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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,集合及其运算,实数性质,小结 作业,区间与邻域,第一节 集合与,实数集,第一章 函数,确界与确界原理,1/31,1,1.集合(set)概念与记号,含有某种特定性质事物总体.,组成这个集合事物称为该,集合与实数集,一、集合及其运算,集合,元素,(简称,元,),(集),元素,(element).,集合,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合元素.,不然记,记作,或,2/31,2,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合全部元素一一列出来,例,考查由以下元素,能够用,列举法,将其表示成,列举法有很大不足.,组成集合,外加花括号.,集合与实数集,3/31,3,如:,由不超出,奇数组成集合,其元素有50,亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数,更惯用是列出要求这个集合特定性质,P,方法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前,x,而竖线后,是,M,中元素通用符号,则是,x,所含有性质.,可用,列举法,表示为,根组成集合,也可用,描述法,表示为,例,由方程,集合与实数集,4/31,4,注,对几个,惯用数集,要求记号以下,数集字母,数集内排除0集.,“”,“”,数集内排除0与负数集.,全体,非负整数,即自然数集合,N,即,N,全体,正整数,集合为,N,+,全体,整数,集合记作,Z,即,Z,右上角,标上:,集合与实数集,5/31,5,全体,有理数,集合,即,Q,Z,N,+,全体,实数,集合,R,为排除0实数集,R,+,为,全体,正实数,集.,记作,Q,记作,R,全体,复数,集合记作,C,即,C,R,集合与实数集,6/31,6,两个集合,普通地,如,则,子集,则称,集合,A,与,B,相等,记作,则称,2.集合(set)关系及集合运算,(1)集合关系,子集,(读作,A,包含,于,B,),或,(读作,B,包含,A,).,集合相等,记作,集合与实数集,7/31,7,如,空集.,不含任何元素集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,要求,空集为任何集合子集.,今后在,提到一个集,合时,普通都是,如不加尤其申明,非空集.,集合与实数集,8/31,8,2.集合(set)关系及集合运算,集合基本运算有三种:,并集,交集,差集.,即,记作,设,A,B,是两个集合,由全部属于,A,称为,A,与,B,并集,A,B,A,B,(2)集合运算,于,B,元素,或者属,组成集合,集合与实数集,9/31,9,称为,A,与,B,记作,即,交集,由全部既属于,A,由全部属于,A,称为,A,与,B,差集,记作,即,又属于,B,元素,集合基本运算有三种:,并,交,差.,A,B,A,B,组成集合,而不属于,B,元素,组成集合,两个集并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,集合与实数集,10/31,10,注,研究某个问题时所考虑对象全体,记作,比如,则,余集,或,补集.,A,B,A,B,并用,I,表示,称为,全集,或,基本集,并把差积,尤其称为,A,比如,在,实数集R中,集合,余集,集合与实数集,11/31,11,3.集合(set)运算法则,为任意三个集合,则以下法则成立:,(1),交换律,A,B,=B,A,A,B,=B,A,;,(2),结合律,(,A,B,),C,=A,(,B,C,),(,A,B,),C,=A,(,B,C,);,(3),分配律,(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,),(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,);,(4),对偶律,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,;,集合与实数集,12/31,12,(5),幂等律,A,A,A,A,(6),吸收律,A,=A,=A,;,=A,A,=,4.直积(乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年),设,A,B,是两个集合,则称,为,A,B,直积.,如,又如,即为,xOy,面上,全体点,集合,常记作,即,集合与实数集,13/31,13,5.逻辑符号,在逻辑推理过程中最惯用两个逻辑记号,“”,表示,“任取”,或“任意给定”.,“”,表示,“存在”,“最少存在一个”,或“能够找到”.,如,实数阿基米德(Archmed)公理是这么叙述:,任意给定两个正实数,a,b,都存在一个,自然数,n,用逻辑符号,将,阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(全部)字头A倒写,Exist(存在)字头E倒写,练习,集合与实数集,14/31,14,符号,“”,表示,“蕴含”,或“推出”.,符号,“”,表示,“等价”,或“充分必要”.,集合与实数集,15/31,15,二、实数性质,实数性质:,1.实数对加减乘除运算是封闭;,2.实数是有序;,3.实数含有稠密性;,4.实数与数轴上点一一对应.,集合与实数集,16/31,16,惯用不等式.,(1).绝对值(absolute value)不等式,运算性质,绝对值不等式,集合与实数集,17/31,17,(2).伯努利(Bernoulli)不等式,(3).平均值不等式,用数学归纳法可证上面两个不等式.,集合与实数集,18/31,18,三、区间与邻域,称为,称为,开区间,闭区间,1.区间,集合与实数集,19/31,19,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数集合,R,也可记作,是无限区间.,集合与实数集,20/31,20,区间长度定义,两端点间距离(线段长度),称为区间,今后在不需要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”,惯用,I,表示.,长度.,无限区间场所,注,端点、,简单地,集合与实数集,21/31,21,2.邻域(neighbourhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,集合与实数集,22/31,22,有时简记为,去心(空心),即,两个闭区间直积表示,xOy,平面上矩形,区域.,如,即为,xOy,平面上矩形区域,这个区域在,x,轴与,y,轴上投影分别为闭区间,和闭区间,集合与实数集,23/31,23,四、确界与确界原理,对于有限数集,一定有最大值和最小值.,如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.,如,没有最大值和最小值.,Maximum minimum,集合与实数集,24/31,24,定义1:,设E为一非空数集,假如存在数M,使得对,则称M是E一个上界,下界,若数集E现有上界又有下界,则称E为有界数集,不然就称为无界数集.,思索:,1.若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界是否唯一?,2.是否任何一个数集都有上(或下)界?,集合与实数集,25/31,25,结论:,任何一个有限区间都是有界数集,任何一个无限区间都是无界数集.,定义2(确界).,设E为一非空数集,若数,是E一个上 界,且对E任意一个上 界,上确界(最小上界).,记作,(下),(下),下确界(最大下界).,Supermum infimum,集合与实数集,26/31,26,例 设,求其上(下)确界.,思索:,一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?,集合与实数集,27/31,27,定理1(确界原理),一个非空有上(下)界数集必存在上(下)确界.,由实数理论可证.,定理2,(1)设E是有上界非空数集,则,(2)设E是有下界非空数集,则,利用反证法.,集合与实数集,实数完备性或连续性,28/31,28,定理3,若数集E包含了它一个上界,则,例 设,求其上(下)确界.,集合与实数集,29/31,29,五、小结,集合,集合概念,集合运算,实数性质,确界与确界原理,区间,邻域,集合与实数集,30/31,30,作业 习题1.1 P7-8,(A)4.(8)7.10.(1)(3),(B)7.(1)9.10.,集合与实数集,31/31,31,
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