有限元理论.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一讲 有限元基本理论,主讲人：,内容：,零、概述,一、自由度与约束（弹簧模型）,二、有限元的发展,三、单元刚度矩阵、总体刚度矩阵,四、有限元法的理论基础,五、有限元网格与单元,六、有限元分析的基本方法,七、参考文献,Finite element,或,FEA,（,Finite Element Analysis,）,FEM,（,Finite Element method,）,用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的,（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（,如结构的平衡条件,），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。,零、概述,有限元法基本思想,学习有限元的目的大致分为两类：,1.,应用有限元法，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题。,2.,在有限元的理论和方法方面作进一步的研究工作，以提高它的有效性和扩大它的应用领域。,虽然在数量上前者占大多数，但两者不能截然划分。因为在应用过程中常常会遇到新的问题和新的要求，同时，实际分析者的兴趣和能力不断提高，从而也有可能开展理论和方法的研究。另一方面，以研究为目的者也常常借助于现有软件提供的支持，并将应用作为研究成果的检验依据和最后目标。,应用有限元软件进行工程分析时需要做以下工作：,1.,理解和把握该分析的目的和需要回答的问题，并确定能正确回答该问题的力学、数学模型。,2.,建立有限元离散模型和选择合适的计算方案。,3.,对计算结果作出分析和评估，决定是否需要修改有限元模型和计算方案进行重分析；是否需要修改力学、数学模型；是否需要修改原设计方案。,上述,1.,和,3.,项中的后一部分工作需要分析者,具有必要的力学和工程方面的知识和经验，以及必要时的专家咨询,。而,2.,和,3.,项中的前一部分工作则需要分析者对于有限元的基本原理和离散方法，常用单元形式和求解方法的特点和应用条件，以及计算结果的检查和评估等，有较,清晰的理解和综合应用的能力,。这是成功应用现有软件，特别是大型通用软件进行工程分析，包括必要时将新的单元或材料的程序模块接入现有软件，以适应特殊应用需求的前提条件。,一、自由度与约束,1.1,弹簧模型,和有限元法,这里，用,学,习力学时最先出现的,梁模型,，来,说明有限元法基本的考虑方法和经常使用的术语的意思。,1.1.1,弹簧的行为和,弹簧模型,弹簧，一有作用力就伸长和缩短起来。对应于力的大小显示了一定的变形过程。,最能发挥弹簧这个特性的，是在以计量和吸收变形等为目的的体重计和弹簧床等等的日用品中频频得到利用。,1.1.1,弹簧的行为和,弹簧模型,一方面，出,现在力学中的,弹簧模型,，是,力,和,伸,长,关系理想化表现的最基本的力学模型之一。这个,模型中，,约定力的方向和弹簧伸长的方向为同一个方向。,以下所述的,弹簧，考虑为所假定的这种,弹簧模型,。,就象大家知道的那,样，在弹簧上挂上重物，则弹簧的长度比没有重物状态下要变得长。,这个变长的量被称为,伸,长,，只要重物（的重量）不,变，伸长也不变。,1.1.1,弹簧的行为和,弹簧模型,然后，再加上一个同样重的重物试试看。伸长就增加到,2,倍了。,同,样地挂上,3,个重物的,话，伸长就增加到,3,倍。,这一次，我们来换一下弹簧试试看。,对于稍稍硬一点的弹簧，挂上和先前一样的重物试试。,所,谓硬的弹簧，也就是不容易伸长的弹簧。,换句话说，（对于硬弹簧）为得到一样的伸长要有大一点的重物，也即要有大一点的力。,1.1.1,弹簧的行为和,弹簧模型,其,实，对于伸长和力的关系有一个规律决定的。,这个关系用公式表示就成如下形式。,F=,u,此处，,F,作为重物的重量也意味着,力,，在有限元分析中称为,载荷,。,k,，意味着,弹簧的强,度，称,为弹簧系数，在有限元分析中称为,刚度,。,u,意味着,弹簧的伸长，在有限元分析中被称为,位移,。,这个公式称为,虎克定律,，,大家非常熟悉,。,其,实，,虎克定律已成,为,有限元分析的重要理,论。