上海市上海师大附中2025年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析.doc

上海市上海师大附中2025年数学高二第二学期期末复习检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若的展开式中含有项的系数为8，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．集合，那么（ ）
A． B． C． D．
3．已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为()
A． B． C． D．
4．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆必过一个定点，该定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知全集，则
A． B． C． D．
7．某校1000名学生中, 型血有400人, 型血有250人, 型血有250人, 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（ ）
A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,6
8．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为

A．1， B． C． D．
9．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复平面内的圆：，若为纯虚数，则与复数对应的点（ ）
A．必在圆外 B．必在上 C．必在圆内 D．不能确定
11．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有
A．6 个 B．8个 C．10个 D．12个
12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．48种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．
14．下表提出了某厂节能耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产耗能（吨）的几组相对数据．

根据上表提供的数据，求出关于的线性回归直线方程，那么表中__________．
15．若实数满足条件，则的最大值为_________．
16．已知下列命题：
①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；
②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为16；
③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
④若命题：，则：
其中为真命题的是__________（填序号）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值.
18．（12分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.
环比增长率（本期数上期数）上期数，
同比增长率（本期数同期数）同期数.
下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：
序号

时间
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
消费者信心指数

2017年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月

求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；
除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？
由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）
19．（12分）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
20．（12分）从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束
(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；
(2)记实验次数为X，求X的分布列及数学期望．
21．（12分）某仪器配件质量采用值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件值茎叶图.

经计算得，，，，其中分别为甲，乙两生产线抽取的第个配件的值.
（1）若规定的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；
（2）若规定时，配件质量等级为优等，否则为不优等，试完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？

产品质量等级优等
产品质量等级不优等
合计
甲生产线

乙生产线

合计

附：

0.10
0.05
0.01
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

22．（10分）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
展开式中含有项的系数 , ,故选A.
2、D
【解析】
把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．
【详解】
把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，
则A∪B={x|-2＜x＜3}故选A．
本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．
3、A
【解析】
根据判断出为等边三角形的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.
【详解】
由于三棱锥是正三棱锥，顶点在底面的射影是底面中心.由可知，为等边三角形的中心，由于正三棱锥的外接球的半径为，故由正弦定理得，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥的体积为.所以本小题选A.
本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.
4、B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
5、A
【解析】
直线为的准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点.
【详解】
由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点，故选A.
本题考查抛物线的定义，属于基础题.
6、C
【解析】
根据补集定义直接求得结果.
【详解】
由补集定义得：
本题正确选项：
本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.
7、A
【解析】
根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.
【详解】
根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，
型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，
型血的人要抽取的人数为，故答案为A.
本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可
【详解】

图中阴影部分表示的集合为
故选
本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合的限制条件．
9、B
【解析】
利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.
【详解】
把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；
当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.
本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.
10、A
【解析】
设复数,再利用为纯虚数求出对应的点的轨迹方程,再与圆：比较即可.
【详解】
由题,复平面内圆：对应的圆是以为圆心,1为半径的圆.
若为纯虚数,则设,则因为为纯虚数,可设,.故
故 ,因为,故.当有.当时,两式相除有
,化简得.
故复数对应的点的轨迹是.
则所有的点都在为圆心,1为半径的圆外.
故选：A
本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.
11、B
【解析】
分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；
然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．
最后，求得0与2不相邻的四位数
详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．
其中数字0，2相邻的四位数有：
则0与2不相邻的四位数有。
故选B
点睛：本题考查排列数的求法，考查乘法原理、排列、捆绑法，间接法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
12、C
【解析】
试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.
考点：排列组合.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：用相关点法求解，设直线上的点为 直线上的点为，所以，，代入直线的方程
详解：设直线上的点为 直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为
。
点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
14、
【解析】
试题分析：由题意可知，
因为回归直线方程，经过样本中心，
所以=1．7×2．5+1．35，解得t=3
考点：线性回归方程
15、1
【解析】
作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可．
【详解】
作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：
由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大．
解方程组 得A（1，2）．
∴z的最大值为=1．
故答案为：1．
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
16、①③
【解析】
逐一分析所给的各个说法：
①∵a，b，c∈R，
∴“ac2>bc2”⇒“a>b”，
反之，当时，由不成立。
若，则“”是“”成立的充分不必要条件；
故①正确；
②若椭圆的两个焦点为F1,F2,且弦AB过点F1，
则△ABF2的周长为4a=20，故②不正确；
③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，
则p是假命题，所以命题q一定是真命题，故③正确；
④若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1⩾0，故④错误。
故答案为：①③。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大
【解析】
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，
f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
18、；个；；.
【解析】
根据所给数据求出同比增长率即可；由本期数上期数，结合图表找出结果即可；
根据所给数据求出相关系数，求出回归方程，代入的值，求出的预报值即可.
【详解】
解：该地区年月份消费者信心指数的同比增长率为；
由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共个月的环比增长率为负数.
由已知计算得：，，
线性回归方程为.
当时，，即预测该地区年月份消费者信心指数约为.
本题考查回归方程问题，考查转化思想，属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.
于是，.
.
由得，.
所以的斜率为或.
20、（1）；（2）的分布列为

1

2

3

4

【解析】
（I）
（II）；；
；；
X的分布列为
X

1

2

3

4

P

点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题．
21、（1）甲生产线可以通过验收，乙生产线不能通过验收；（2）不能.
【解析】
（1）甲生产线的不合格率为，小于，故甲生产线可以通过验收．乙生产线的不合格率约为，大于，故乙生产线不能通过验收；（2）根据提供的数据得到列联表；计算出，根据临界值表可得答案．
【详解】
（1）由参考数据得，
故甲生产线抽取的30个配件中，不合格的有1个
利用样本估计总体，甲生产线的不合格率估计为，小于
由参考数据得，
故乙生产线抽取的30个配件中，不合格的有2个
利用样本估计总体，乙生产线的不合格率估计为，大于
所以甲生产线可以通过验收，乙生产线不能通过验收.
（2）由参考数据得，，；，.
统计两条生产线检测的60个数据，得到列联表.

产品质量等级优等
产品质量等级不优等
小计
甲生产线
28
2
30
乙生产线
24
6
30
小计
52
8
60

所以，不能在犯错概率不超过0.1的前提下认为配件质量等级与生产线有关.
本题考查了概率的计算和独立性检验，考查计算能力，属中档题．
22、（1）（2）
【解析】
（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为或或求解.
（2）由（1）函数的最小值为2，得到，再由柯西不等式求的最小值.
【详解】
（1）原不等式等价于：
或或，
解得或，
所以不等式的解集是.
（2）由（1）函数的最小值为2，
所以，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，取等号.
所以的最小值是 .
本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.