泛圈图关于Wiener指数和hyper-Wiener指数的充分条件.pdf

收稿日期:研究项目:年度安徽高校自然科学研究重点项目“关于谱与拓扑指数极图的研究”(项目号:K J A )、年度合肥幼儿师范高等专科学校教科研重点项目“图的拓扑指数与哈密尔顿性”(项目号:h y k y z d )作者简介:李青(),女,安徽省宿州人,讲师,硕士,研究方向:图论.第 卷第期芜湖职业技术学院学报 年月V o l N o J o u r n a l o fW u h uI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g yS e p,泛圈图关于W i e n e r指数和h y p e r W i e n e r指数的充分条件李青,梅培林,胡启明(合肥幼儿师范高等专科学校 公共教学部,安徽 合肥 ;安庆师范大学 数理学院,安徽 安庆 )摘要:泛圈图是指包含所有长度为l(ln)的圈的n阶简单连通图.根据满足边条件e(G)的简单连通图G的特性,结合连通图及其补图的W i e n e r指数和h y p e r W i e n e r指数与边条件e(G)的关联式,得出连通图G要成为泛圈图所需满足的充分条件:W(G)nn,W(G)nn n,WW(G)n n,WW(G)nn n n.关键词:W i e n e r指数;h y p e r W i e n e r指数;泛圈图中图分类号:O 文献标识码:A文章编号:()引言设G(V,E)是简单图,V(G)和E(G)(简记为“V”和“E”)分别表示G的顶点集和边集,且Vv,v,vn,n为阶数.u,v(nv)表示G的边(简记为u v).顶点v的度dG(v)是指G中与v关联的边数,(G)表示G的最小度.dG(vi,vj)表示顶点vi与vj的距离,即G中vi到vj的最短路的长度.若将图G(V,E)的顶点集V分成两个子集X和Y,VXY且XY,任意边eu,v,均满足uX,vY或uY,vX,则称G为二部图,可记作G(X,Y;E).记G(或Gc)为G的补图,其顶点集V(G)V(G),边集E(G)表示由G中n个顶点的完全图删去G的所有边而得到的集合.若图G的n个顶点,其各点的度均为n,则称该图G为完全图,可记作Kn.设 两 个 简 单 图G(V,E)与G(V,E)的顶点集不相交,它们的并图为GG(VV,EE),亦可记为GG.若G Gk,我们用k G来表示G Gk.图G和G的 联 图 记 作GV G,GV G(G)c(G)c)c,即在GG中将G中全部顶点与G中全部顶点相连接.若图G是连通图且圈长为l(ln),则称G为泛圈图.图G的W i e n e r指数作为一种能很好地反映分子化合物物理性质与化学性质的拓扑指数,记作W(G),被定义为G中所有顶点的任两点间距离和,记W(G)vi,vjV(G)dG(vi,vj)不妨记DiDG(vi)vjV(G)dG(vi,vj),则W(G)niDi.年R a n d i c将图G的W i e n e r指数加以推广,得到h y p e r W i e n e r指数,记作WW(G),并给出无 圈 图 的h y p e r W i e n e r指 数.随 后,年K l e i n等在无圈图的h y p e r W i e n e r指数定义基础上,进一步拓展延伸到所有连通图,记作WW(G)(vi,vjV(G)dG(vi,vj)vi,vjV(G)dG(vi,vj).记D DiD DG(vi)vjV(G)dG(vi,vj),则有WW(G)ni(DiD Di).随着拓扑指数在诸多方面的广泛应用,华洪波等人利用W i e n e r指数,H a r a r y指数给出哈密顿图的一些充分条件.蔡改香等人进一步给出了W i e n e r指数、H a r a r y指数和h y p e W i e n e r指数关于图的哈密顿性的一些充分条件.通过学习关于简单连通图是泛圈图的边条件,结合胡启明等人给出了拓扑指数关于泛圈图的一些充分条件,本文基于连通图及其补图的两种指数(即W i e n e r指数和h y p e r W i e n e r指数),获得连通图能成为泛圈图的所需满足的充分条件.我们记:NPc(KKn)K,(KK)K,(KK)K,KK,KK,(KK,)K,K,K,K(KK,),KK(KK,),K(KK,),(KK,)K,(KK)K,(KKK,)K,(KK,)K,(KKK)K,(K,K)KK,KK,K(KK,K),KKK(K,K),K(KKK),KK,K(KK,),KK(KK,K),KK(KK,)K,KK(KK,),(KK)K,KK(KK)K,KK,(KK)KK,KK,K(K,K),K(KK,),KK,K(KK,K),K(KK,),K(KK)K,KK(K,K),K(KK,K),K(KK,),KK,K(K,K),KK(KK,K),K(K,K)KK,KK(KK,),(KK)K,KKK(KK),KK,(KK)KK,KK,(K,K)K,(KK,)K,KKK,(KK,K)K,(KK,)K,(K,K)KK易知,NPc中的这些图都是非泛圈图.相关引理引理设G为n(n)阶简单连通图,(G),满足e(G)nn,则G是一个二部图或者GNPc.主要结论定理设图G为n(n)阶的简单图且(G),若满足W(G)nn,则可得G是泛圈图,否则图G是二部图或者GNPc.