,1.1.1,弹簧的行为和,弹簧模型,要点：,弹簧模型,的行为，被称为虎克定律，用弹簧系数的数学公式可以表示力和伸长的关系。,1.1.2,弹簧的自由度,在,这,里,让,我,们,来考,虑,自由度,问题,。,所,谓,自由度用,语,言,进,行,严,密的定,义,，如果能,够,的,话,我,们,想尽量避免，而想用形象化的,办,法作,为,宗旨来,说,明。另外我,们,也,试,着从所,谓,“,自由”,开,始来,说,明。,对,于,自由一定是作,为对,象所属的事物（事情）而言。而且，,总,是伴随着,对,象的,场,合，意志和行,动,的，多数情况是把活生生的生物作,为对,象的。,譬如，,对,提倡,尊重基本人,权这样,的背景，所,说,到的人,类,之,间,大家平等，自由，,这样,的,对,象，就是人。,到了春天的,话,，公园或庭园内，,还,有菜花或紫云英花的花圃里自由自在地来回,飞,翔的蝴蝶和蜜蜂之,类,。它,们,或,许,并不由它,们,的意志而是由它,们,的本能所,趋,，但不管怎,样总,是自由地，,华丽,地,飞,翔着。,某保,护团,体，他,们则,主,张,不限于人,类,，,还,要从狗，猫等等的,宠,物到大海中悠,闲,游泳着的,鲸,作,为对,象,给,予保,护,和自由。,总之,不管怎,样，作为对象的人或动物，在发生行动和行为时没有从其他地方来的限制，依他或它所想的那样任意行动，我们把这作为自由这一术语的意思来进行定义吧。,那,么和所说的,自由,这一术语相对立，就有所谓,约束,，限制这样相反的说法，相互间具有密切的关系。,也,许是,稍微老一点的,说发，以前大家是初中生或高中生的时候是不是都有这样的经验，即服装啦长发啦以及游行等等都由校规作了各种各样的限制？,自由,这种东西虽然没有大小和长度的概念，然而由限制的个数和其易难性，可以测量它,自由的程度,。,1.1.2,弹簧的自由度,是不是自由,，表,现了哪,一个是不是自由的情况和程度，而作,为表示其尺度的说法，我们将引入所谓自由度这一术语。,举例来说，,有一,妻管严者,A,氏回家时必定要用电话打照呼，只能使用所掌握的每月规定的零用钱，除工作,以外，在外留宿完全不允许。,1.1.2,弹簧的自由度,另有一位，是单身汉,B,氏，象加班加到深更半夜也好，一下班就和同事出入娱乐街也好，做什么都行。但是自己的身体状况和当时钱包中的钞票限制了他。,1.1.2,弹簧的自由度,还有一位，控制得住妻子的,C,氏，有时交际应酬很晚回家，即使这样十次中只有一次往家里打电话，有时应酬完了时手提着礼物回家，总之这样已经成了习惯，由于也难得这样晚，到也得到家族方面的信赖。,不,过，对于,三位的自由，多少有几个,约束限制着。想象中，自由度最大的一个是,B,氏，相反,A,氏的自由度最小，想想看，大家是怎,么考虑的？,1.1.2,弹簧的自由度,在,这里对这一点，给它随便来回活动的,自由,的权利。,点,，因为获得了,自由,的权利，所以前后，左右以及上下哪个方向都能够运动，但不能说这种说法代表了此处所讨论的弹簧问题。,之所以是,这样，是因为在这个问题中由于弹簧端部的重锤仅仅引起上下方向的移动。,从而,弹簧模型,中用,来代表,时，这个点必须这样做，即约束掉这个点的前后方向，左右方向的,运,动，而上下方向必须能够自由地移动。,对于,CAE,而言，使用,这样的说法，即把这样的点称为,“,具有上下方向自由度的,点,”,。,一般的,说，力学模型中的,弹簧模型,，,这样来定义的，它是具有和力的方向一样的伸长方向，以及具有一个自由度的模型。,1.1.2,弹簧的自由度,另外，使用坐,标系的话，就能具体地,表示,点,和模型的自由度。,在,3,维坐标系里定义,点,的,话，没有约束限制的情况下，具有,3,个,轴中每个轴方向上的移动和饶该轴转动的共计,6,个的自由度。,另外，可以这样来说明用来代表,弹簧模型,的点,，因为受到限制，使用,坐标系时则“该模型具有,x,方向的自由度，,y,方向和,z,方向的,自由度受到约束”。,1.1.2,弹簧的自由度,前面所,说，载荷作用于弹簧的端部（下端部）位置，仅以一点,来代表，,现在准备再用一点,，来考,虑,2,个点的,弹簧问题。,此,时点,，被放置在上部，在固定,弹簧的一端上（上端）。,这个点因为被,固定住，,对于任何的运动都必须约束掉。,也就是，表,现为没有,自由度。,用,2,个点来建模，它,们之间的距离表示成包含伸长在内的全部长度。