高中数学数列知识点总结.doc

<p>数列基础知识点和方法归纳 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和:
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有

，.
（7）项数为奇数的等差数列，有
， &nbsp; &nbsp;，.

2. 等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法 &nbsp; 如：数列，，求
解: 时，，∴ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ①
时， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法 &nbsp; &nbsp; &nbsp;如：数列中，，求
解: ，∴又，∴.
（3）迭加法 &nbsp; &nbsp; &nbsp;由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求 &nbsp; &nbsp; （）
（4）等比型递推公式 &nbsp;(待定系数法)
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 如：，求
由已知得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，∴
(附：公式法、利用、累加法、累乘法、构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法 &nbsp; &nbsp;把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴

［练习］求和：

（2）错位相减法 &nbsp; &nbsp;若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如： &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ①
&nbsp; &nbsp; &nbsp; ②
① —②
&nbsp; &nbsp; &nbsp; 时，，时，
（3）倒序相加法 &nbsp; &nbsp; &nbsp;把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则 &nbsp; &nbsp; &nbsp;
由
∴原式

&nbsp;数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明A&lt;B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
&nbsp; &nbsp; &nbsp; 常用数列不等式证明中的裂项形式:
（1） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ; &nbsp;
(2) &nbsp;

(3)
(4);

(5)

(6)) &nbsp;

(7)

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

5</p>