排列组合问题解法总结-3.doc

排列组合问题的常见解法
一.元素相同问题隔板策略
例1.有10个运动员名额, 分给7个班, 每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别, 把它们排成一排. 相邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个位置插个隔板, 可把名额分成７份, 对应地分给７个班级, 每一种插板方法对应一种分法共有
种分法.
注：这和投信问题是不同的, 投信问题的关键是信不同, 邮筒也不同, 而这里的问题是邮筒不同, 但信是相同的．即班级不同, 但名额都是一样的．
练习题:
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？

2.求这个方程组的自然数解的组数
二.环排问题直排策略
如果在圆周上
个不同的位置编上不同的号码, 那么从
个不同的元素的中选取
个不同的元素排在圆周上不同的位置, 这种排列和直线排列是相同的；如果从
个不同的元素的中选取
个不同的元素排列在圆周上, 位置没有编号, 元素间的相对位置没有改变, 不计顺逆方向, 这种排列和直线排列是不同的, 这就是环形排列的问题. 一个
个元素的环形排列, 相当于一个有
个顶点的多边形, 沿相邻两个点的弧线剪断, 再拉直就是形成一个直线排列, 即一个
个元素的环形排列对应着
个直线排列, 设从
个元素中取出
个元素组成的环形排列数为
个, 则对应的直线排列数为
个, 又因为从
个元素中取出
个元素的排成一排的排列数为
个, 所以
, 所以
.
即从
个元素中取出
个元素组成的环形排列数为
.
个元素的环形排列数为
例2.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于, 坐成圆形没有首尾之分, 所以固定一人
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有
种排法, 即
种

练习题: 6颗颜色不同的钻石, 可穿成几种钻石圈 120　
三.多排问题直排策略
例3.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置, ２个特殊元素有
种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有
种,其余的5人在5个位置上任意排列有
种,则共有
种排法. （排好后, 按前４个为前排, 后４人为后排分成两排即可）
练习题: 有两排座位, 前排11个座位, 后排12个座位, 现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻, 那么不同排法的种数是 346
解: 由于甲乙二人不能相邻, 所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１, １２位置是排甲乙中的一个时,
与它相邻的位置只能排除一个, 而其它位置要排除３个, 所以共有排列

四.排列组合混合问题先选后排策略
例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
种方法, 根据分步计数原理装球的方法共有

练习题: 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
五.小集团问题先整体后局部策略
例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ （注: 两个偶数２, ４在两个奇数１, ５之间, 这是题意, 说这个结构不能被打破, 故３只能排这个结构的外围, 也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）.
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
种排法, 再排小集团内部共有
种排法, 由分步计数原理共有
种排法.
练习题:
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起, 并且水彩画不在两端, 那么共有陈列方式的种数为

2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
种
六.正难则反总体淘汰策略
例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
,只含有1个偶数的取法有
,和为偶数的取法共有
．再淘汰和小于10的偶数共9种, 符合条件的取法共有

练习题: 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
七.平均分组问题除法策略
例7.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF, 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
种分法．

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。

练习题:
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ （
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级, 现从外地转 入4名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名, 则不同的安排方案种数为______（
）
八.合理分类与分步策略
例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解: 10演员中有5人只会唱歌, 2人只会跳舞3人为全能演员. 选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
种, 由分类计数原理共有

种.

解含有约束条件的排列组合问题, 可按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到标准明确。分步层次清楚, 不重不漏, 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
本题还有如下分类标准:
以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；
以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果
练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会, 若这4人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有34
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

九.构造模型策略
例9.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或
3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解: 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型, 如占位填空模型, 排队模型, 装盒模型等, 可使问题直观解决
练习题：某排共有10个座位, 若4人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种？（120）
十.实际操作穷举策略
例10.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
种还剩下3球3盒序号不能对应, 利用实际操作法, 如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时, 则4,5号球只有1种装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
种 .
练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张
别人的贺年卡, 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
则不同的着色方法有 72种
十一.分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除
分析: 先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,

所有的偶因数为:

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)
解: 我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十二.化归策略
例12.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉, 如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有
种．再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有
选法．从
方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,
所以每行必有一人,据此,从每行任了

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成, 其中实线表示马路,
从A走到B的最短路径有多少种？ (
)
十三.数字排序问题查字典策略
例13. 由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个
没有重复的比324105大的数？
解:
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计
数原理求出其总数。
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
十四.树图策略
例14.
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题, 不易用公式进行运算, 树图会收到意想不到的结果
二五.复杂分类问题表格策略
例15. 有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A.B.C.D.E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法

解:

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.
小结
本节课, 我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固．排列组合历来是学习中的难点, 通过我们平时做的练习题, 不难发现排列组合题的特点是条件隐晦, 不易挖掘, 题目多变, 解法独特, 数字庞大, 难以验证．同学们只有对基本的解题策略熟练掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化, 举一反三, 触类旁通, 进而为后续学习打下坚实的基础．

第 4 页 共 4 页