高中数学复数.doc

第1章：复数与复变函数1 复数1复数域形如的数，称为复数，其中为实数。实数和实数分别称为复数的实部与虚部。记为， 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数 和称为互为共轭复数，的共轭复数记为。设，复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用表示，所有复数构成的集合用表示。例 设，求分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解为求，在分子分母同乘，再利用，得2复平面一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.3 复数的模与辐角向量的长度称为复数的模或绝对值，即：易知：(1) (2) (3) (4) 点与点的距离为 实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：。任一非零复数有穷多个辐角，以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：复数的幅角不能唯一地确定. 如果是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz.复数“零”的幅角无定义，其模为零. 例 求 及 解 注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种是指落在之间的主辐角。具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。用极坐标r,代替直角坐标x和y来表示复数z.有则复数可表示为：三角式利用欧拉公式：，复数可表示为：指数式叫做复数的模，称为复数的幅角，记为rgz. 例 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。；解： 。利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：所以有 还可以得出三角不等式例 求复数的模解令，有由共轭复数的运算结果得4复数的乘幂与方根对于非零复数，非零复数的整数次幂为当r时, 则得棣摩弗公式 由此易知 非零复数的整数次根式为k=0,1,2,，n-1. 对于给定的可以取n个不同的值，它们沿中心在原点，半径为的圆周而等距地分布着.例 求解，故有例 设，求解因，故于是，的四个四次方根为例 求z3+8=0的所有根.解: 1) (k=0, 1, 2), 即 , -2, .例 计算 解故 故 5共轭复数复数称为 的共轭复数，记为。称为的模，记为。一个复数的共轭复数为共轭复数满足例 求复数（复数）的实部、虚部和模。解： 所以 ，例 若，试证：。解： 然而 即 。6复数在几何上的应用举例(1) 曲线的复数方程(略)(2) 应用复数证明几何问题(略)。