江西省临川第二中学2024-2025学年数学高二第二学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

江西省临川第二中学2024-2025学年数学高二第二学期期末复习检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为1的正中， ， 是边的两个三等分点（靠近于点），等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列不等式中正确的有( )
①；②；③
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
3．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)
A．24 B．48
C．72 D．120
4．设 则=（ ）
A． B． C． D．
5．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
6．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种
A．27 B．81 C．54 D．108
7．已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
8．已知函数的导函数为，则（ ）
A． B． C． D．
9．若复数是虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
10．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率等于（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知椭圆的左焦点为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线与圆交于两点，则________．
14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_____.
15．某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有种不同参加方案（用数字作答）.
16．已知满足约束条件，则的最大值为__
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.
18．（12分）设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
19．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
20．（12分）若正数满足，求的最小值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，圆为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．
分别求圆的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
设直线交曲线于两点，曲线于两点，求的长；
为曲线上任意一点，求的取值范围．
22．（10分）已知函数，且在和处取得极值.
（I）求函数的解析式.
（II）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：如图，

，是边的两个三等分点，
故选C.
考点：平面向量数量积的运算
2、B
【解析】
逐一对每个选项进行判断,得到答案.
【详解】
①,设函数,递减,,即,正确
②,设函数,在递增,在递减, ,即,正确
③,由②知,设函数,在递减,在递增,,即正确
答案为B
本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.
3、C
【解析】
根据题意,分2种情况讨论: ①不参加任何竞赛,此时只需要将四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②参加竞赛,依次分析与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论.
【详解】
参加时参赛方案有 (种)，
不参加时参赛方案有 (种)，
所以不同的参赛方案共72种，故选C.
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
4、D
【解析】
分析：先根据复数除法法则求，再根据共轭复数定义得
详解：因为所以
选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
5、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
6、B
【解析】
以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.
【详解】
甲在五楼有种情况，
甲不在五楼且不在二楼有种情况，
由分类加法计数原理知共有种不同的情况，
故选B.
该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.
7、D
【解析】
试题分析：由，可得，由，可得，解得.因为为假命题，所以与都是假命题，若是假命题，则有，若是假命题，则由或，所以符合条件的实数的取值范围为，故选D.
考点：命题真假的判定及应用.
8、D
【解析】
求导数，将代入导函数解得
【详解】

将代入导函数

故答案选D
本题考查了导数的计算，把握函数里面是一个常数是解题的关键.
9、D
【解析】
根据复数除法运算法则可化简复数得，由共轭复数定义可得结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.
10、A
【解析】
解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30
至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=
11、B
【解析】
先对函数求导，根据题意，得到，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又函数在处取得极小值，
所以，所以，
因此，
由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
所以；
故选B
本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.
12、B
【解析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF为直角三角形．
OF=5，即c=5.
由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，,
【考点定位】
本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.
【详解】
根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
14、
【解析】
分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得的最大值.
详解：采用三局两胜制，
则甲在下列两种情况下获胜： （甲净胜二局）， （前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
因为 与 互斥，所以甲胜概率为 则 设
即答案为.，注意到，则函数在和 单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极大值，也是最大值，最大值为
即答案为.
点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
15、42
【解析】
试题分析：若恰有1个社团没人选，则问题转化为4人选2个社团，且每人只选择一个社团，可转化为分组与分配问题，即。
考点：排列组合的综合应用。
16、
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件 作出可行域，如图所示，
化目标函数为，
由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
所以有最大值为．
故答案为1．

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）2
【解析】
分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.
详解：（1）解：∵
∴
∴当即时，对恒成立
此时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当，即时，由，得，由，得
此时，的单调递减区间为，单调递增区间为
综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由，得：
当时，上式等价于
令
据题意，存在，使成立，则只需，
令，显然在上单调递增
而，
∴存在，使，即
又当时，，单调递减，当时，，单调递增
∴当时，有极小值（也是最小值）
∴
∵ ，即，∴，∴
又，且， ∴的最小值为2.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】
（1）为奇函数
又
当时，是奇函数，满足题意

（2），
又
；

本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.
19、（1）；（2）
【解析】
分析：（1）根据，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.
详解：设数列的公比为.由=得，所以.
由条件可知，故.由得，所以.
故数列的通项公式为
(2)

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
20、
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，所以
试题解析：因为均为正数，且，
所以．
于是由均值不等式可知
，
当且仅当时，上式等号成立．
从而．
故的最小值为．此时．
考点：柯西不等式
21、（1），；（2）；（3）.
【解析】
消去参数得到普通方程，利用这个是可得到的直角坐标，直接利用转换关系对极坐标方程进行转换可得到曲线的极坐标方程；利用方程组和两点间的距离公式分别求出,相减求出结果．利用向量的数量积和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质可求出结果．
【详解】
圆为参数，
转换为直角坐标方程为：，
，利用
转换为极坐标方程为：，即．
曲线的极坐标方程为，
转化为，
利用整理得：．
直线l的极坐标方程为．
转换为直角坐标方程为：，
由于直线交曲线于两点，
则：，
解得：或，
所以：，
同理：直线交曲线于两点，
则：，
解得：或．
所以：，
所以：．
由于，
则，
P为曲线上任意一点，，
则：，
所以，
的范围是.
本题考查的知识要点：参数方程化为直角坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转换，平面向量的数量积公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换及辅助角公式与角函数的有界性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
22、 (1)
（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.
【解析】
试题分析：解：（1），
因为在和处取得极值，
所以和是＝0的两个根，
则解得经检验符合已知条件
故
（2）由题意知，
令得，或，
随着变化情况如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

递减

极小值

递增

极大值

递减

由上表可知：极大值＝，
又取足够大的正数时，；
取足够小的负数时，，
因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，
得：，
∴或，
即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.
考点：导数的运用
点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题．