新人教版九年级数学上册教案.doc

义务教育课程标准人教版

数学教案
九年级 上册
2014—2015学年度第一学期

学校：黑燕山学校
班级：九（3）班
教师：贾 玉 辉
2014—2015学年度第一学期九年级数学教学进度表
周序
日 期
教学工作内容及课时安排
1
8.24—8.30
21.1一元二次方程 2
21.2降次——解一元二次方程2
2
8.31—9.6
21.2降次——解一元二次方程5
3
9.7—9.13
21.3实际问题与一元二次方程及数学活动2
《一元二次方程》单元小结与练习3
4
9.14—9.20
21.1二次函数的图像与性质 5
5
9.21—9.27
21.2二次函数与一元二次方程2
21.3实际问题与二次函数 2
《二次函数》单元小结与练习 1
6
9.28—10.4
23.1图形的旋转2
23.2中心对称3
7
10.5—10.11
23.3课题学习 图案设计2
《旋转》单元考及讲评3
8
10.12—10.18
24.1圆5
9
10.19—10.25
24.2点、直线、圆和圆的位置关系5
10
10.26—11.1
期中考复习
11
11.2—11.8
期中考试与试卷分析
12
11.9—11.15
24.3正多边形和圆2
24.4弧长和扇形面积2

13
11.16—11.21
24.4弧长和扇形面积2
《圆》单元考及讲评3

14
11.23—11.29
25.1随机事件与概率4
15
11.30—12.6
25.2用列举法求概率3
25.3用频率估计概率1
16
12.7—12.13
25.4课题学习及数学活动2
《概率初步》单元考及讲评2
17
12.14—12.20
九年级数学下册内容
18
12.21—12.27
九年级数学下册内容
19
12.28—1.3
九年级数学下册内容
20
1.4—1.10
期末考复习
21
1.11—1.17
期末考复习及考试

第二十一章 一元二次方程 教案
教学时间

课题
21.1 一元二次方程
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程
方法
1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感
态度
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
l 探究课本问题2
分析：
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？
整理所列方程后观察：
1.方程中未知数的个数和次数各是多少？
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0； ；；；

l 概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
.为什么规定≠0？
.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：；；
l 课本例题
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.
l 一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
归纳：
一元二次方程的根的情况
一元二次方程的解要满足实际问题
三、课堂训练
1.课本练习
2补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．
3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________
4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做：P4：1.2.4.6.7

选做：.P25：3.5.7

点题，板书课题.

学生读题找等量关系列方程.
学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.

学生尝试叙述，然后师生归纳

师生分析概念和一般形式.

学生根据相关概念作答，复习巩固.

学生类比一元一次方程的解尝试叙述

学生思考，讨论完成，

学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正

师生归纳总结，学生作笔记.

联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容

淡化列方程难度，重点突出方程特点

通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.

全面理解和掌握

识记、理解相关概念

通过类比，迁移提高

加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知

使学生巩固提高，
了解学生掌握情况

纳入知识系统
教 学 反 思

教学时间

课题
21.2.1配方法(1)
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．
3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.
过程
方法
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法
情感
态度
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程
教学难点
降次思想，配方法
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.
二、探究新知
l 探究课本问题1
分析：
1.用列方程方法解题的等量关系是什么？
2.解方程的依据是什么？
3.方程的解是什么？问题的答案是什么？
4.该方程的结构是怎样的？
归纳：
可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.
l 解决课本思考
1如何理解降次？
2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？
3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？
归纳：
1运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.
l 探究课本问题2
1.根据题意列方程并整理成一般形式.
2.将方程 x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程 x2+6x-16=0化为像 x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？
完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2
方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？
l 归纳：
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.
三、课堂训练
课本练习:
四、小结归纳
1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.
2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.
3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.
五、作业设计
必做：P16：1、2、3（1）（2）
选做：下面补充作业
补充作业：
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
4．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

点题，板书课题.

学生读题找等量关系列方程，思考解方程的依据.
学生观察所列方程特点，辨析方程的解与问题的答案.
学生尝试描述何为降次及方法，把握方程结构特点，初步体会直接开平方法解一元二次方程.
教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结

学生审读并列方程
组织学生讨论，交流
然后师生总结

学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正

师生归纳总结，学生作笔记.

开门见山明确本节课内容

淡化列方程难度，重点突出解方程方法，关注方程的 解，以及方程的解要受到实际问题的检验，作出取舍.

理解降次，初步感知方程结构特点，更好把握直接开平方法，并为配方法的学习作铺垫

感知一元二次方程的实际应用
在比较中发现配方法的实质

总结成文，为熟练运用作准备

使学生巩固提高

纳入知识系统
教 学 反 思

教学时间

课题
21.2.1配方法(2)
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.进一步理解配方法和配方的目的.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
过程
方法
通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
情感
态度
1. 通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．
2. 感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
3. 温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.
教学重点
用配方法解一元二次方程
教学难点
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.
二、探究新知
1.填空：

2.填空： =

3.解下列方程： x2-8x+7=0 2x2+8x-2=0
2x2+1=3x 3x2-6x+4=0
题目设置说明：
1.与上节课衔接（二次项系数为1）
2.至二次项系数不为1.二次项系数化为1后，的一次项系数为偶数.为后面做铺垫.的一次项系数为分数，无解.
分析：
（1）解方程，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；
（2）对比的解法得到方程的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
.把常数项移到方程右边；
.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
(3)运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.
(4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？
三、课堂训练
1.方程( )
A. B. C. D.
2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
4.解决课本练习2（2）到（6）
5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6. ，，是的三条边
当时，试判断的形状.
证明
四、小结归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为的形式，
2.把常数项移到方程右边；
3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.
五、作业设计
必做：P9：2;P17：3

点题，板书课题.

