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排列组合问题的常见解法
一.元素相同问题隔板策略
例1.有10个运动员名额, 分给7个班, 每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别, 把它们排成一排. 相邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个位置插个隔板, 可把名额分成７份, 对应地分给７个班级, 每一种插板方法对应一种分法共有种分法.
注：这和投信问题是不同的, 投信问题的关键是信不同, 邮筒也不同, 而这里的问题是邮筒不同, 但信是相同的．即班级不同, 但名额都是一样的．
练习题:
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？
2.求这个方程组的自然数解的组数
二.环排问题直排策略
如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码, 那么从个不同的元素的中选取个不同的元素排在圆周上不同的位置, 这种排列和直线排列是相同的；如果从个不同的元素的中选取个不同的元素排列在圆周上, 位置没有编号, 元素间的相对位置没有改变, 不计顺逆方向, 这种排列和直线排列是不同的, 这就是环形排列的问题. 一个个元素的环形排列, 相当于一个有个顶点的多边形, 沿相邻两个点的弧线剪断, 再拉直就是形成一个直线排列, 即一个个元素的环形排列对应着个直线排列, 设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个, 则对应的直线排列数为个, 又因为从个元素中取出个元素的排成一排的排列数为个, 所以, 所以.
即从个元素中取出个元素组成的环形排列数为.
个元素的环形排列数为
例2.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于, 坐成圆形没有首尾之分, 所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有种排法, 即 种
练习题: 6颗颜色不同的钻石, 可穿成几种钻石圈 120
三.多排问题直排策略
例3.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置, ２个特殊元素有种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种排法. （排好后, 按前４个为前排, 后４人为后排分成两排即可）
练习题: 有两排座位, 前排11个座位, 后排12个座位, 现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻, 那么不同排法的种数是 346
解: 由于甲乙二人不能相邻, 所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１, １２位置是排甲乙中的一个时,
与它相邻的位置只能排除一个, 而其它位置要排除３个, 所以共有排列
四.排列组合混合问题先选后排策略
例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法, 根据分步计数原理装球的方法共有
练习题: 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
五.小集团问题先整体后局部策略
例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ （注: 两个偶数２, ４在两个奇数１, ５之间, 这是题意, 说这个结构不能被打破, 故３只能排这个结构的外围, 也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）.
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法, 再排小集团内部共有种排法, 由分步计数原理共有种排法.
练习题:
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起, 并且水彩画不在两端, 那么共有陈列方式的种数为
2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种
六.正难则反总体淘汰策略
例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有．再淘汰和小于10的偶数共9种, 符合条件的取法共有
练习题: 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
七.平均分组问题除法策略
例7.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF, 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法．
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。
练习题:
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ （）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级, 现从外地转 入4名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名, 则不同的安排方案种数为______（）
八.合理分类与分步策略
例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解: 10演员中有5人只会唱歌, 2人只会跳舞3人为全能演员. 选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种, 由分类计数原理共有
种.
解含有约束条件的排列组合问题, 可按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到标准明确。分步层次清楚, 不重不漏, 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
本题还有如下分类标准:
以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；
以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果
练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会, 若这4人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有34
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
九.构造模型策略
例9.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或
3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解: 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型, 如占位填空模型, 排队模型, 装盒模型等, 可使问题直观解决
练习题：某排共有10个座位, 若4人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种？（120）
十.实际操作穷举策略
例10.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应, 利用实际操作法, 如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时, 则4,5号球只有1种装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种 .
练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张
别人的贺年卡, 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
则不同的着色方法有 72种
十一.分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除
分析: 先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,
所有的偶因数为:
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)
解: 我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十二.化归策略
例12.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉, 如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种．再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法．从方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,
所以每行必有一人,据此,从每行任了
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成, 其中实线表示马路,
从A走到B的最短路径有多少种？ ()
十三.数字排序问题查字典策略
例13. 由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个
没有重复的比324105大的数？
解:
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计
数原理求出其总数。
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
十四.树图策略
例14. 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
对于条件比较复杂的排列组合问题, 不易用公式进行运算, 树图会收到意想不到的结果
二五.复杂分类问题表格策略
例15. 有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A.B.C.D.E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法
解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.
小结
本节课, 我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固．排列组合历来是学习中的难点, 通过我们平时做的练习题, 不难发现排列组合题的特点是条件隐晦, 不易挖掘, 题目多变, 解法独特, 数字庞大, 难以验证．同学们只有对基本的解题策略熟练掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化, 举一反三, 触类旁通, 进而为后续学习打下坚实的基础．
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