2025年广东省广雅中学数学高二下期末达标测试试题含解析.doc

2025年广东省广雅中学数学高二下期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2． “读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。某小学四年级以上在开学初开展“整本书阅读活动”，其中四年班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学(四名同学编号为)了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复:
说:“比背的少”;
说:“比背的多”;
说:“我比背的多";
说:“比背的多”.
经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（ ）
A． B． C． D．
3．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．,若,则的值等于（）
A．B．C．D．
5．函数的定义域是R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
6．已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：

甲
乙
丙
丁

0.82
0.78
0.69
0.85

106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知为虚数单位，则复数= （）
A． B． C． D．
9．已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为
A． B． C． D．
10．正方体中，直线与平面所成角正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
12．组合数恒等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合，，，
（1）的取值范围是 ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．
14．数列{an}满足，若{an}单调递增，则首项a1的范围是_____．
15．观察以下各等式：
，
，
，
分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．
16．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱互相垂直的概率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的左焦点左顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ） 已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.
18．（12分）已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
19．（12分）如图，三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C=4，D为BC的中点

（I）求证：AC⊥平面AB；
（II）求证：C∥平面AD；
（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
20．（12分）已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值．
21．（12分）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）已知当时恒成立，求的最大值．
22．（10分）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用导数求出，由可求出的值．
【详解】
，，
由题意可得，因此，，故选D．
本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．
2、A
【解析】
分别假设四位同学是说正确的人，排除矛盾情况，推理得到答案
【详解】
假设1正确，其他都错误，则1最少，比背的少，比背的少，3比4少，3比2少
顺序为：4231
假设2正确，其他错误，则2最少，根据1知：2比4多，矛盾，排除
假设3正确，其他错误，则3最少，根据2知：1比3少，矛盾，排除
假设4正确，其他错误，则4最少，根据3知：3比4少，矛盾，排除
故答案选A
本题考查了逻辑推理，依次假设正确的人，根据矛盾排除选项是解题的关键.
3、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选B．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．
4、D
【解析】
试题分析：
考点：函数求导数
5、A
【解析】
结合已知条件分析,需要构造函数,通过条件可得到,在R上为增函数,利用单调性比较,即可得出答案．
【详解】
∵任意的,都有,即,
又要解,
∴设则
∴在R上为增函数
,
而,
即,
.
故选：A.
本题考查函数单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,难度一般.
6、D
【解析】
直接使用基本不等式，可以求出的最大值.
【详解】
因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.
7、D
【解析】
试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强．
考点：线性相关关系的判断．
8、A
【解析】
根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由复数的运算，可得复数，故选A.
本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．
【详解】
∵函数
＝sin2ωx﹣2•1＝sin2ωxcos2ωx+1
＝2sin（2ωx）+1 在区间（π，2π）内没有极值点，
∴2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z．
解得 kω，或kω，
令k＝0，可得ω∈
故选D．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的极值点，属于中档题．
10、C
【解析】
作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案.
【详解】
如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C.

本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.
11、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
12、D
【解析】
根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案.
【详解】
．
，
可知
故选：D．
本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）（2）
【解析】
由图象可得

由图象得

14、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解析】
先表示出，结合{an}单调递增可求首项a1的范围.
【详解】
因为，所以，
解得或，则有或
由于，所以或
解得或，
故答案为：.
本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
15、
【解析】
由题意得，，与相差了，另外根据所给三个式子的特点可得一般规律为．
答案：
16、
【解析】
从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
分析：（Ⅰ）根据条件依次求得，和，从而可得方程；
（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方程为y-9=-k（x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值.
详解：（Ⅰ）由题意可得，，由，得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）当时，，的斜率之和为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，的方程为.
联立消得
.
所以
同理
所以，.
所以.
所以的斜率为定值
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
18、
【解析】
根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可．
【详解】
若命题p为真，因为函数f(x)的图象的对称轴为x＝m，则m≤2；若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4>0，显然不成立．
当m≠0时，则有解得1<m<4.
由题意知，命题p，q一真一假，
故或解得m≤1或2<m<4.
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
19、（Ⅰ）见解析（II）见解析（III）
【解析】
（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，从而A⊥AC，再结合已知可证得线面垂直；
（II）连接，与A相交于点O，连接DO，可证DO∥，从而证得线面平行；
（III）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面和平面的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值．
【详解】
（I）∵C⊥平面ABC，A∥C
∴A⊥平面ABC，
∴A⊥AC
又AC⊥AB，AB∩A=A
∴AC⊥平面AB·
（II）连接，与A相交于点O，连接DO
∵D是BC中点，O是中点，
则DO∥，
平面AD，DO平面AD
∴平面AD
（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB
如图建立空间直角坐标系A-xyz·

则A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）
设平面AD的法向量为=（x,y,z），则
，即
取y=1，得=（-2，1，2）
平面AC的法向量为=（2，0，0）
Cos<,>==-·
则平面AD与平面AC所成锐二面角的余弦值为
本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角．立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解．
20、（1）极小值为，极大值为；（2）或
【解析】
(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为，再根据求得，再求b的值.
【详解】
(1)因为
令=0，得，解得=或=1．

1

-
0
+
0
-

↘
极小值
↗
极大值
↘
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
极小值为，极大值为．
（2）因为 ，
直线是的切线，设切点为，
则，解得，
当时，，代入直线方程得，
当时，，代入直线方程得．
所以或 .
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.
21、（1）；（2）．
【解析】
求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b的值；
由求导数可得单调性、最值，可知，由题意可得恒成立，即可得到ab的最大值．
【详解】
（1）因为，
所以
解得．
（2）当时，函数的定义域为
．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数．
所以．
由题意，知恒成立，即恒成立．
于是在时恒成立．
记，
则．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数．
所以的最大值为．
所以当时，取得最大值．
本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、最值，利用导数研究恒成立问题，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于难题．
22、（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【解析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.