让学生独立完成，复习巩固上节课内容.
通过对比方程结构，尝试解方程 ，探讨二次项系数不是1的一元二次方程的解法，教师组织学生讨论，师生交流看法，肯定其可行性，总结出一般步骤.
让学生运用总结出的一般步骤解方程 ，其中需要先整理，无解.

根据上述方程的根的情况，学生思考并叙述

学生先自主，再合作交流，总结经验，完成.教师巡视指导，了解学生掌握情况，对于好的做法，加以鼓励表扬.并集体进行交流评价，体会方法，形成规律.

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

回顾上节课内容以得以衔接

复习完全平方式的，为下面用配方法解方程作铺垫

温故知新，对比探究，发现二次项系数不是1的一元二次方程的解法，培养学生发现问题的能力

通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备

初步了解一元二次方程的根的情况，并为公式法的学习奠定基础
使学生自主探究，进一步领会配方思想，并熟练进行配方.

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学
习惯

加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教 学 反 思

教学时间

课题
21.2.2公式法
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
过程
方法
1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.
3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
情感
态度
1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
教学重点
求根公式的推导，公式的正确使用
教学难点
求根公式的推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程？
二、探究新知
活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？
；6x2-7x+1=0
活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：
1.移项得到6x2-7x=-1，
2.二次项系数化为1得到
3.配方得到 x2-x+（）2=-+（）2
x2+x+（）2=-+（）2
4.写成（x+m）2=n形式得到（x-）2=，（x+）2=
5.直接开平方得到x-=±，注意：（x+）2=是否可以直接开平方？
活动3.对（x+）2=观察，分析，在时对的值与0的关系进行讨论
活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.
活动5.初步使用公式解方程6x2-7x+1=0.
活动6.总结使用公式法的一般步骤：把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号
求出的值，方程，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.
在≥0的前提下把a，b，c的值带入公式x=进行计算，最后写出方程的根.
三、课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
2.课本例2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根
2.用求根公式求一元二次方程的根
3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
五、作业设计
必做：P17：4、5
选做：P12：1、2
补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？

教师提出问题，学生思考.

学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导

让学生尝试对的值进行分析
学生尝试归纳，师生总结
学生初步使用公式，教师规范板书。之后总结使用公式步骤

学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

为推导公式作铺垫，激发学生探索欲望

学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式
对比探究，结合字母表示数的特点，尝试推导求根公式，培养学生发现问题的能力

通过学生亲自解方程的感受与经验，体会数式通性，为感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

对的值的情况具有不确定性进行讨论

为以后熟练使用公式打基础

使学生熟练使用本节课知识解题

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯
加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教 学 反 思

教学时间

课题
21.2.3因式分解法
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.了解因式分解法的概念.
2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.
过程
方法
1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.
2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.
情感
态度
积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.
教学重点
会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程
教学难点
将整理成一般形式的方程左边因式分解
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.
二、探究新知
1.因式分解
x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y2-16； x2+12x+36；4x2+4x+1
分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.
2.若ab=0,则可以得到什么结论？
分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.
3.试求下列方程的根 ：
x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.
分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.
4. 试求下列方程的根
4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0
25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2
x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0;
5x2-2x-= x2-2x+; 2x2+12x+18=0;
分析：观察三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
中的方程结构较复杂，需要先整理.
5.选用合适方法解方程
x2+x+=0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0.
分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．
分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.
下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用因式分解法解一元二次方程
2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程
五、作业设 计
必做：P14：1、2；P17:6

由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法

学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫
学生根据 ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫

学生直接利用2的结论完成3中解方程

让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解 三组方程，之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤

先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程

学生尝试归纳，师生总结

学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

学生回顾因式分解知识为学习本节新知识作铺垫

对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力

通过学生亲自解方程的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握

通过归纳、比较方程的三种解法，进一步理解降次思想解方程

让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学
习惯
加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教 学 反 思

教学时间

课题
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
课型
新授
教学媒体
多媒体
教

学

目

标
知识
技能
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程
方法
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感
态度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
教学重点
一元二次方程的根与系数关系
教学难点
对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .
已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .
若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+x-=0
.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：； ； ；
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设 计
必做：P17：7
选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求的值.

教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题

学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论

学生独立解决，并交流

先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法

学生尝试归纳，师生总结

学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正

学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.

创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲

通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫

让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性

加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力

通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

进一步加强对所学知识的理解和掌握

通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用

加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教 学 反 思

教学时间

课题
21.3实际问题与一元二次方程（1）