,1.1.2,弹簧的自由度,把弹簧问题以,点,来模型化，有关这个点所具有的自由度已经作了说明。而,有限元法,中被称为构成单元的,节点,的数个点，具有完全相同概念的自由度，和,点,起着同样的作用。,用有限元法来求,对应于节点的各个自由度的位移和转角，同时算出应力和应变。,1.1.2,弹簧的自由度,要点：,弹簧,的自由度,仅一个，它的方向为载荷作用的方向。,对于在,3,维空间里的,1,个,点,，定,义了表示,3,个,轴方向的移动和,绕,各轴旋转的共计,6,个成分的自由度。,有限元法求出各个,节点的自由度的成分，计算出变形和应力。,1.1.3,约束决定问题！,约束,这一话已经出现了好几次，现在再稍微具体地作一下说明：,仍以弹簧为例，象前一节所说明的那样，弹簧的上端被固定在天花板上，挂上重锤弹簧则伸长，这正符合弹簧的本来的作用。,对于弹簧，载荷所作用着的下端已经说过了是重要的，而固定在天花板上的另一端上（上端）也很重要。,上端如不作固定，弹簧由于重锤就会落下来。,本来，弹簧因伸长而起作用，然而如果说端部的约束决定弹簧的这个功能也不过分。,1.1.3,约束决定问题！,以下的例子是材料力学中,经,常所使用的。,同一构件具有相同的,载,荷，然而端部的,约,束条件不同的,话,，,则,在,载,荷点的位移量也,总,是不同的。,当然，因,为变,形不同，构件内部的,力的分布，即,应,力的分布在各个例子中也各不相同。,单手拿着纸片,双手拿着纸片,1.1.3,约束决定问题！,有限元法，是把,实际形状的模型用有限个有限单元的集合体来建立模型，这种模型是把形成各个单元的节点连续地连接起来。,也就是，有限元模型，可以,这样来考虑，把形状模型用很多个节点（和至今说到的,点,是同,样性质）进行置换。,因而，在使用有限元法的,时候，同弹簧的例子或材料力学的例子一样，重要的是要符合求解的问题对节点的自由度进行正确的约束。,1.1.3,约束决定问题！,要点：,约,束，根据,对,它,处,理,方法的不同而会,产,生不同的,现,象，有必要引起充分的注意。,在有限元法中，,约,束,对,于模型化的定,义,具有重要意,义,，也就是被称,为约,束条件或,边,界条件的,处,理，在,进,行模型化,处,理的,过,程中，具有重要的位置。,1.1.4,约束就是消灭自由度？！,不限于,弹簧问题，对于构件或产品的形状因载荷而变形，要校核它的应力这种问题，对于建模用,到的,点,或,节点的自由度一定要进行约束。,大家要,记住，为使用,CAE,，用任何一,种方法来作有限元模型，即使留意设定了载荷和材料的数据，而没有进行约束处理的话，是不能解决问题的。,键入,START,命令，不到几秒,钟的时间，系统就出现出错信息而返回，结果什么也没得到空手而归。,1.1.4,约束就是消灭自由度？！,由于,载,荷,的作用，部件要,变,形，它的某一部位,应该,被固定住。,如果是,弹,簧，,则,是在天花板上被,固定住的,弹,簧,这,一端，如果是材料力学所用的梁模型，那,么,是梁的端部。,使用有限元法，,对,于求解构件的,变,形，,应,力等的,弹,性,问题,中，,对应,于有限元模型，与被固定住的部位相当的,节,点或者几个,节,点的,组,必,须进,行,约,束,处,理。,1.1.4,约束就是消灭自由度？！,假如没有,约束的话，象弹簧要落下来一样，既没有伸长也没有收缩整个模型将会朝,力的方向移,动或转动，完全不对头了。（在运动力学中，这种现象被称为,刚体运动,或,刚体问题,。,将各,种各样现象转换成,模型,时，对于自由度和自由度的约束处理，根据它的不同设置而产生的现象也不同，所,以是非常重要的。,作为刚体而移动,作为弹性体而变形,1.1.4,约束就是消灭自由度？！,有,时候说成,消,灭自由度！,，,不是可以形象化得到理解了,吗？！,要点：,对于弹性等的问题使用有限元法的时候，必须对结构模型一部分的自由度进行约束，以确定不会产生刚体变形那样的约束条件。