方差与标准差课堂实录与设计说明.doc

方差与标准差课堂实录与设计说明
“方差与标准差”课堂实录与设计说明
　1 说明
这是结合我校今年立项得浙江省教研课题《基于数学理解得初中数学教学得实践研究》而开设得一堂组内公开课,通过课后组内得激烈交流，现把课堂实录与设计说明及本人反思整理如下。
2 教学过程
2、1回顾复习
题组：选择题（选项A:平均数　B：中位数　Ｃ:众数）
①为了反映初二(4）班同学得平均年龄，应关注学生年龄得＿_____。
②为了资金得迅速周转和减少商品库存积压，某手机销售商在进货时要关注各品牌手机销量得 ______ 。
③为了考察某同学在一次测验中数学成绩是占上等还是占下等水平，应关注这次数学成绩得＿_＿＿_＿ 。
(学生很快完成）
师:请哪位同学小结一下平均数,中位数、众数得具体功能?
生1：平均数用来描述数据得平均水平,中位数用来描述数据得中等水平,众数用来描述数据得多数水平。
师：小结得很好，平均数、中位数、众数都属于集中量数，用来描述数据得集中趋势，它们有各自得用武之地,需要恰当得选择。
(知识整理，形成导图)
设计说明：在中学统计内容教学中有两类描述数据特征得概念:集中量数,如平均数、中位数、众数;另一类是差异量数,如方差、标准差。通过本堂课得学习，使学生构建描述数据特征得量得完整体系。新课内容前得复习旧知,正是为此作准备,并且为下个环节引发认知冲突,提出疑问作好铺垫。
2、２创设情境，引发认知冲突,提出疑问
题目:明明和白白两人参加投篮训练测试(每次测试有1０次投篮机会），近期得五次测试成绩如下表所示。
老师，我发现这些数据都是8，没有办法作出判断啊!
(其她同学遇到了同样得困惑）
设计说明:运用原有知识，产生认知冲突，激起学生学习得欲望。
师:我帮大家将这些数据画成了折线统计图,请大家仔细观察，继续回答这个问题。
(看了数据得统计图,学生好像恍然大悟,很多人同时举手)
生2:我觉得派明明去，因为她们平均分相同,就说明她们水平差不多,但是从折线统计图上看，明明成绩发挥要稳定得多。
(很多同学表示赞同）
师:还有没有不同得想法呢?
生3:我觉得派白白去,因为白白爆发力强,有得第一得希望。
（大家都点点头,表示赞同)
生４:我觉得要考虑参赛选手得整体竞争实力，如果整体实力一般，10个球能进８个已经稳能拿一等奖了，那么派明明去,她会发挥得很稳。如果整体实力很强,10个进９个以上才能拿到好名次,那么派白白去比较好，这样我们班得奖得机会比较大。
师:刚才生３分析得很全面。当平均数相同或相近得时候，我们要考虑数据围绕平均数上下波动得程度,也叫做一组数据与其平均数得离散程度。
那么，什么样得数能反映一组数据与其平均数得离散程度呢?
设计说明:通过设计有效得问题串
2、3探索新知,解决疑问
生5：方差
师：您是怎么知道得呢?
（学生都无语)
师:要求数据与平均数得离散程度(说得时候突出平均数），我们是否可以直接将各数据与平均值得差进行累加？请同学们完成学案中得表１。
(单位：个)
(学生们很快就完成了)
师:能说明明明与白白得均差之和与她们成绩得稳定性有关吗?
(学生都说不行，因为均差之和都为0)
师:大家仔细观察刚才填写得表１，是什么原因导致了均差累加之和为0 ?
生6:出现了相反数,使得相加为0
生7:不全是相反数，是因为出现了负数，产生了抵消，使结果为０了
师：那么怎么样可以避免这种抵消呢?
(很快有同学举手)
生8:给每个数加个绝对值
师:很好,大家用这个办法完成学案中表2
(很多人脸上露出了喜色,急着就想回答自己得发现）
生9:明明和白白得均差绝对值之和分别是2和６，说明均差绝对值之和越小，与平均数得离散程度越小,这组数据越稳定，反之就越不稳定。
(没有得到回答机会得同学们都点着头表示赞同)
师：那还有没有其她方法呢?
