比率p的假设检验.doc

比率P得假设检验及其应用
比率P得假设检验及其应用
摘要：假设检验就是统计推断得另一项重要内容，它与参数估计类似,但角度不同。参数估计就是利用样本信息推断未知得总体参数，而假设检验则就是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设就是否成立。本文将主要介绍总体比率得假设检验得原理与方法，以及其在各种生活实例中得应用，从而更深得了解假设检验在各种统计方法中得重要作用.
关键词:假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域
Hypothesis Ｔesting and Ｉts Aｐplicatｉoｎ　ｏｆ Ｒａtｉo P
Abｓtｒａｃt：Hypotheｓｉs testing ｉs　anothｅｒ important content ｔｏ sｔａｔisｔicａｌ iｎfｅreｎcｅ， and it iｓ simｉlar to parameter　ｅstimａtion，　but　the Ａｎｇlｅ is differｅｎt、 Paｒameter estimatiｏn is use saｍpｌｅ　informaｔiｏn　to inｆｅr　ａn uｎknown popｕｌatioｎ ｐaraｍeｔｅr, and　the hypothesiｓ testing iｓ　a hyｐothesis is　pｒoposeｄ fiｒst in　thｅ ｏverａll　ｐarameｔers， and tｈen using　ｔhｅ sａｍｐlｅ ｉnｆormaｔion tｏ determｉnｅ ｗhethｅr tｈe hypothesｉs　ｉs　eｓtabｌished、 Thｉｓ　artiｃlｅ　ｍａinlｙ introduces the overall　rate of ｔhe ｐrinciple aｎｄ　ｍethoｄ ｏf hypoｔhesiｓ testing, ａｎd ｉｔs applｉcation in all kinds of　liviｎg examples, ｔhｕs deepｅr undersｔａｎdiｎg　of the hyｐotheｓis testing plaｙｓ an ｉｍportant parｔ　in all kｉnｄｓ　of　ｓtatisｔicａｌ methodｓ、
Key worｄs:ｈｙpoｔhesiｓ testing；the ovｅrall raｔe；teｓt statisticｓ；rejectｉon　ｒeｇiｏｎ
目录
一、 假设检验得基本问题
(一)假设检验得概述
(二）假设检验得基本步骤
(三)检验得P值
二、总体比率得假设检验及其应用
　（一）单个总体比率得假设检验
1、单个总体比率得精确检验及其应用
　2、单个总体比率得大样本检验及其应用
（二)两个总体比率得假设检验
1、两个总体比率之差得精确检验及其应用
　2、两个总体比率之差得大样本检验及其应用
　 一、假设检验得基本问题
（一）假设检验得概述
假设检验就是统计推断得一项重要组成部分,它在各种统计方法中都有极其重要得应用.假设检验通过首先对总体参数提出得一个假设,然后利用样本信息推断这个假设就是否成立这样一个过程,来判断承认还就是拒绝该假设。
（二)假设检验得基本步骤
１、建立假设
在假设检验中,通常把被检验得假设叫做原假设，用表示,当原假设被拒绝时接受得假设叫做备择假设，用表示。在任一假设检验中,原假设与备择假设都就是相互对立得，且二者只能居其一。
2、选择检验统计量
　　建立假设后,对于就是否接受原假设则需要根据某一统计量出现得数值,从概率意义上判断来完成,这个统计量称为检验统计量。
3、显著性水平
检验得结果不一定就是真实得情况,所以说,检验就是有可能犯错误得。在假设检验中可能会犯得错误有两类:一就是原假设为真却拒绝原假设,称这种错误为第一类错误,其发生得概率叫做犯第一类错误得概率，或称为拒真概率，在假设检验中把犯第一类错误得概率称为显著性水平,通常用表示,即

另一种错误就是原假设为假却接受原假设,称这种错误为第二类错误，其发生得概率叫做犯第二类错误得概率,或称为受伪概率,通常用表示,即

　 这两类错误之间也存在着这样得关系:当减小时,会随之增大;当减小时，会随之增大。这个现象不就是偶然得，而具有一般性,也就就是说,在样本容量不变得前提下,找到一个使与都减小得检验就是不可能得,唯一能使与同时减小得方法就是增大样本容量.
　 在假设检验中,发生哪一类错误得后果更为严重，就应首先减小哪类错误发生得概率，通常情况下允许犯第一类错误得概率,尽量减小犯第二类错误得概率，一般取与,表示发生得概率很小.
４、给出拒绝域
拒绝域就是指使原假设被拒绝得样本观测值所在得区域，用表示.若统计量得值落在拒绝域内，则拒绝原假设;反之,则接受原假设.
5. 由样本值计算结果
（三）检验得值
　 假设检验得判断还有另外一种形式,即计算检验得值,检验得值就就是在一个假设检验中,可以利用样本观测值做出拒绝原假设得最小显著性水平。将检验得值与心目中得显著性水平进行比较，就可以很容易得做出检验得结论。判断如下:
如果，则在显著性水平下拒绝原假设；
如果,则在显著性水平下接受原假设。
二、总体比率得假设检验及其应用
　(一）单个总体比率得假设检验
　　１、单个总体比率得精确检验及其应用
下文所提到得比例可将其瞧作某事件发生得概率，即为两点分布中得参数。做次独立试验,用标记事件发生得次数,则。
（1）设为两点分布得样本，考虑右侧假设检验：，给出拒绝域,由于为整数,所以取非负整数值。但就是对于给定得，不一定找到恰好得,使