证明:(反证)假设G非 泛 圈 图,根 据 引 理,有e(G)nn 或G是一个二部图或GNPC.满足e(G)nn,可得到W(G)u,vV(G)dG(u,v)niDinidG(xi)ndG(xi)n(n)nidG(xi)n(n)e(G)n(n)nn nn 这与定理条件W(G)nn 相矛盾,故上述假设不成立,即证G是泛圈图.若G是一个二部图或者GNPc,根据引理,G不是泛圈图.定理设G是一个n(n)阶简单连通图且(G),G也是连通图,若满足W(G)nn n,则可得G是泛圈图,否则G是二部图或者GNPc.证明:(反证)假设G非泛圈图,根据引理,有e(G)nn 或者G是一个二部图或者GNPc.当e(G)nn 时,有W(G)u,vV(G)dG(u,v)niDi(G)nidG(xi)(n)ndG(xi)芜湖职业技术学院学报 年第 卷ni(n)(n)dG(xi)n(n)nnindG(xi)n(n)(n)e(G)n(n)(n)nn nn n 这与定理条件W(G)nn n 相矛盾,故上述假设不成立,即证G是泛圈图.若GNPc,则有G不连通,与已知条件矛盾.若G是一个二部图,根据引理,可得G不是泛圈图.定理设G是一个n(n)阶简单连通图且(G),若满足WW(G)n n,则可得G是一个泛圈图,否则G是二部图或者GNPc.证明:(反证)假设G非泛圈图,利用引理,则有e(G)nn,或G是二部图,或GNPC.当e(G)nn 时,有W(G)u,vV(G)dG(u,v)dG(u,v)ni(DiD Di)nidG(xi)ndG(xi)ni dG(xi)ndG(xi)n(n)nidG(xi)n(n)e(G)n(n)nn n n 这与定理条件WW(G)n n 相矛盾,所以假设不成立,即证G是泛圈图.若G是一个二部图或GNPc,根据引理,可得G不是泛圈图.定理设G为n(n)阶简单连通图,G为n阶连通图,(G),若满足WW(G)nn n n,则可得G是一个泛圈图.否则,G是一个二部图或者GNPc.证明:(反证)假设G非泛圈图,根据引理,有e(G)nn,或G是一个二部图,或GNPC.当e(G)nn 时,有WW(G)u,vV(G)dG(u,v)dG(u,v)niDi(G)D Di(G)nidG(xi)(n)ndG(xi)nidG(xi)(n)ndG(xi)ni(n)(n)(nn)dG(xi)nin(n)(nn)(ndG(xi)n(n)nnnidG(xi)n(n)nne(G)n(n)nnnn nn n n 这与定理条件WW(G)nn n n 相矛盾,所以假设不成立,即证G是泛圈图.若GNPc,则G不连通,与已知条件相矛盾;若G是一个二部图,则根据引理可知,G非泛圈图.(下转第 页)李青,梅培林,胡启明/泛圈图关于W i e n e r指数和h y p e r W i e n e r指数的充分条件l o g i c a l l ya c t i v em o l e c u l e s f r o mp l a n t,a n i m a l a n dm a r i n es o u r c e sJ T r e n d si n A n a l y t i c a lC h e m i s t r y,():B A C K E SE,P E R E I R AC,B A R R O SL,e ta l R e c o v e r yo fb i o a c t i v ea n t h o c y a n i np i g m e n t sf r o m F i c u sc a r i c aL p e e lb yh e a t,m i c r o w a v e,a n du l t r a s o u n db a s e de x t r a c t i o nt e c h n i q u e sJ F o o dR e s e a r c hI n t e r n a t i o n a l,:陈俊朴,周璐彤,云颖,等响应面法优化紫大薯花青素超声辅助提取工艺J食品研究与开发,():田程飘,黄秋岚,韦璐阳,等蝶豆花青素超声辅助提取工艺及抗氧化活性研究J中国食品添加剂,():陈培云,徐唐芸,鲁东昊,等低共熔溶剂在食品样品前处理中的应用J食品安全质量检 测 学报,():徐唐芸,黄达敏,鲁东昊,等基于低共熔溶剂提取紫薯中花青素研究J农产品加工,():张晓辉,季青霞,丁成新,等基于氯化胆碱/乙酸的桑椹花青素高效提取工艺J现代食品科技,():责任编辑:张玮T h eP r o g r e s so fR e s e a r c ho nA n t h o c y a n i nC o n t a i n e d i nF o o dD A IW e n n a&X I ANG W e i&L I ANG H a oA b s t r a c t:A n t h o c y a n i n i sak i n do fg l y c o s i d ed e r i v a t i v e,b e l o n g i n gt ot h ec a t e g o r yo fw a t e r s o l u b l en a t u r a lp i g m e n t I nr e c e n ty e a r s,f o r i t sw