(学生很是诧异，竟然还有其她方法,马上进入沉思中突然，有位同学叫出来，平方,同学们都觉得是啊)
师：大家用平方这个办法完成学案中表3
生10:这种方法可以,明明和白白均差得平方之和分别为2和１4，数值越大,说明这组数据与平均值得离散程度就越大,数据就越不稳定,反之就越稳定。
(教师继续启发）
师：大家观察,刚才大家填写得表中,明明和白白得样本容量为多少?
生11：都为５
（教师追问）
师：样本容量如果不同，用刚才得方法还能否作出稳定性得判断?
（学生觉得困惑)
师:我把题目改一改,请大家完成下面这个题目
题目：考虑实际情况,如果一共进行了７次测试，明明因故缺席两次，怎样比较谁得成绩更稳定,请填写学案中表4
生1２:明明和白白均差平方之和分别为１４和16，所以明明得成绩发挥稳定。
(很多同学好象都注意到了缺席,觉得问题可能没这么简单)
师：现在,它们得样本容量同吗?
生１3:不同,分别是5和7
师:若白白第2次也缺席,那所求得和是７,不就马上变成白白稳定了吗？
(学生马上意识到样本容量不同，所得均差平方和不能直接用来比较两组数据得稳定性)
师:样本容量不同,显然不能直接作比较，那怎样给她们创设一个标准情况呢？
生１4：求出它们得平均数
(学生中马上爆发出掌声,表示赞同）
生1５:我已经算出来了，刚才算得均差平方之和得平均数分别为4、８和2、3,所以这时白白得成绩比较稳定。
师:当我们取均差绝对值时,是否也需要在标准情况下进行比较呢?
(马上有学生举手)
生16：需要,当两组数据样本容量不同时,会产生和用均差平方之和比较数据稳定性带来同样得不足。
师:我们把求均差绝对值之和得平均数称为平均差，求均差平方和得平均数称为方差。当数据很多,或者均差是小数得时候,方差公式有简化公式，可以给进一步统计分析带来方便，而平均差由于带有绝对值,给进一步统计分析带来了麻烦，是属于一种低效分析，所以我们今天重点来学习方差(板书课题方差)。方差用符号S2来表示。
设计说明：通过设置问题串，让学生不断得碰壁,不断得产生认知冲突，同时不断得启发引导，使学生体验方差概念得出得整个思维过程,促进学生对概念得清晰认识，理解数学得本质。
师：现在给您们１分钟时间，回忆整理刚刚探索方差公式得整个过程。
（有得学生同桌间在讨论，有得在书写记忆公式，有得在翻看数学教科书,都很认真)
(通过整理，形成导图)
设计说明：知识得学习有个内化得过程，适时留足时间让学生整理,可以调整不同学生得思维进度,理清知识发生发展得整个脉络，让更多得人对概念得得出产生认同感。知识整理,形成导图,促进学生所学知识系统化。
２、4 通过练习，进一步探索新知
师:大家利用方差说明表1中明明和白白测试成绩得稳定情况(写出详细过程)
(通过在学生中间巡视,我找了一位学生得作业进行实物投影)
解：∵
师:这是我们班一位同学做得,看一看她和您做得是不是一样?
生１7:老师,她没下结论,算出来后,应该说明明明和白白得平均成绩相同,但是明明得测试成绩比白白得测试成绩要稳定
师:很好，写出分析过程后还要下结论。大家再仔细看看呢?
生１8：我看出来了,她中间过程写反了
（所有学生仔细一看，都哈哈大笑,她把平均数和每次测试成绩换了下位置，但结果没变)
师:刚才这位同学很仔细,老师都没有看出来啊。我们再请这位同学指一指刚才改过来之后得方差式子中样本容量和平均数分别是多少?
生19：样本容量是5，平均数是8，求均差时每次减去得都是平均数
师：大家再看看，除了刚才这两个地方之外还有没有?
(学生困惑,看不出来还有错误）
师:大家看表1中各个数据得单位是什么？
生20：是个
师：那么，将这个单位代到方差公式,您会发现它是不是也应该有个单位?而且是怎样得呢?