,二、有限元的发展,问题的描述：,1940s,，数学家,R.Courant,用定义在三角星区域上的分片连续函数和最小势能原理想结合，来求,St.Venant,扭转问题；,1954,年，联邦德国阿亨大学的,J.H.Argyris,教授用系统的最小势能原理，得到了系统的刚度方程，使已经成熟的杆系结构矩阵分析法，可以用于连续介质分析；,1956,年，波音公司的,M.J.Turner,，,R.W.Clough,采用直接刚度法给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答；,1960,年，,Clough,在论文中首次采用“,Finite Element”,这个术语；,1963-1964,，,J.F.Besseling,等证明有限元法是基于变分原理的另一种形式；,1969,年，,J.T.Oden,教授将有限单元法扩展应用于加权余量法（如,Galerkin,法）；同年英国,O.C.Zienkiewicz,提出等参单元的概念。,二、有限元的发展,问题的描述：,有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。,二、有限元的发展,求解过程：,对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。求解问题的基本步骤为：,第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域；,第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分；,第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式；,第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）；,二、有限元的发展,求解过程：,第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。,第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。,简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。,二、有限元的发展,从“有限元方法”的提出到现在，有限元以及相关计算系统已发展了,40,多年。在今天当我们这些有限元技术的使用者和受益者们以,尊重,和,发展,的眼光回顾有限元发展的历史时，应该清楚有限元历史发展的光辉历程和仍然存在的广阔发展空间。,二、有限元的发展,LETS REMEMBER THESE THREE,GIANTS,Ray W.Clough-,-developed 1 2,Edward L.Wilson-SAP with Clough,Klaus-Jrgen Bathe,-SAP5,Subspace Iteration,ADINA(Automatic Dynamics Incremental Nonlinear Analysis),三、单元刚度矩阵以及总体刚度矩阵,将一个连续的求解域离散化，即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个节点上的未知参数表征 单元的特性，然后将各个单元的关系式组合车工包含这些未知参数的方程组，求解这个方程组，得出各节点的未知参数，利用插值函数求出近似解。,计算步骤或过程：,（,1,）将结构划分成若干个单元，单元与单元之间以节点相互连接；,（,2,）计算单元刚度矩阵，并形成结构刚度矩阵；,（,3,）将非节点载荷等效地 移植到节点上，并求出结构总体载荷列阵；,（,4,）引入约束条件，解线性代数方程组，求得节点位移；,（,5,）计算应变和应力。,两种基本解法：位移法和力法。,分别以位移和节点力为未知量。一般来说，用力法求得的应力较位移法求得的精度高，但位移法比较简单，计算规律强，且便于编写计算机通用程序。因此，有限元多采用位移法。,单元节点位移,单元内任意点位移,单元位移模式,单元应变,单元应力,单元节点力,几何矩阵,单元刚度矩阵,弹性矩阵,虚功原理,平面问题的常应变,(,三角形,),单元,有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如下图所示：,平面问题的有限元法,任何问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。,空间问题简化为平面问题。