八年级数学最短距离问题.doc

八年级数学最短距离问题

最短距离；对称；平移；展开

初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。
初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。
一、 利用“对称”解决最短路线问题。
对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。
所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。
例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、 利用“平移”解决最短路线问题

例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。

解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。
三、 利用展开图求最短距离问题
如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。我们左丘的最短路线应该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。
例3. 工人师傅要给一个圆柱体的制品镶嵌金线，如下图，如果金线的起点固定在A点，绕一周后终点为B点，如果AB长为10cm，底面周长为12cm，问最短用多少金线。

分析：很明显这是一条曲线，如果我们从母线AB处剪开圆柱的侧面，展开成平面图如下图：

那么我们会发现连接AB’，即为此最短的金线长度，根据勾股定理可得AB’为。
拓展：如果绕两圈，绕n圈所需的金线长度，该如何求？
例4：如图，一个长方体中，一只蚂蚁想要从A点爬到D点吃一块糖，一只AB=BC=12cm，CD=5cm，求最短距离。

分析：A D不在同一个平面，所以爬过去是一条折线，我们的思路依然是展开成一个平面。此处的展开我们要注意有三种展开情况，分别是前面与顶面，前面与右面，左面与顶面。这三种情况均能将A D分配到一个平面上。下面我们要就这三种情况分别计算A到D的直线距离。