北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch8-3小波与多分辨分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小波与多分辨分析,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小波与多分辨分析,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号时频分析,问题的提出,短时傅里叶变换,小波展开与小波变换,小波变换与多分辨分析,小波变换与滤波器组,基于小波的信号处理及应用,小波变换与多分辨分析,信号空间,(signal space),尺度函数,(scaling function),j,(,t,),小波函数,(wavelet function),y,(,t,),多分辨分析,(MRA),尺度函数系数,h,0,n,与小波函数系数,h,1,n,的特性,尺度函数,j,(,t,),与小波函数,y,(,t,),的设计方法,为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),多分辨分析,(Multiresolution Analysis,MRA),小波函数,(wavelet function),y,(,t,),信号空间,(signal space),小波变换与多分辨分析,则表明存在着,同时也意味着,若信号,x,(,t,),可以由信号,j,k,(,t,),线性表达，,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),则同理可以得到由信号,j,j,k,(,t,),张成的信号空间,V,j,若由,尺度函数,j,(,t,),经过展缩和平移而得到的不同尺度,j,下的尺度函数,j,j,k,(,t,),定义为,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号,尺度越大，对应的信号的分辨率越高。,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),由于信号,j,j,k,(,t,),比,j,j,-,1,k,(,t,),在时域上更窄，,因此,j,j,k,(,t,),可以表达更多的信号，即信号,j,j,k,(,t,),张成的信号空间,V,j,比信号,j,j,-,1,k,(,t,),张成的信号空间,V,j,-,1,大。,同理可得：,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),通过尺度函数,j,(,t,),的尺度展缩，就可以改变尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨率及信号空间之间的关系。,若信号,x,(,t,),可以由尺度函数,j,j,k,(,t,),表达，则信号,x,(2,t,),可以由尺度函数,j,j+,1,k,(,t,),表达，即,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),根据信号空间的包含关系，,若存在,则必然,这表明若信号,x,(,t,),可由尺度函数,j,j,k,(,t,),线性表达，则必然可以由尺度函数,j,j+,1,k,(,t,),线性表达。,低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),h,0,n,是尺度函数系数,(scaling function coefficient),，也称为尺度滤波器,(scaling filter),单位脉冲响应。,该式称为尺度函数,j,(,t,),的,多分辨分析,(MRA),方程,，该递归方程是尺度函数理论的基础。,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),Haar,尺度函数,三角尺度函数,小波变换与多分辨分析,尺度函数,(scaling function),j,(,t,),根据信号空间的概念，由尺度函数,j,(,t,),同样可以,定义小波函数,y,(,t,),，再由小波函数,y,(,t,),经过尺度展缩与平移得到小波信号,y,j,k,(,t,),，即,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),小波信号,y,j,k,(,t,),设计为尺度信号,j,j,k,(,t,),的正交信号，即存在,W,j,V,j,正交和,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),信号,x,(,t,),将信号,x,(,t,),展开为尺度信号,j,j,k,(,t,),和小波信号,y,j,k,(,t,),，可以更有效地表达信号,x,(,t,),中的不同分量，有利于信号的分析与处理。,尺度信号,j,j,k,(,t,),小波信号,y,j,k,(,t,),粗略信息,(coarse information),精细信息,(fine information),小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),初始尺度,j,=3,初始尺度,j,=,-,3,初始尺度,j,=,j,0,初始尺度,信号,x,(,t,),也可完全由小波信号表达,信号,x,(,t,),可由小波信号和尺度信号共同表达,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),由于小波函数,y,(,t,),隶属于由尺度信号,j,(2,t,-,k,),张成的信号空间,V,1,，表明,y,(,t,),可以由,j,(2,t,-,k,),线性表达，这就是,小波函数,y,(,t,),的,MRA,方程：,h,1,n,称为小波函数系数,(wavelet function coefficient),。,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),若尺度函数,j,(,t,),与小波函数,y,(,t,),满足正交性，即,当,h,0,n,为有限长序列，且长度,N,为偶数时，则有,则小波函数系数,h,1,n,与尺度函数系数,h,0,n,满足,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),尺度函数,j,(,t,),与小波函数,y,(,t,),的对应关系,小波变换与多分辨分析,小波函数,(wavelet function),y,(,t,),对应信号,x,(,t,),中的,粗略,(coarse),信息,对应信号,x,(,t,),中的,精细,(fine),信息,由低分辨率的尺度信号,j,j,0,k,(,t,),表达,由高分辨率的小波信号,y,j,k,(,t,)(,j,j,0,),表达,小波变换与多分辨分析,多分辨分析,(MRA),展开系数,c,j,k,反映了信号,x,(,t,),中的低频分量的分布情况，而一系列展开系数,d,j,k,反映了信号,x,(,t,),中的高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离散小波变换,DWT,。,这表明信号,x,(,t,),也可以完全由小波信号表达。,小波变换与多分辨分析,多分辨分析,(MRA),Doppler,信号,小波变换与多分辨分析,多分辨分析,(MRA),当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，信号的小波展开系数,c,j,k,和,d,j,k,由内积计算,信号的,DWT,满足,Parseval,能量守恒,小波变换与多分辨分析,多分辨分析,(MRA),尺度函数系数,h,0,n,与小波函数系数,h,1,n,的特性,2.,若,j,(,t,),与,y,(,t,),满足正交性，则存在,1.,若,，并且,小波变换与多分辨分析,4.,若实现,y,(,t,),的正交性 ，则,5.,若实现,j,(,t,),与,y,(,t,),的正交性 ，则,3.,若实现,j,(,t,),的正交性 ，则,尺度函数系数,h,0,n,与小波函数系数,h,1,n,的特性,小波变换与多分辨分析,例：,试分别设计长度,N,=2,4,的尺度函数系数,h,0,n,和小波函数系数,h,1,n,，且尺度函数,j,(,t,),和小波函数,y,(,t,),满足正交性。,当,N,=2,时,，根据尺度函数,j,(,t,),的特性,解：,根据尺度函数,j,(,t,),的正交性约束条件,例：,试分别设计长度,N,=2,4,的尺度函数系数,h,0,n,和小波函数系数,h,1,n,，且尺度函数,j,(,t,),和小波函数,y,(,t,),满足正交性。,解：,当,N,=4,时，同理可得,引入一个自由度变量,a,例：,试分别设计长度,N,=2,4,的尺度函数系数,h,0,n,和小波函数系数,h,1,n,，且尺度函数,j,(,t,),和小波函数,y,(,t,),满足正交性。,解：,当 时，可得,表明尺度函数与小波函数存在密切关系，而且小波函数具有非唯一性。,尺度函数,j,(,t,),与小波函数,y,(,t,),的设计方法,由约束条件设计尺度函数系数,h,0,n,根据,j,(,t,),的,MRA,方程求出尺度函数,j,(,t,),由,h,1,n,与,h,0,n,关系确定小波函数系数,h,1,n,根据,y,(,t,),的,MRA,方程求出小波函数,y,(,t,),小波变换与多分辨分析,