,36/53,类型三,向量加法、减法综合应用,【,典例,】,如图,已知向量,满足,|,a,|=1,|,b,|=2,且,BAD=,60,求,|,a,-,b,|.,37/53,【,解题探究,】,|,a,-,b,|,在图形中实际上是什么,?,提醒,:,|,a,-,b,|,在图形中实际上是,ABD,一条边长,.,38/53,【,解析,】,由向量减法三角形法则可知,=,a,-,b,在,ABD,中,因为,BAD=60,AD=1,AB=2,所以,ABD,为直角三角形,即,ADBD,BD=ADtan60=1 =.,所以,|,a,-,b,|=.,39/53,【,延伸探究,】,本例条件变为“,|,a,|=1,|,b,|=2,且,|,a,-,b,|=2”,求,|,a,+,b,|.,【,解析,】,如图,在平面内任取一点,A,作,由题意,过点,B,作,BEAD,于点,E,过点,C,作,CFAB,交直线,AB,于点,F.,因为,AB=BD=2,所以,AE=ED=AD=.,40/53,因为,CBF=EAB,又在,ABE,中,所以,BF=BCcosCBF=1 =.,所以,CF=,所以,AF=AB+BF=,所以在,RtAFC,中,即,|,a,+,b,|=.,41/53,【,方法技巧,】,向量加法与减法综合应用时注意点,(1),向量减法实质是向量加法逆运算,普通利用三角形法则求解,.,(2),向量减法运算在平行四边形中应用,要明确,a,-,b,几何意义,.,(3),向量减法几何意义往往与向量加法几何意义结合应用,在应用过程中要结合矩形、正方形、三角形边角性质,所以要熟悉相关图形性质,.,42/53,【,变式训练,】,如图,O,是平行四边形,ABCD,对角线,AC,BD,交点,设,43/53,【,解题指南,】,要证实,b,+,c,-,a,=,可转化为证实,b,+,c,=+,a,从而利,用向量加法证实,;,也能够从,c,-,a,入手,利用向量减法证实,.,44/53,【,证实,】,在,ABCD,中,因为,又因为,所以,45/53,【,赔偿训练,】,已知,A,B,C,是不共线三点,O,是,ABC,内一点,若,求证,:O,是,ABC,重心,.,46/53,【,证实,】,因为,方向相反且长度相等向量,.,如图所表示,以,OB,OC,为相邻两边作平行四边形,则,所以,A,O,D,三点共线,.,47/53,在平行四边形,OBDC,中,设,OD,与,BC,交于,E,则,所以,AE,是,ABC,边,BC,上中线,且,所以点,O,是,ABC,重心,.,48/53,易错案例,向量减法法则应用,【,典例,】,(,亳州高一检测,),如图所表示,已知一点,O,到平行四边形,ABCD,三个顶点,A,B,C,向量分别为,r,1,r,2,r,3,则,=_.,(,用,r,1,r,2,r,3,表示,),49/53,【,失误案例,】,50/53,【,错解分析,】,分析上面解析过程,你知道错在哪里吗,?,提醒,:,错误根本原因在于误用了向量减法法则,.,减法口诀,:,起点相同,连接终点,箭头指向被减向量,.,即,51/53,【,自我矫正,】,=,r,3,+,r,1,-,r,2,.,答案,:,r,3,+,r,1,-,r,2,52/53,【,防范办法,】,1.,相等向量灵活代换,处理以平面几何图形为背景加减法运算时,要注意平面几何知识,应用,如本题由平行四边形,ABCD,得,并正确代换是解题关键,.,2.,运算法则灵活应用,减法口诀,:,起点相同,连接终点,箭头指向被减向量,.,应把首尾相接放,在一起计算,起点相同放在一起计算,.,必要时,可画出图像,结合图像,观察将使问题更为直观,.,53/53,
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