求二面角的几何法.doc

3种求二面角的几何法

二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种方法：
直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD是矩形，AB =a，BC =b (a >b)，沿对角线AC把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC，证明：平面 ABD ⊥平面BCD。
B
A
D
C
证明：由题意可知：
AD ⊥BC，AD⊥DC
∴ AD⊥面BCD
又 AD 面ABD
∴ 平面ABD⊥平面BCD

例2. 在四棱锥 A-BCDE中，底面是直角梯形，其中 BC∥DE，∠BCD =90°，且 DE =CD =BC，又AB =AE =BC，AC =AD，
M
N
E
D
A
B
C
求证：面ABE⊥面BCD。
证明：取BE的中点M，CD的中点N，
连结 AM，AN，MN，
∵ AB =AC (已知)
∴ AM⊥BE
同理 AC =AD 有AN⊥CD
在直角梯形BCDE中，
∵ M、N分别是BE、CD的中点
∴ MN ∥BC
又 ∠BCD =90°
∴ MN⊥CD
∴ CD⊥面AMN
∴ CD⊥AM
又 AM⊥BE，CD、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，
∴ AM ⊥面BCD， 又AM面ABE
∴ 面ABE⊥面BCD。

当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。

例3.如图三棱锥 P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB－C的大小。
D
P
C
A
B
解：由已知条件，D是BC的中点
∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形
∴ AD =CD =BD =2
∴ D是△ABC之外心又在BC上
∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形，
∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC
∴ PA⊥AB (三垂线定理)
∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角，
易求 ∠PAC =30°

例4.如图在三棱锥 S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。
E
D
B
A
S
C
解：∵ BS =BC，又DE垂直平分SC
∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE
∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC
∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC
∴ BD⊥DE，且BD⊥DC
则 ∠EDC就是所要求的平面角
设 SA =AB =a，
则 BC =SB =a 且 AC =
易证 △SAC∽△DEC
∴ ∠CDE =∠SAC =60°

例5. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
S
R
N
M
O
B
D
P
A
C
解：取OC之中点N，则 MN∥PO
∵ PO⊥面ABCD
∴ MN⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，
过 N 作 NR⊥BD 于 R，连MR，
则 ∠MRN即为二面角 M-BD-C的平面角
过 C 作 CE⊥BD于S
则 RN =CE 在 Rt△BCD中，CD·BC =BD·CE
∴
∴
∴

2.利用
此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些。
D
B
A
E
C
例6.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。
解：过 A作 AE⊥CB的延长线于E， 连结 DE，
∵ 面ABC⊥面BCD
∴ AE⊥面BCD
∴ E点即为点A在面BCD内的射影
∴ △EBD为△ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
∴ AD = ，
∴ sin∠ABD =
∴ 又
∴
∴
考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C与A-BD-C互补
∴ 二面角 A-BD-C的余弦值为。

例7.已知正方体 AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。
D’
B’
D
A
C’
B
A’
C
M
N
解：设边长为a，易证 ANC'N是菱形
且MN =，A'C =
∴Ｓ□AMC'N =
由于AMC'N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴ Ｓ□ABCD =
∴
∴
取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，
Ｓ□DM'C'M =
∴
∴
3.利用公式
这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。
事实上，以公垂线AA'与 a构成平面α，AA'与b 构成平面β，则θ是两异面直线所成的角变成了二面角α-AA'-β的平面角或它的补角（要注意它们的范围可能发生了变化）。

例8.如图 AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角的大小。
B
F
E
A
C
D
解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，
∵ AC =CD =1 ∠ABC =30°
∴ AD =，BC = ，
AB =2， BD =
在Rt△ABC中，
，
同理
∴
∴
∴
∴
即所求角的大小为。

例9. 三棱锥 A-BCD中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
D
O
A
B
C
解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC，
设BC的中点设为O，则OA =OC =
BC =

∴
解之得：

∴

从一道高考题谈二面角大小的种种求法
546700 蒙山县第一中学 黄天华
在历年高考中，立体几何这一道题，就其解法而言，有传统的几何法 和向量法两种（几何法重逻辑推理向量法重计算），更有其它的一些特殊解法，本文拟2008年江西卷（理科）第20题为例，谈二面角大小的种种求法。
题目：如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2，分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别交于，已知.(1)求证:平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离。
1 几何法
1.1定义法
根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面角的大小，所以 求二面角的大小一般遵循如下三个步：一作二证三计算。
解法1：（1）（3）略（以下各解法均略）。
（2）如图，过作于，连结，因为平面，根椐三垂线定理知：，则是二面角的平面角。作
，则∥，且为的中点，，由∽有：，即，解得；在中，，所以，，故所求二面角的大小为。
1.2 面积射影法
设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面，然后分别求出这 个面和射影面的面积，利用求出二面角的大小。
解法2：依题意知：平面，所以平面在平面上的射影是.由解法1知：，所以，而，设二面角的大小为，则，故所求二面角的大小为。
1.3 双高比值法
设法分别求出点到平面和到棱的距离和，并设二面角的大小为，则由可求二面角的大小，这种方法我们称之为“双高比 值法”。
解法3：由解法1知：；又由解法2知：
，设点到平面的距离为，则由得：，，设二面角的大小为，则，故所求二面角的大小为。
1.4 公式法
利用下（）教材例2的结论：可以求二面角的大小。
解法4：如图，过作于，则由解法1知：
，由得：；过作于，在中，由解法2知：，则，所以,故将
,代入
得:
，解得，故所求二面角的大小为。
1.5 三面角余弦定理法
如图，在三面角中，有如下定理：若，，二面角的平面角大小为，则（证明略）。利用该公式可求二面角的大小。
解法5：如图，由解法1知：，则=
，在中，由余弦定理得：
，将
之值代入
得：，，故所求二面角的大小为。
2 向量法
2.1面法法
分别求出构成二面角的两个面的法向量，然后利用求出二面角的大小，这种方法我们称之为“面法法”。
解法6：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，设，由与共线的充要条件知：存在，使得：=，即，有此得：3，，同理，则，设是平面的一个法向量，则由得，令，则有，又是平面的一个法向量，所以=，故所求二面角的大小为。
2.2 棱法法
我们把通过二面角棱上任意两点（可重合）在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量，叫做二面角棱的法向量，利用可求出二面角的大小，这种方法我们称之为“棱法法”。
解法7：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，
，由解法6知：，，设点
，且，则，即
，所以 ①，又由得：，所以 ②，解①②得，故。设,且，同理可求得:所以：,故所求二面角的大小为。
2.3 非坐标向量法
选择不共面的三个向量作为基向量，然后用基向量来表示二面角所在的两个面的法向量，由公式可以求出二面角的大小。
解法8：记，且
，，由
及
，设平面
的法向量为，
因为，=，所以由得：，令得：，又是平面的法向量，所以，故所求二面角的大小为。

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