,用三角形单元划分有限元网格时，应遵循下列原则：,（,1,）任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不能是其相邻三角形的内点；,（,2,）三角形单元的,3,条边长（或,3,个顶角）之间不应相差太大，即划分中不应出现过大的锐角或钝角。,（,3,）单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定，在保证精度前提下，力求采用较少的单元。可采用疏密不同的网格划分和子结构划分；,（,4,）当物体厚度有突变或者物体由不同材料组成时，不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一单元内。,平面问题的有限元法,三角形单元的划分,（一）位移函数,1,、位移函数的概念,如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。,有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。所假定的函数必须具备两个条件：一，它在节点上的值等于节点位移；二，它所采用的函数必须保证有限元收敛于真实解。,对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，,多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。,三角形平面单元,.,y,x,0,v,j,v,m,i,F,my,F,mx,F,ix,v,i,F,iy,F,ix,m,.,.,u,j,u,m,F,ij,F,jx,j,u,i,三角形单元有,3,个节点，,6,个自由度,六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的,3,节点三角形单元的位移函数如下,该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中 为广义坐标或待定系数，可据节点,i,、,j,、,m,的位移值和坐标值求出。,位移函数写成矩阵形式为：,这就是通过单元节点位移插值求出单元中任一点的位移与单元节点位移间的关系的表达式，其中，,N,为转换矩阵或形函数矩阵。,，简称形函数或插值函数。,B,矩阵为几何矩阵，表示单元节点位移与单元各点应变的转换。,D,为材料的弹性矩阵，它反映了单元材料方面的特性。,对于平面应力问题,对于平面应变问题,则,说明只要对材料弹性模量和泊松比进行相应的代换，则平面应力问题和平面应变问题在计算中可以采用相同的弹性矩阵形式。,若用,代入,由应力推算节点力，需要利用平衡方程。用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。,（四）节点力的求取与单元刚度矩阵,对单元进行力学特性分析的目的在于确定节点力与节点位移之间的关系，这一关系称为单元刚度方程，用矩阵表示为,推导单元刚度矩阵的方法,（,1,）材料力学或结构力学，简单构件（质量弹簧系统、杆、粱等）,（,2,）采用位移时，一般用虚位移原理，采用力形时，一般采用虚功原理或最小余能原理；,（,3,）对于非结构问题，如流场、温度场、电磁场等，一般均采用变分法。,单元特性分析的基本步骤：在假设单元位移函数的基础上，通过弹性理论的基本方程，建立应变、应力与节点之间的关系式；然后根据能量原理，求得节点力与节点位移之间的关系式，即单元刚度方程，如下图所示。,单元节点位移,单元内任意点位移,单元位移模式,单元应变,单元应力,单元节点力,几何矩阵,单元刚度矩阵,弹性矩阵,虚功原理,单元刚度矩阵的物理意义及其性质,平面问题的矩形单元,单元载荷移置,整体分析,整体刚度矩阵的形成,整体刚度矩阵的特点,注意：结构刚度矩阵仅与结构的几何形状、尺寸以及材料性能有关，而与结构承受的载荷无关。,位移边界条件处理,目的和任务,由于代数方程组解的不唯一性；引入位移边界条件以消除,K,的奇异性，以保证刚度方程有唯一解。从物理上讲，是给结构施加必要的约束，以限制结构刚体的位移。,引入步骤通常是在已经形成了结构刚度矩阵,K,及节点载荷列阵,R,之后进行的。这时,K,及,R,中的各元素均已按一定的顺序存储在相应的数组中，因此，在对进行处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望处理的元素越少越好。