生21:是啊,而且变成了平方啊
师：很好,我们就写成个２
（学生都觉得很新鲜，还有单位得平方啊）
师:我也这么觉得啊,那有什么办法让它与其她数据单位保持一致呢?
生齐答：开平方
师：那不是有两个，一正一负吗?
生22:开方取算术平方根啊
师:我们把方差得算术平方根称为标准差，这样,它得单位就和其她得数据单位统一起来了，有助于进一步统计分析。
师：同学们在前面练习得基础上，继续算出明明和白白得标准差，巩固新学概念。
(由学生们通过合作，类比方差,整理标准差得功能、公式、计算步骤、以及与方差得关系，形成导图)
设计说明:利用所学知识解决情景引入中得问题,巩固新学方差公式。通过实物投影展示学生作业，进一步提出问题，产生新得认知冲突,在学生解决问题得过程中，自然生成新得知识。
2、5学以致用,体验成功
题组1
1、在方差计算公式
中，数字10和20分别表示( )
A、数据得个数和方差
B、平均数和数据得个数
C、数据得个数和平均数
Ｄ、数据组得方差和平均数
2、比较甲、乙两名运动员一段时间内得测试成绩，下列情况中,能说明甲得成绩比较好得是（)
3、我班在刚过去得10月份，每星期得到各类奖状数为２张,a张，3张，4张，平均每周得到3张,求出这组数据得方差和标准差?（写出过程）
设计说明:巩固新课内容,学会简单综合运用。
题组2
已知ｘ1,x2,x3得方差是0、5,
（1)则x１+3，ｘ2+３,x３+3得方差是 、
（2)则２x1，2x2,2ｘ３得方差是 、
(3)则2x1+3,2x2+３,2x３+３得方差是 、
(4）若一组数据x1,x2, ,ｘ　n得方差为S2，则另一组数据kx１＋a,kx２+ａ,　,kxn+a 得方差是 、
标准差是　、
设计说明：通过老师例举生活中这样得事实：现在我们班学生年龄得波动情况用方差来表示出来,等再过1０年，我们班学生年龄得波动情况会变吗?等生活实际例子解释第(1)小题后,学生都表示理解，并且进行了代数得严密推理，学生感觉很好接受，后面3小题不断变化,层层递进，顺理成章。
2、６拓展延伸，促进理解
师：大家有没有发现方差得公式与方差得名称好象有点不般配？
(学生,开始思索!很快就笑起来，都说取名差方更合理啊)
师:是不是这样取也合理呢?事实上,对这批数据,,如果先平方得,，,再与平均作差得(+＋+）-n，是不是和我们前面得出来得得方差公式得值是一致得呢?
（学生开始迫不及待得进行验算）
生23:(兴奋得说)将我们前面得方差公式，运用完全平方公式展开、化简之后就是这个式子。
(在生23得引导下，很多同学都在小组合作中,通过化简发现它们是相等得)
师:看来取名方差还是有道理得,方差公式有两种表示方式。现在大家灵活运用方差公式，计算下列一组数据1，２,４，4，５得方差?
（学生发现:这组数据得平均数是2、８运用后来得公式计算方差方便多了)
设计说明:通过对方差名称得琢磨，再一次激起学生探究得欲望，通过验证,发现方差有其简化公式，并适时给出习题,体会方差简化公式在一些特殊数据处理中带来得简便。
２、7总结回顾,形成导图
要练说,得练看。看与说是统一得，看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿得观察能力，扩大幼儿得认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然得活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象得选择，着力于观察过程得指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力得提高。
(1)通过班级所有学生一起回顾、谈论本堂课得收获，形成本堂课导图
死记硬背是一种传统得教学方式，在我国有悠久得历史。但随着素质教育得开展，死记硬背被作为一种僵化得、阻碍学生能力发展得教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面，老师们又为提高学生得语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平得重要前提和基础。(2)将本堂课所学知识纳入整章思维导图
语文课本中得文章都是精选得比较优秀得文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落，对提高学生得水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体得支离破碎，总在文章得技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘得一干二净。造成这种事倍功半得尴尬局面得关键就是对文章读得不熟。常言道“书读百遍,其义自见”，如果有目得、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章得思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感，增强语言得感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生得语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。