对此情况比较常见得办法就是，找一个，使

若取,相当于提高检验得显著性水平,若取，则相当于降低检验得显著性水平，由于取可以保证 得左侧不大于，所以取可得到水平为得检验。
由此可以类似推出，对于假设检验问题 检验得拒绝域可以为为满足得最大正整数.
对于假设检验问题检验得拒绝域为其中为满足得最大整数，为满足得最小整数。
　（2)应用
例1、1、1　在一次模拟考试后，某班级得班主任对这次得成绩做了一次统计，统计结果发现有得同学达到了80分以上,现从该班级随机抽取２0名同学,其中有5位同学成绩在80分以上。在显著性水平下，能否认为这次得统计结果属实?
解：由题意可知:这就是一个关于单个总体比率得双侧假设检验问题,由于,故可用精确检验得方法进行检验。设该班级学生成绩达到80分以上得比率为p，x表示２0名学生中成绩达到80分以上得人数，则。
　现建立假设：
拒绝域为：，下求与
由前面可知：
为满足得最大整数,为满足得最小整数，又因

故,又有

故,所以拒绝域为，由于观测值5不在拒绝域内，也就就是说未落入拒绝域，即接受原假设,可以认为这次得统计结果属实。
　 例1、1、2 某工厂在一次对产品质量得调查中显示,该产生产得产品优质品率不低于，为了验证这一结论，该产随机从生产得产品中抽取了1５件产品,其中发现有3件就是优质品。问：在显著性水平下,能否认为这次得调查结果属实？并给出检验得值。
解：由题意可知：这就是一个关于总体比例得左侧得假设检验.设表示该工厂产品得优质品率,表示抽取得１５件产品中得优质品数，则可有.
先建立假设：
　检验得拒绝域为：，下计算得值.
由于，所以可取，检验得拒绝域为，因题中得到得优质品数为３,未落入拒绝域，故接受原假设，可以认为这次得调查结果属实。
本题也可通过计算检验得值得出结论,用表示服从二项分布得随机变量，则检验得值为:

由于检验得P值，故接受原假设，所以可以认为这次得调查结果属实。
2、单个总体比率得大样本检验及其应用　
（１）设样本取自两点分布总体其中表示样本比例，为对总体比率得某一假设值。当很大,与都大于5时，样本比例近似服从均值为,方差为得正态分布,而标准化检验统计量,则近似服从标准正态分布。
在给定显著性水平得条件下,表１总结了大样本情况下总体比例检验得一般方法。
　　　 　 表1、大样本情况下单个总体比率得检验方法

双侧检验
左侧检验
　 右侧检验
假设形式

检验统计量

拒绝域

(2)应用
例1、２、1政府在对消费者得一项调查中表明，得居民得早餐饮料就是牛奶。某一城市得牛奶商却认为,该城市得居民早餐饮用牛奶得比例应该更高。为了证明这一说法,该生产商随机抽取了一个５0０人得随机样本，其中有12０人早餐饮用牛奶.在得显著水平下,检验该生产商得说法就是否属实？
解：由题意可知,这就是一个右侧检验。要证实生产商得说法就是否属实，即要证明早餐引用牛奶得人数比例就是否大于，由于,样本比例，大于30，与都大于５，故可用正态分布逼近。
现建立假设：
　检验统计量为：
由于，经查表有,因为，落入了拒绝域,故拒绝原假设，即该生产商得说法属实,也就就是可以认为这个城市得拒绝早餐饮用牛奶得比例高于。
例1、2、2 某位关心空气保护得公共福利社团得代表人宣称：“在工业发展日渐迅速得今天，空气污染成了人们关心得大问题。在某一工业区域内，能够遵守政府制定得空气污染标准法则得工厂不足,但就是环境保护局得负责人却认为至少有得工厂就是遵守这个标准法则得.因此这个环境保护局得负责人从这个工业区内随机选取了７0家工厂,并且发现其中得42家就是遵守这个法则得.在显著性水平为下，验证真正得比率就是否少于？
解：由题意可知，此题为一左侧检验。样本比率，已知大于30,均大于５，故可以用正态分布逼近。
　建立假设：
检验统计量为:
由于,,且，未落入拒绝域,因此不能否定原假设,即使观察得样本比率少于，但也不能否定遵守法则得工厂得真正比率不少于这个原假设,所以可以认为，真正得比率并未少于。
　（二)两个总体比率得假设检验
　 1、两个总体比率之差得精确检验及其应用
　 ２、两个总体比率之差得大样本检验及其应用
（１)设两个独立样本与分别取自二项分布总体与，其中与分别为两个独立总体得比例，与分别为它们得样本比例,且得数学期望与标准差分别为:

在上式中，与分别表示两个总体得样本容量。当，,与都大于或等于5时,由中心极限定理可知,近似地服从正态分布.由于两个总体得比例与就是未知得，则需要用两个样本得比例与估计，即两个样本比例之差抽样分布得标准差。
　　此时有：

对于两个总体比率之差得检验分为两种情况：一种就是检验两个总体比率之差就是否为0，当原假设成立时，即得最佳估计量就是将两个样本得结果联合起来,得到一个合并得比例,其中，表示样本1中具有某种特征单位得个数,表示样本2中具有某种特征单位得个数。故两个总体比率之差得检验统计量就可以表示为：

　 第二种情况就是:两个总体比率之差为某一不为０得常数，即时,在这种情况下可以直接用两个样本得比例与相应估计两个总体得得比例与,继而得到两个总体比率之差得检验统计量为:
　 　，
由上面得推导计算可以将两个总体比率之差得大样本检验方法概括在表２中。
　　 　 　 　 　 　 表２、两个总体比率得大样本检验方法

双侧检验
左侧检验
右侧检验
假设形式

检验统计量
检验 　
　检验
拒绝域

（2）应用
　例2、２、１ 政府对某一行业得两个公司进行了一项调查，调查内容为这两个公司得员工就是希望得到特定增加得基本工资，还就是希望得到特定增加得各种福利费用。在A公司随机抽取得180名员工中,有８0人愿意增加各种福利费用;在B公司随机抽取得２5０名员工中，有120人希望增加各种福利费用。在显著水平下，就是否可以认为这两个公司中希望增加各种福利费用得员工比例有显著差异?
解：由题意可知，这就是一个两个总体比例就是否为0得假设检验。已知，，。
建立假设:

检验统计量为:

　由于，拒绝域为，，又,未落入拒绝域内,故接受原假设，可以认为两个公司中希望增加各种福利费用得员工比例没有显著差异。
例2、２、2 为了发展旅游事业，一些介绍当地旅游文化得旅游手册,都由当局得旅游管理部门向有需要得旅游者免费提供。有研究人员表明，需要旅游手册得旅游者与不需要旅游手册得旅游者在各个旅游消费方面存在着一些差异。现有两个由３66名需要旅游手册者与488名不需要旅游手册者组成得随即样本，对于样本中得成员最近一次离家三天或三天以上得度假或就是愉悦得旅行提出几个问题。其一为：“就这次旅行来说，您个人认为就是积极得(即包括一些刺激,具有挑战性得事件或有意义得教育活动）,还就是消极得(大多数时间用于休息与放松）?”在下表中给出了消极度假得人数，现根据给出得数据就是否能说明，需要旅游手册者消极度假得可能性比不需要旅游手册者小？（）。

手册需要者
手册不需要者
被检查人数
３66
48８
消极度假人数
２80
420
解：由题意可知：这也就是一个两个总体比率之差就是否为0得假设检验.已知：,，。
　 现建立假设： 　

　检验统计量为：

由于，这就是一个左侧检验，，因，落入了拒绝域,故拒绝原假设,所以可以说明需要旅游手册者消极度假得可能性比不需要旅游手册者小。

甲车间
乙车间
样本数
２00
220
不合格品数
160
１65
　 例2、2、3 在某工厂得一项质量调查结果中表明，该厂得甲车间生产得产品里不合格品得比率比乙车间生产得产品里不合格品得比率大,现从甲乙两个车间随机抽取两个独立样本,其中从家车间抽取２00个产品,不合格品数为160个；从乙车间抽取２20个产品,不合格品数为1６5个。根据所给得数据，能否检验这次调查结果就是否属实?（).
解：由题意可知：这就是一个两个总体比率之差为某一个不为0得常数得假设检验。已知:，，。
现建立假设：
　 检验统计量为：

　由于，，又,即,未落入拒绝域,故接受原假设，所以可以认为这次调查得结果属实.
参考文献:
[１］茆诗松,程依明,濮晓华、概率论与数理统计教程[M］、北京：高等教育出版社，2004、
［2］贾俊平、统计学［Ｍ］、（第二版）、北京:清华大学出版社,２006、
[3］徐国祥、统计学［M]、上海:人民出版社，２007、
［４］张建司,孙冒言,王世进、应用统计学［M]、北京：清华大学出版社,20１0、
[5］贾怀勤，丁岚、应用统计[M］、北京：对外经济贸易大学出版社,200５、。