北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch6-2经典功率谱估计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,功率谱估计,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,功率谱估计,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散随机序列的特征描述,平稳随机序列通过,LTI,系统,经典功率谱估计,现代功率谱估计,随机信号的功率谱估计,经典功率谱估计,谱估计的质量,相关法,(,间接法,),周期图法,(,直接法,),周期图法的改进,谱估计的质量,1,估计量的偏差,2,估计量的方差,的计算过程,例,已知平稳各态遍历的实随机序列,X,k,的单一样本的,N,个观测值为,x,k,=1,0,，,-,1,，试计算该随机序列的自相关函数估计。,解,:,利用,MATLAB,计算自相关函数的估计,R,n=xcorr(x,biased),例,已知平稳各态遍历的实随机序列,X,k,的单一样本的,N,个观测值为,x,k,=1,0,，,-,1,，试计算该随机序列的自相关函数估计。,解：,format rat,x=1 0-1;,Rx,n=xcorr(x,biased),Rx=-1/3 0 2/3 0 -1/3,n=-2 -1 0 1 2,利用,DFT,计算自相关函数的估计,1),对,x,k,补零形成,L,点序列,2),3),例：,自相关函数估计的计算,已知平稳各态遍历的实随机序列,X,k,的单一样本的,N,个观测值为,x,k,=1,0,，,-,1,，试计算该随机序列的自相关函数估计。,x=1 0-1;,X=fft(x,8);,Rx1=ifft(abs(X).2)/3;,Rx=fftshift(Rx1);,Rx1=,0.6667 0 -0.3333 0 0 0 -0.3333 0,Rx=,0.0000 0 -0.3333 0 0.6667 0 -0.3333 0,相关法,(,间接法,),进行功率谱估计,3.,相关法进行功率谱估计,例：,相关法,计算功率谱估计,已知实平稳随机序列,X,k,单一样本的,N,个观测值为,x,k,=1,0,，,-,1,，试利用,相关法,估计其功率谱。,解：,X,k,的自相关函数估计值为,对 进行傅里叶变换得,X,k,的功率谱估计,相关法,(,间接法,),进行功率谱估计,4.,相关法功率谱估计的质量,功率谱估计的质量与自相关函数估计的质量密切相关,N,，,偏差,、,方差趋于零，是一致估计。,N,固定时，,n,N,，偏差较大,周期图法,(,直接法,),进行功率谱估计,1.,周期图法功率谱估计的计算,方法基础,:,由,维纳,辛钦定理,已知,称,周期图,用,I,N,(,W,),表示,周期图法功率谱估计的步骤,其中,例：,周期图法计算功率谱估计,已知实平稳随机序列,X,k,单一样本的,N,个观测值为,x,k,=1,0,，,-,1,，试利用周期图法估计其功率谱。,解：,对,x,k,进行离散时间傅里叶变换,(DTFT),功率谱估计为：,周期图法,(,直接法,),进行功率谱估计,2.,周期图法功率谱估计的质量,均值,N,，,E,I,N,(,W,)=,P,x,(,W,),，,渐进无偏估计,方差,N,增加，,方差不减小，不是一致估计,利用,MATLAB,计算,周期图,x,：进行功率谱估计的输入有限长序列；,NFFT,：,DFT,的点数；,Fs,：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为,1,；,Pxx,：功率谱估计值；,F,：,Pxx,值所对应的频率点,Pxx,F=periodogram(x,NFFT,Fs),例：,利用周期图法估计,零均值方差为,1,平稳高斯白噪声的功率谱。取序列的长度分别为,N,=64,，,128,，,256,，,512,。并分析谱估计质量。,N=512;Nfft=2048;,randn(state,0);,x=randn(1,N);,P,F=periodogram(x,Nfft,2);,plot(F,10*log10(P);,A=axis;axis(A(1:2)-40 20);grid;,title(N=,num2str(N);,xlabel(Frequency);,ylabel(Power Spectral(dB);,平稳高斯白噪声功率谱估计结果,(,周期图法,),结论：,波动的大小不随数据长度,N,的增加而减小，即周期图法谱估计的方差较大，且不随,N,的增加而减小。,周期图法的改进,问题的提出,平滑周期图,(Blackman-Tukey,法,),平均周期图法,(Bartlett,法,),重叠平均周期图法,(Welch,法,),1.,问题的提出,周期图法进行功率谱估计,方差不随,N,的,增加,减小。,如何提高谱估计质量,?,减小方差,方法,:,1),对自相关函数估计值加窗,2),将,N,个观测值分段,计算各段的周期图,再取平均,周期图法的改进,周期图法的改进,对自相关函数估计值加窗,将误差较大的估计值截去,2.,平滑周期图,(Blackman-Tukey,法,),优点：,P,M,(,W,),波动比,I,N,(,W,),小，可证是一致估计,缺点：,降低了频率分辨率,周期图法的改进,3.,平均周期图法,(Welch-Bartlett,法,),第,i,段序列的周期图为,平均周期图,将随机序列,X,k,的,N,个观测值分成,A,段,平均周期图法,优点,：减小方差,缺点,：增加估计的偏差，,降低了谱的分辨率,原因,：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大,解决方法,：将各段数据有一定程度的重叠,周期图法的改进,4.,重叠平均周期图法,(Welch,法,),Welch-Bartlett,平均周期图法的,MATLAB,实现,X:,进行功率谱估计的输入有限长序列；,WINDOW:,(1),给定长度,L,，则用指定长度的,Hamming,窗。,(2),给定序列，则用该序列为窗。,NOVERLAP,指定分段重叠的样本数。缺省时,NOVERLAP=L/2,，,L,为窗的长度。,NFFT,：,DFT,的点数，,NFFTL,。,Fs,：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为,1,；,Pxx,：功率谱估计值；,F,：,Pxx,值所对应的频率点,Pxx,F=,PWELCH,(X,WINDOW,NOVERLAP,NFFT,Fs),例,：,一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，设,分别采用周期图法和,Welch,法估计该序列的功率谱。,N=1024;NFFT=1024;Fs=2*pi;L=128;,n=0:N-1;randn(state,0);,x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n);,window=boxcar(L);,P,f=periodogram(x,NFFT,2);,Pw,f2=pwelch(x,window,NFFT,2);,subplot(211);plot(f2,10*log(Pw);grid;title(Welch);,axis(0 1-60 60);,subplot(212);plot(f,10*log(P);grid;title(Periodogram);,axis(0 1-60 60);,谱估计的结果,结论：,周期图法谱估计曲线的波动很大，即估计的方差较大。,Welch,法谱估计曲线较为平滑，方差减小，但分辨率降低。,对,Welch,法，当数据分段数增加，各段数据长度较短时，谱的分辨率明显下降，而谱估计曲线较为平滑，方差较小；反之，当数据分段数减小，各段数据长度较长时，谱的分辨率明显提高，而谱估计曲线波动较大，方差较大。,提高分辨率,和,减小方差,是一对矛盾,例,：,一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，设,分别采用周期图法和,Welch,法估计该序列的功率谱。,