集合与实数集市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,集合及其运算,实数性质,小结 作业,区间与邻域,第一节 集合与,实数集,第一章 函数,确界与确界原理,1/31,1,1.集合(set)概念与记号,含有某种特定性质事物总体.,组成这个集合事物称为该,集合与实数集,一、集合及其运算,集合,元素,(简称,元,),(集),元素,(element).,集合,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合元素不然记,记作,或,2/31,2,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合全部元素一一列出来,例,考查由以下元素,能够用,列举法,将其表示成,列举法有很大不足.,组成集合,外加花括号.,集合与实数集,3/31,3,如:,由不超出,奇数组成集合,其元素有50,亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数,更惯用是列出要求这个集合特定性质,P,方法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前,x,而竖线后,是,M,中元素通用符号,则是,x,所含有性质.,可用,列举法,表示为,根组成集合,也可用,描述法,表示为,例,由方程,集合与实数集,4/31,4,注,对几个,惯用数集,要求记号以下,数集字母,数集内排除0集.,“”,“”,数集内排除0与负数集.,全体,非负整数,即自然数集合,N,即,N,全体,正整数,集合为,N,+,全体,整数,集合记作,Z,即,Z,右上角,标上:,集合与实数集,5/31,5,全体,有理数,集合,即,Q,Z,N,+,全体,实数,集合,R,为排除0实数集,R,+,为,全体,正实数,集.,记作,Q,记作,R,全体,复数,集合记作,C,即,C,R,集合与实数集,6/31,6,两个集合,普通地,如,则,子集,则称,集合,A,与,B,相等,记作,则称,2.集合(set)关系及集合运算,(1)集合关系,子集,(读作,A,包含,于,B,),或,(读作,B,包含,A,).,集合相等,记作,集合与实数集,7/31,7,如,空集.,不含任何元素集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,要求,空集为任何集合子集.,今后在,提到一个集,合时,普通都是,如不加尤其申明,非空集.,集合与实数集,8/31,8,2.集合(set)关系及集合运算,集合基本运算有三种:,并集,交集,差集.,即,记作,设,A,B,是两个集合,由全部属于,A,称为,A,与,B,并集,A,B,A,B,(2)集合运算,于,B,元素,或者属,组成集合,集合与实数集,9/31,9,称为,A,与,B,记作,即,交集,由全部既属于,A,由全部属于,A,称为,A,与,B,差集,记作,即,又属于,B,元素,集合基本运算有三种:,并,交,差.,A,B,A,B,组成集合,而不属于,B,元素,组成集合,两个集并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,集合与实数集,10/31,10,注,研究某个问题时所考虑对象全体,记作,比如,则,余集,或,补集.,A,B,A,B,并用,I,表示,称为,全集,或,基本集,并把差积,尤其称为,A,比如,在,实数集R中,集合,余集,集合与实数集,11/31,11,3.集合(set)运算法则,为任意三个集合,则以下法则成立:,(1),交换律,A,B,=B,A,A,B,=B,A,;,(2),结合律,(,A,B,),C,=A,(,B,C,),(,A,B,),C,=A,(,B,C,);,(3),分配律,(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,),(,A,B,),C,=,(,A,C,)(,B,C,);,(4),对偶律,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,(,A,B,),C,=,A,C,B,C,;,集合与实数集,12/31,12,(5),幂等律,A,A,A,A,(6),吸收律,A,=A,=A,;,=A,A,=,4.直积(乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年),设,A,B,是两个集合,则称为,A,B,直积.,如,又如,即为,xOy,面上,全体点,集合,常记作,即,集合与实数集,13/31,13,5.逻辑符号,在逻辑推理过程中最惯用两个逻辑记号,“”,表示,“任取”,或“任意给定”.,“”,表示,“存在”,“最少存在一个”,或“能够找到”.,如,实数阿基米德(Archmed)公理是这么叙述:,任意给定两个正实数,a,b,都存在一个,自然数,n,用逻辑符号,将,阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(全部)字头A倒写,Exist(存在)字头E倒写,练习,集合与实数集,14/31,14,符号,“”,表示,“蕴含”,或“推出”.,符号,“”,表示,“等价”,或“充分必要”.,集合与实数集,15/31,15,二、实数性质,实数性质:,1.实数对加减乘除运算是封闭;,2.实数是有序;,3.实数含有稠密性;,4.实数与数轴上点一一对应.,集合与实数集,16/31,16,惯用不等式.,(1).绝对值(absolute value)不等式,运算性质,绝对值不等式,集合与实数集,17/31,17,(2).伯努利(Bernoulli)不等式,(3).平均值不等式,用数学归纳法可证上面两个不等式.,集合与实数集,18/31,18,三、区间与邻域,称为,称为,开区间,闭区间,1.区间,集合与实数集,19/31,19,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数集合,R,也可记作是无限区间.,集合与实数集,20/31,20,区间长度定义,两端点间距离(线段长度),称为区间,今后在不需要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”,惯用,I,表示.,长度.,无限区间场所,注,端点、,简单地,集合与实数集,21/31,21,2.邻域(neighbourhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,集合与实数集,22/31,22,有时简记为,去心(空心),即,两个闭区间直积表示,xOy,平面上矩形,区域.,如,即为,xOy,平面上矩形区域,这个区域在,x,轴与,y,轴上投影分别为闭区间,和闭区间,集合与实数集,23/31,23,四、确界与确界原理,对于有限数集,一定有最大值和最小值.,如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.,如,没有最大值和最小值.,Maximum minimum,集合与实数集,24/31,24,定义1:,设E为一非空数集,假如存在数M,使得对,则称M是E一个上界,下界,若数集E现有上界又有下界,则称E为有界数集,不然就称为无界数集.,思索:,1.若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界是否唯一?,2.是否任何一个数集都有上(或下)界?,集合与实数集,25/31,25,结论:,任何一个有限区间都是有界数集,任何一个无限区间都是无界数集.,定义2(确界).,设E为一非空数集,若数,是E一个上 界,且对E任意一个上 界,上确界(最小上界)记作,(下),(下),下确界(最大下界).,Supermum infimum,集合与实数集,26/31,26,例 设,求其上(下)确界.,思索:,一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?,集合与实数集,27/31,27,定理1(确界原理),一个非空有上(下)界数集必存在上(下)确界.,由实数理论可证.,定理2,(1)设E是有上界非空数集,则,(2)设E是有下界非空数集,则,利用反证法.,集合与实数集,实数完备性或连续性,28/31,28,定理3,若数集E包含了它一个上界,则,例 设,求其上(下)确界.,集合与实数集,29/31,29,五、小结,集合,集合概念,集合运算,实数性质,确界与确界原理,区间,邻域,集合与实数集,30/31,30,作业 习题1.1 P7-8,(A)4.(8)7.10.(1)(3),(B)7.(1)9.10.,集合与实数集,31/31,31,