,处理位移边界条件的常用的方法,应力计算,轴对称问题,等参数单元,等参数单元实例,等参数单元位移函数,等参数单元刚度矩阵,等参数单元说明,再回顾有限元结构分析的基本步骤,（,1,）结构离散 建立结构的有限元分析模型，包括几何模型的建立、单元类型选择、网格划分、单元及节点编号等。,（,2,）单元分析 形成各个单元的单元刚度矩阵，以建立单元平衡方程，方法有直接法、能量法和变分法等。,（,3,）整体分析 在单元刚度矩阵的基础上形成总体刚度矩阵，以便建立整个结构的平衡方程。方法一是扩阶，二是合并。,（,4,）载荷移置和边界条件处理。,（,5,）求解线性方程组 求出节点位移列阵,（,6,）求单元应力及应变。,（,7,）结果处理与显示。,四、有限元法的理论基础,施加给一个结构的外力不随时间变化或基本不随时间变化时，我们所研究的对象是一个静平衡问题，反之当外力随时间明显变化时所研究的对象则是一个动力问题然，而不论是静力问题还是动力问题从数学角度看其力学模型的实质就是求解一个或一组微分或偏微分方程，由于求解这些微分方程时必须同时建立相应边界条件的数学模型，而工程实际问题的边界条件又往往很难用简单的数学形式表达出来，所以通过直接求解这些微分方程去研究工程问题是不可行的，那么我们能否绕过这个困难另寻办法呢回答是肯定的这个办法就是基于,变分原理,和数学上的,插值,思想的有限元法。,插值,数学上最简单形式的插值为线性插值，即由两点信息确定区间内或外任一点的信息。例如假设在同一时刻测得,A,市的气温和,B,市的气温，如果假定,A,市至,B,市之间的温度是线性变化的，那么在,A,市至,B,市之间的任一城市的气温可以仅由这两城市的气温决定，也就是从线性插值关系中近似确定而不需要再做任何测试，如果在,A,市与,B,市之间的,C,市气温已经测得则,A,市与,B,市之间的任何一地点的气温可以从基于三点信息的二次插值中近似确定，这个例子非常简单，但是它给出了有限个点的信息,(A,市,B,市或,C,市的信息,),与区间内无限个点的信息之间的关系，而且只要这有限个点的信息足够多足够精确，它们所表示的任意多的信息都是有意义的、可信的，事实表明正是这一数学上的插值思想与变分原理相结合才形成了后来的有限元法的基本思路以变分原理为基础将近似函数在子域上定义有限元法坚实的理论基础。,有限元法实质上是求解偏微分方程的一种有效的数值方法，许多工程问题抽象出来的物理模型恰是数学上的偏微分方程，工程上常用的强度计算仅是它应用领域的一个方面，表,1,列出了部分物理过程的控制微分方程，有限元法也为这些控制方程的数值求解提供了一个有效的数值求解手段。,表,1,一些物理过程的控制微分方程,物理过程 状态变量,(,或未知量,),控制微分方程,热传导 温度 傅里叶方程,Fourier,润滑 应力 雷诺方程,Reynolds,流体 流动速度 斯托克斯方程,(Wavier-Stocks),多孔 介质压力 达西方程,Darcy,声学 压力分布 亥姆霍兹方程,(,Helmholtz,),静磁学 磁势 麦克斯韦方程,Maxwell,静电学 电热 库伦方程,Coulomb,温度 密度 菲克方程,Fick,有限元数学基础,-,变分法,微分方程的变分解法,连续介质的场问题，如应力场、温度场、电磁场等，在数学上可用偏微分方程组及其相应的边界条件和初始条件来描述。其定态问题，常常称为边界值问题。它们的解是在由已知边界条件所定义的区域中寻求的。但是，许多问题由于边界条件比较复杂，直接从微分方程求精确解比较困难，甚至不可能。,由于求解微分方程的边界值问题和变分法具有等价性。故对复杂的微分方程连同它的边界条件，首先转化为求泛函的极值问题,利用经典的变分直接法求解偏微分方程，对于复杂的边界条件在选择近似函数时遇到困难，于是将整个求解域进行剖分（分片插值），使变分法由前进一步，这就是根据变分原理发展而来的有限元法。,有限元数学基础,-,变分法,函数的极限,一元函数的极值,若,，则有极小值。,若,，则有极大值。,若,，则不一定。,有限元数学基础,-,变分法,函数的极限,多元函数的极值,若函数 在点 有极值，则在该点的全部一阶偏导数都必须等于零，即,与一元函数一样，多元函数的极值点也必须是驻点。,有限元数学基础,-,变分法,泛函的极值,什么是泛函？