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第1章：复数与复变函数
§1 复数
1．复数域
形如的数，称为复数，其中为实数。实数和实数分别称为复数的实部与虚部。记为
，
虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数 和称为互为共轭复数，的共轭复数记为。
设，复数的四则运算定义为
　　加（减）法：
　　乘法：
　　除法：
　　相等： 当且仅当
复数的四则运算满足以下运算律
①加法交换律
②加法结合律
③乘法交换律
④乘法结合律
⑤乘法对加法的分配律
全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用表示，所有复数构成的集合用表示。
例 设，求．
分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解　为求，在分子分母同乘，再利用，得

2．复平面
一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.
　在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：

　　这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.
3． 复数的模与辐角
向量的长度称为复数的模或绝对值，即：

易知：
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4) 点与点的距离为

　实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足

称为复数的辐角，记为：。任一非零复数有穷多个辐角，以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：

复数的幅角不能唯一地确定. 如果是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz.　复数“零”的幅角无定义，其模为零.

例 求 及
解

注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种是指落在之间的主辐角。具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。
用极坐标r,θ代替直角坐标x和y来表示复数z.有

则复数ｚ可表示为：　——三角式
　　利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为：
　　　　　　　　　　　——指数式
叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz.
例 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
；
解：

。
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：

所以有

还可以得出三角不等式

例 求复数的模．
解　令，有

由共轭复数的运算结果得

4．复数的乘幂与方根
对于非零复数，非零复数ｚ的整数次幂为

当r＝１时, 则得棣摩弗公式
由此易知

　非零复数ｚ的整数次根式为
　　　k=0,1,2,…，n-1.
　 对于给定的可以取n个不同的值，它们沿中心在原点，半径为的圆周而等距地分布着.
例 求．
解　，故有

例 设，求．
解　因，故．于是，的四个四次方根为

例 求z3+8=0的所有根.
解: 1) (k=0, 1, 2),
即 , -2, .
例 计算
解

故 　

故
5．共轭复数
复数称为 的共轭复数，记为。称为的模，记为。一个复数的共轭复数为
共轭复数满足

例 求复数（复数）的实部、虚部和模。
解：
所以
，

例 若，试证：
。
解：
然而

即
。
6．复数在几何上的应用举例
(1) 曲线的复数方程(略)
(2) 应用复数证明几何问题(略)。