山东省济南外国语学校三箭分校2025年数学高二下期末综合测试模拟试题含解析.doc

山东省济南外国语学校三箭分校2025年数学高二下期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)(　　)
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
5．函数则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
6．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为
A． B． C． D．
7．已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
11．下列函数中,既是偶函数又在单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线（t为参数）与圆相交于B、C两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______.
14．已知地球半径为，地球上两个城市、，城市位于东经30°北纬45°，城市位于西经60°北纬45°，则城市、之间的球面距离为________
15．某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．

16．已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
18．（12分）某部门为了解人们对“延迟退休年龄政策”的支持度，随机调查了人，其中男性人.调查发现持不支持态度的有人，其中男性占.分析这个持不支持态度的样本的年龄和性别结构，绘制等高条形图如图所示.

（1）在持不支持态度的人中，周岁及以上的男女比例是多少？
（2）调查数据显示，个持支持态度的人中有人年龄在周岁以下.填写下面的列联表，问能否有的把握认为年龄是否在周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.

参考公式及数据：，．

19．（12分）在平面直角坐标系中，射线 的倾斜角为 ，且斜率.曲线 的参数方程为 为参数）；在以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 .
(1)分别求出曲线和射线的极坐标方程；
(2)若与曲线，交点(不同于原点)分别为A,B，求|OA||OB|的取值范围.
20．（12分）如图，在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心.

（1）求正三棱锥的体积；
（2）求证：.
21．（12分）已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
22．（10分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知，，金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.

（1）求m，n值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？

高消费群
非高消费群
合计
男

女
10

50
合计

附：，其中

0.10
0.05
0.010
0.005
K0
2.706
3.841
6.635
7.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
这里将“乙”看做特殊元素，考虑“乙”的位置，再考虑甲的位置，运用分类加法去计算.
【详解】
根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：种，若“乙”安排在第三棒，此时有：种，则一共有：种.
故选：B.
（1）排列组合中，遵循特殊元素优先排列的原则；
（2）两个常用的计数原理：分类加法和分步乘法原理.
2、D
【解析】
因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝ (lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.
点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
3、B
【解析】
恒成立等价于恒成立，令，
则问题转化为，对函数求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。
【详解】
恒成立等价于恒成立，令，
则问题转化为，
，令，
则，所以当时，
所以在单调递减且，
所以在上单调递增，在上的单调递减，
当时，函数取得最大值，，
所以
故选B
本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数，属于一般题。
4、A
【解析】
先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.
【详解】
一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件，，
由题意知，，相互独立，
且，，
所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为.
故选A.
本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.
5、A
【解析】
通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．
【详解】
函数的零点
即方程和的根，
函数的图象如图所示：

由图可得方程和共有个根，
即函数有个零点,
故选：A.
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
6、A
【解析】
根据已知求出b的值，再求三角形的面积.
【详解】
在中，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或.
∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.
∴的面积为.
故选A.
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、A
【解析】
由题意得“对,，使成立”等价于“”．
∵，当且仅当时等号成立．
∴．
在中，由，解得．
令，
则
，（其中）．
∴．
由，解得，
又，故，
∴实数的取值范围是．选A．
点睛：
（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．
（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．
8、C
【解析】
分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.
详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，
由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，
2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，
下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.
故选：C.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.
9、B
【解析】
根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可
【详解】
对于A，为奇函数，在区间为单调增函数，不满足题意；
对于B, 为偶函数，在区间上为单调递减的函数，故B满足题意；
对于C,为偶函数，在区间上为周期函数，故C不满足题意；
对于D, 为偶函数，在区间为单调增函数，故D不满足题意；
故答案选B
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.
10、C
【解析】
由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
考点：圆的方程．
11、B
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B选项，函数为偶函数，当时，为增函数，故B选项正确.对于C选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D选项，在上有增有减.综上所述，本小题选B.
本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题.
12、B
【解析】
根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．
【详解】
曲线（为参数），化为普通方程，
将代入，可得，
∴，故选B．
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、24
【解析】
观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n的值.
【详解】
解：观察所给式子的规律可得：
，，，
故可得：.
故答案为：24.
本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.
14、
【解析】
欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可.A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离.即可得到答案.
【详解】
由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为，
又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，
故连接两座城市的弦长，
则A，B两地与地球球心O连线的夹角，
则A、B两地之间的距离是.
故答案为：.
本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题.
15、
【解析】
由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差．
【详解】
解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：
83，84，85，86，87，
所剩数据的平均数为：
，
所剩数据的方差为：
．
故答案为1．
本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16、
【解析】
分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.
详解：由，得函数关于对称，
当时，，即在上单调递减，
不妨设，
则不等式等价为，
即，
即，
得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)，.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
分析：（1）代入参数值，对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性即可；（2）直接对函数求导，因式分解，讨论s的范围，进而得到单调区间.
详解：
（Ⅰ），
，
.

极大值

极小值

，.
（Ⅱ），
.

.

.
点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究，研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）先求出周岁及以上的男性和女性的人数，再将男性和女性人数相比可得出答案；
（2）先列出列联表，并计算出的观测值，根据临界值表找出犯错误的概率，即可对题中结论判断正误．
【详解】
（1）由已知可得持不支持态度的人中有男性人，
由等高条形图可知这个男性中年龄在周岁及以上的有人；
持不支持态度的人中有女性人，
由等高条形图可知这个女性中年龄在周岁及以上的有人；
故所求在持不支持态度的人中，周岁及以上的男女比例是.
（2）由已知可得以下列联表：

周岁以下
周岁及以上
总计
不支持

支持

总计

计算得的观测值，
所以有的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.
本题考查独立性检验，意在考查学生对独立性检验概率的理解和掌握情况，属于基础题．
19、（1） （2）
【解析】
试题分析：
(1)结合题中所给的方程的形式整理可得曲线和射线的极坐标方程分别是：.
(2)联立的方程，结合题意可求得|OA||OB|的取值范围是(.
试题解析：
(1)的极坐标方程为，
的极坐标方程为，
(2)联立，得
联立， 得
∴
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）连接，根据题意得到底面，，求出，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；
（2）取的中点为，连接，，得到，，根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可得出结果.
【详解】
（1）连接，
因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心，
所以底面，，
因此；
所以正三棱锥的体积；
（2）取的中点为，连接，，
因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面；
又平面，
因此.

本题主要考查求三棱锥的体积，以及证明线线垂直，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）先计算，再分别取时两个等式相减得到，计算得到.
（2）先计算，，利用裂项求和得到答案.
【详解】
（1），
当时，
.
当时，也成立.
,
.
（2），
，

.
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用及计算能力.
22、（1），（2）没有90%的把握
【解析】
分析：（1）由题意知 且，得，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；
（2）由题知数据完善2×2列联表，计算，查表下结论即可.
详解：（1）由题意知 且
解得
所求平均数为：
(元)
（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：

高消费群
非高消费群
合计
男
15
35
50
女
10
40
50
合计
25
75
100
根据上表数据代入公式可得
所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.