,函数的函数,变分问题是研究泛函的极大值和极小值问题,函数 的变分 是指两个函数 和 之差，即,泛函 的变分是,有限元数学基础,-,变分法,一维问题的欧拉方程,设泛函,假定泛函存在极值，并在,上实现其极值，边界边界条件为,泛函 的变分是,当,x=a,，,y=c,当,x=b,，,y=d,有限元数学基础,-,变分法,一维问题的欧拉方程,取任意连续函数,代入泛函，得到,根据泛函实现极值的必要条件,得,有限元数学基础,-,变分法,一维问题的欧拉方程,由,代入 式，并令,根据边界条件,得,，得到,有限元数学基础,-,变分法,一维问题的欧拉方程,达到极值的必要条件,欧拉方程,将全导数展开,得,记,代入得欧拉方程的展开式,有限元数学基础,-,变分法,平面问题的欧拉方程,考虑泛函,而在边界,C,上，函数的数值事先并未给定,在区域,R,内：,在边界,C,上：,设函数,=,(,x,y,),在区域,R,内是连续的、二阶可微的。区域,R,的边界分为,B,和,C,两部分，在边界,B,上，函数的值已给定，即,=,B,。,平面问题的欧拉方程,有限元数学基础,-,变分法,空间问题的欧拉方程,其中 是沿事先未给定 值的边界,C,取值的,当泛函 实现极值时，必须有,在区域,R,内：,在边界,C,上：,有限元数学基础,-,变分法,求解变分问题的瑞利,-,里兹法（,Rayleigh-Ritz,）,实际工程中往往需要求解微分方程的边界问题，由于使泛函实现其极值的函数,=,(,x,y,z,),必然满足欧拉方程，因此我们可以构造一个泛函，使它的欧拉方程是我们需要求解的微分方程，这样就把求解微分方程的问题转化为求泛函极值的问题。,例如，当我们需要求解平面拉普拉斯方程,在全部边界上：,求相应的泛函：,有限元数学基础,-,变分法,求解变分问题的瑞利,-,里兹法（,Rayleigh-Ritz,）,瑞利,-,里兹法,的概念是：先假设泛函,I,(,),所依赖的函数,=,(,x,y,),具有如下形式，（以平面问题为例）。,其中,是我们给定的一组满足边界条件的函数序列,称为坐标函数。,是待定系数。,于是泛函就变换成系数 的函数。系数满足方程组,有限元数学基础,-,变分法,求解变分问题的有限单元法,用,瑞利,-,里兹法,求解变分问题时，坐标函数,i,必须在原求解区域上满足边界条件。只有求解域比较规则（如圆形、矩形、椭圆形等）而且边界条件比较简单时，才能找到这样的坐标函数。实际工程中，求解区域往往是不规则的，边界条件也比较复杂，很难找到满足边界条件的坐标函数,i,。，,因而不能用,里兹法,求解。,在用有限元法求解时，将求解域划分成有限多个三角形（或其他形状）的单元，由这些单元组成区域,R,，按变分思路求解，寻找使泛函实现极值的函数。由于求解区域被划分成有限个单元，可以适应不规则外形和复杂边界条件，因而在方法上就得到了很大的改进，可以解决工程实际问题。,有限元数学基础,-,变分法,求解变分问题的有限单元法,以二维拉普拉斯方程方程为例，求解问题为,相应的泛函为,在区域,R,内：,在边界,B,上：,在边界,C,上：,有限元数学基础,-,变分法,求解变分问题的有限单元法,把求解区域,R,划分成,m,个单元，每个单元构成一个子域 ，由这些子域组成原求解区域,R,：,其中,I,e,是在作为单元,e,的子域 上的积分,相应地，泛函变成在这些子域上的积分,有限元数学基础,-,加权余量法,用变分方法求近似解时，首先要找到相应的泛函。但有些问题泛函难以找到，或不存在，这时无法用变分求解。但可以应用,加权余量法。,加权余量法,是求微分方程近似解的一种有效方法。设在区域,D,中,u,必须满足微分方程,在边界,C,上必须满足边界条件,用下式表示上述问题的近似解,有限元数学基础,-,加权余量法,其中,i,是待定系数，,u,i,变满足边界条件，但不满足微分方程。,u,i,应是线性独立的，并应取自完备函数集合。所谓完备函数集合指的是，任一函数都可用此集合表示。,由于,u,i,不,满足微分方程，上述近似解代入微分方程，将得到余量,可以选择系数,i,，使得在某中平均意义上余量,R,等于零。今令余量加权积分值等于零，即,其中,W,i,是权函数。取,n,个权函数，由上式得到,n,个方程，正好可用于求解近似解中的,n,个待定系数,i,，采用不同的权函数，就得到不同的计算方法。,有限元数学基础,-,加权余量法,1.,配点法,在,n,个,分散的点上,实际上，就是要求近似解在,n,个分散的点上满足微分方程。