2024-2025学年广西梧州市蒙山县第一中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年广西梧州市蒙山县第一中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ）
A．68 B．67 C．65 D．64
2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）
A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则
B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则
C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为
D．若，则复数.类比推理：“若，则”
4．已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是（ ）

A． B． C． D．
5．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B． C． D．
10．已知复数，则下列结论正确的是
A．的虚部为i B．
C．为纯虚数 D．
11．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）
A．68度 B．52度 C．12度 D．28度
12．设，则的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小值是___．
14．已知函数，则在处的切线方程为_______________.
15．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
16．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；
(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．
(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
18．（12分）已知复数，(其中是虚数单位).
(1)当为实数时，求实数的值；
(2)当时，求的取值范围.
19．（12分）已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的：，存在零点，求的取值范围.
20．（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：

选考方案确定情况
化学
生物
政治
地理
物理
选考方案确定的有18人
16
11
5
4
选考方案待确定的有14人
5
5
0
0
历史
选考方案确定的有12人
3
5
4
12
选考方案待确定的有6人
0
0
3
2
（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？
（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望.
（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）
21．（12分）已知，，求；
；
；
设，求和：.
22．（10分）甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.
(1)求的概率；
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据回归直线方程过样本中心点，计算出并代入回归直线方程，求得的值，然后将代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.
【详解】
解：，，
，
线性回归方程为：，
当时，，
当气温为时，用电量度数为68，
故选A．
本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题.
2、C
【解析】
根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．
【详解】
A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；
B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；
C． 在其定义域上既是奇函数又是增函数；
D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，
故选C．
本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．
3、D
【解析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案
【详解】
对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误
对于，若，则若，则不正确，故错误
对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误
对于，在有理数中，由可得，，解得
，故正确
综上所述，故选
本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．
4、B
【解析】
分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.
详解：因为当时，，所以当时，，
所以的单调减区间是，
选B.
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.
5、B
【解析】
分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案.
详解：如图：

要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，
硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，
由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为.
故选B.
点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.
6、A
【解析】
直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点只有一个，
故函数在内极小值点的个数是1.
故选：A
本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.
7、A
【解析】
∵当时，不等式恒成立
∴当时，不等式恒成立
令，则
∵
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
∴，即
令，则
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
∴
∵
∴或
故选A
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；
（3）若恒成立，可转化为.
8、C
【解析】
由数学归纳法可知时，左端，当时，
，即可得到答案.
【详解】
由题意，用数学归纳法法证明等式时，
假设时，左端，
当时，，
所以由到时需要添加的项数是，
故选C.
本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.
9、B
【解析】
设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.
点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.
10、C
【解析】
先利用复数的除法将复数化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误．
【详解】
，的虚部为，，
为纯虚数，，故选C.
本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题．
11、A
【解析】
由表格可知，，根据回归直线方程必过得，因此当时，，故选择A.
12、B
【解析】
利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.
【详解】

展开式通项公式为：
令，解得： ，即常数项为：
本题正确选项：
本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
换元将原式化为：进而得到结果.
【详解】
令，，则，所以，即所求最小值为1.
故答案为：1.
这个题目考查了对数型的复合函数的最值问题，研究函数最值一般先从函数的单调性入手，而复合函数的单调性，由内外层共同决定.
14、
【解析】
求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。
【详解】
；
；
又；
在处的切线方程为，即；
故答案为：
本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。
15、37(元)
【解析】
由已知条件直接求出数学期望，即可求得结果
【详解】
一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，
则这台机器每生产一件产品平均预期可获利：
50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．
故答案为37(元)
本题主要考查了期望的实际运用，由已知条件，结合公式即可计算出结果，本题较为简单。
16、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8
【解析】
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.
【详解】
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，
∴，
由，得.
且当时，；当时，.
∴的最大值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，
∴.
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，
由，得，且，
∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．
本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
18、 (1)1；(2).
【解析】
试题分析：
(1)整理计算，满足题意时，，即.
(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得的取值范围是.
试题解析：
(1)，
所以，
当为实数时，，即.
(2)因为，所以，
又因为，所以当时，，当时，.
所以.
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据切线、函数值、导数值计算解析式；（2）计算出在时的值域，再根据求解出的范围.
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∵，∴，①
∵的图象在点处的切线方程为，
∴当时，，且切线斜率，
则，②.
，③，
联立解得，，，即；
（2）
当时，
当时，
当时，
又，，，.
所以
因为对任意的，存在零点，
所以，即，
所以
对于形如的函数零点问题，可将其转化为的方程根的问题，或者也可以利用与的函数图象交点来解决问题.
20、（1）180；（1）；（3）1人.
【解析】
（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（1）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求．
【详解】
（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的11名历史选考生中确定选考政治的有4人
所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人
（1）由数据可知，选考方案确定的11名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.
由已知得的所有取值为0，1，则

所以的分布列为

0
1

所以数学期望.
（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为1．
本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．
21、（1）－2；（2）；（3）
【解析】
（1）令求得，令求得所有项的系数和，然后可得结论；
（2）改变二项式的“－”号为“＋”号，令可得；
（3）由二项展开式通项公式求得，再得，变形，然后由组合数的性质求和．
【详解】
（1）在中，令，得，
令，得，
∴；
（2）由题意，令，得
；
（3）由题意，又，∴，
∴，
∴

．
本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和问题，考查组合数的性质及二项式系数的性质．解题时难点在于组合数的变形，变形后才能求和．
22、（1）；（2）.
【解析】
(1) ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，计算得到答案.
(2) 甲队和乙队得分之和为4，则甲可以得1,2,3分三种情况，计算其概率，再根据条件概率公式得到结果，
【详解】
(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，
故.
(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，
则η～

，
，
，
，
，
，
，
∴所求概率为.
本题考查了概率的计算和条件概率，意在考查学生的计算能力.