i d eu s ei nf o o d,m e d i c i n ea n do t h e ri n d u s t r i e s,a n t h o c y a n i nh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nf r o mr e s e a r c h e r s T oa n a l y z e a n ds u mm a r i z e i t s s t r u c t u r e,p r o p e r t i e s,s o u r c e s a n de x t r a c t i o nm e t h o d s i s c o n d u c i v e t op r o v i d i n gr e f e r e n c e f o r i m p r o v i n g i t se x t r a c t i o nr a t ea n d l a y i n gt h e f o u n d a t i o nf o r f o l l o w u pr e s e a r c h K e yw o r d s:a n t h o c y a n i n;s t r u c t u r e;p r o p e r t y;s o u r c e;e x t r a c t i o nm e t h o d(上接第 页)参考文献:W I E N E R H S t r u c t u r a ld e t e r m i n a t i o n o f p a r a f f i nb o i l i n gp o i n t sJ J o u r n a lo ft h eAm e r i c a nC h e m i c a lS o c i e t y,():R AN D ICM N o v e lm o l e c u l a rd e s c r i p t o rf o rs t r u c t u r e:p r o p e r t ys t u d i e sJ C h e m i c a lP h y s i c sL e t t e r s,():K L E I NDJ,L UK OV I T S I,GUTMANI O n t h eD e f i n i t i o no ft h eH y p e r W i e n e rI n d e xf o rC y c l e C o n t a i n i n gS t r u c t u r e sJ J o u r n a lo fC h e m i c a l I n f o r m a t i o n&M o d e l i n g,():HUA H,B O NW i e n e ri n d e x,H a r a r yi n d e xa n dH a m i l t o n i c i t yo fg r a p h sJ M a t c hC o mm u n i c a t i o n si nM a t h e m a t i c a l&i nC o m p u t e rC h e m i s t r y,():YUGD,R E NLF,C A IGX W i e n e rI n d e x,H y p e r w i e n e rI n d e x,H a r a r yI n d e x a n d H a m i l t o n i c i t y o fg r a p h sJ A r sC o m b i n a t o r i a W a t e r l o ot h e n W i n n i p e g,()X U H,YU T,A L S AA D IF E,e ta l S o m es p e c t r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o rag r a p hb e i n gp a n c y c l i cJA I M SM a t h e m a t i c s,():胡启明,许欢,叶铭利用W i e n e r指数、h y p e r W i e n e r指数及H a r a r y指数给出泛圈图的充分条件J安徽师范大学学报(自然科学版),():责任编辑:张玮AS u f f i c i e n tC o n d i t i o nf o rW i e n e r I n d e xa n dH y p e r W i e n e r I n d e xo fP a n c y c l i cG r a p hL IQ i n g&ME IP e i l i n&HU Q i m i n gA b s t r a c t:P a n c y c l i cg r a p hm e a n san o r d e rs i m p l ec o n n e c t e dg r a p hc o n t a i n i n ga l l c i r c l e sw i t ht h e l e 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