换句话说，在这,n,个,点上余量应等于零：,这样选择权函数。,在区域,D,的其余部分,由上述,n,个方程，可求解,n,个待定系数,i,，从而得到近似解。,有限元数学基础,-,加权余量法,2.,最小二乘法,将,I,式对,i,求导数，得到,将余量的二次方,R,2,在区域,D,中积分，得到,由上述,n,个方程，可求解,n,个待定系数,i,，从而得到近似解。,这样选择系数,i,，使积分,I,的值为极小，因此要求,有限元数学基础,-,加权余量法,3.,矩法,对一维问题，取权函数如下：,由上述,n,个方程，可求解,n,个待定系数,i,，左端分别代表余量,R,的零次矩、一次矩、二次矩、,。所以称为矩法。,将这些权函数代入 ，得到,有限元数学基础,-,加权余量法,4.,迦辽金法（,Galerkin,）,取近似解为：,由上述,n,个方程，可求解,n,个待定系数,i,，,加列金法,精度较高。当存在相应的泛函时，,加列金法,与变分法往往得到相同的结果，因此，应用较广。,令权函数,五、有限元网格与单元,网格划分的一般原则,网格划分就是用适当类型和数量大单元离散被分析的结构（有限元建模时单元也叫做,网格）。,1.,网格疏密,2.,单元阶次,3.,网格形状,4.,节点编号,（,1,）翘曲量；（,2,）拉伸值；,（,3,）单元内角；（,4,）中间节点位置,a,b,c,d,s,R,L,max,L,max,R,有限元网格划分,不同类型单元的组合,形状复杂的结构往往需要几种不同的单元去离散。如对于厚薄不均的空间结构，可能在很厚的部位采用三维单元，而在较薄的部位采用壳单元。即便采用相同的维数，也可能由于结构应力梯度的不同而采用不同精度的单元。,不同类型单元组合的基本要求是要保持单元间的相容性，即跨单元间位移的连续性，以保证结构变形后不出现材料裂纹和重叠现象。当不同类型的节点在连接处有共同的单元，而节点又有相同的自由度时，则不同单元刚度矩阵的集合仍可直接按式进行,此时不同单元可能有不同数目的节点，因而刚度矩阵的阶数可能不同。但节点统一编号后，都可以把下标相同的刚度矩阵元素加在一起。形成整个刚度矩阵，其物理意义是：整个结构抵抗某种变形的能力等于各单元抵抗该变形能力之和，而不管各单元是否有相同数目的节点。,有限元网格划分,不同类型单元的组合,如果连接节点的自由度不同，这时可将自由度少的单元扩充到与自由度多的单元具有相同的自由度，刚度迭加时扩充自由度处的刚度矩阵元素为零。,A,B,杆梁单元组合,如果组合单元的交界处有非公共节点，则不能直接迭加。,a,b,1,2,3,a,b,1,2,3,a,b,1,2,3,重迭,裂缝,结构分析中的单元类型、属性及应用,常用单元的类型,（,1,）平面单元,（,2,）轴对称单元,（,3,）三维实体元（空间单元）,（,4,）板单元,（,5,）壳单元,（,6,）杆单元,（,7,）梁单元,（,8,）管单元,（,9,）弹簧单元,（,10,）间隙单元,（,2,）刚体单元,（,3,）约束单元,（,13,）集中质量单元,（,14,）索单元,（,15,）接触单元,结构分析中的单元类型、属性及应用,从单元的几何形状特征分为三维单元（空间单元）、二维单元和一维单元三大类。,从单元的节点自由度看，某些单元只具有平移自由度，而某些单元的接点既具有平移自由度又具有转动自由度。前者不能通过节点在不同单元之间传递弯矩，因此称之为非传弯单元。后者称为传弯单元。,根据单元节点数的不同，某些类型的单元又具有线性、二次（抛物线）和三次等形式，阶次较高的单元具有较高的计算精度和描述复杂边界的能力。而同类型的单元也可能具有不同的拓扑形状。,设描述单元几何形状的节点数目为,N,c,描述单元位移场的节点数为,N,d,.,若,N,c,N,d,则单元称为超参单元；,结构分析中的单元类型、属性及应用,在结构的有限元模型中，每个单元都具有特定的物理特性和材料特性。因此每个单,元都对应一个相应的物理特性表和材料特性表。此外，,梁单元,还具有截面特性，因,而每个梁单元还对应一个给定的截面物理特性表。,单元物理特性是对单元物理性质和辅助几何特性的描述，如弹簧单元刚度、集中质量元的质量、壳单元厚度、管单元的内外径、杆单元面积等，不同类型的单元具有各自具体的物理特性值。梁单元的截面特性是对梁单元截面积形状和大小的定义，如规定梁单元的截面形状为矩形并规定矩形的长