2024-2025学年广东省深圳市格睿特高级中学高二下数学期末调研模拟试题含解析.doc

2024-2025学年广东省深圳市格睿特高级中学高二下数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从区间上任意选取一个实数，则双曲线的离心率大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．设复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）.

A．与 B．与 C．与 D．与
4．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3 D．为定值2
5．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
6．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（2，4]
7．已知i是虚数单位，m,n∈R，且m+i=1+ni，则＝(　　)
A．i B．1 C．－i D．－1
8．对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）
A．48 B．72 C．64 D．96
9．已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若l // m，l // n，则m // n
B．若l⊥m，l⊥n，则m // n
C．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // l
D．若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面
11．已知(为虚数单位) ，则
A． B． C． D．
12．设全集，，，则等于（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为___
14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
15．已知，若展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为________.
16．若变量，满足约束条件 则的最大值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．
（Ⅰ）求，的值．
（Ⅱ）若时，，求的取值范围．
18．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，,平面
，且，，点是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
19．（12分）已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：.
20．（12分）已知椭圆经过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两个不同的点是坐标原点，求的面积．
21．（12分）已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.
22．（10分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，，成等比数列.
（I）求及；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：求出m的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.
详解：由题意得，
，解得，即
.
故选：D.
点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
2、C
【解析】
分析:先化简复数z,再求z的虚部.
详解：由题得=，故复数z的虚部为-1,
故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.
3、C
【解析】
易知，有三个零点
因为为二次函数，所以，它有两个零点
由图像易知，当时，；
当时，，故是极小值
类似地可知，是极大值.
故答案为：C
4、D
【解析】
分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．
【详解】

依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．
所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，
在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，
在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，
所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．
故选D．
本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．
5、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
6、A
【解析】
由，取的中点E，翻折前，连接，则，，翻折后，在图2中，此时，及，进而得到，由此可求解得取值范围，得到答案.
【详解】
由题意得，
取的中点E，翻折前，在图1中，连接，则，
翻折后，在图2中，此时，
因为，所以平面，所以，
又为的中点，所以，
所以，
在中，可得①；②；③，
由①②③，可得.
如图3，翻折后，当与在一个平面上，
与交于，且，
又，
所以，
所以，此时，
综上可得的取值范围是，故选A.

本题主要考查了平面图形的翻折问题，以及空间几何体的结构特征的应用，其中解答中认真审题，合理利用折叠前后图形的线面位置关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7、A
【解析】
先根据复数相等得到的值，再利用复数的四则混合运算计算.
【详解】
因为，所以，则.
故选A.
本题考查复数相等以及复数的四则混合运算，难度较易. 对于复数的四则混合运算，分式类型的复数式子，采用分母实数化计算更加方便.
8、A
【解析】
分析：分的因数由若干个、若干个、若干个、若干个相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含的因数个数即可得结果.
详解：的因数由若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
由分步计数乘法原理可得的因数共有，
不含的共有，
正偶数因数的个数有个，
即的正偶数因数的个数是，故选A.
点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
9、A
【解析】
分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出的值.
详解：命题：，，则为，是真命题，即恒成立，的最大值为1，所以
故选A.
点睛：含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定

10、A
【解析】
分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．
详解：由公理4可知A正确；
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
11、B
【解析】
由题得，再利用复数的除法计算得解.
【详解】
由题得，故答案为：B
本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
12、B
【解析】
直接利用补集与交集的运算法则求解即可．
【详解】
解：∵集合，，，
由全集，．
故选：B．
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】
从10件产品中随机抽取2件产品有种方法；
其中恰好含1件二等品有种方法；
因此所求概率为
故答案为：
本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
14、.
【解析】
先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.
15、
【解析】
由二项式定理及展开式通项得：，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，得解．
【详解】
由二项式定理可得：展开式的常数项为，
又展开式的常数项的值不大于15，
则，
又，
所以，
又时，展开式无常数项，
即a取值范围为，
故答案为：．
本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．
16、9.
【解析】
分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.
详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A（2,3）时取得最大值，故最大值为9.
点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范围是．
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可．由题意得，即，又由，得，，分，，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论．
试题解析：
（I）∵，
∴，，
由题意得 ，，
解得，．
∴ ，．
（II）由（I）知，，
设，
则，
由题设可得，即，
令，得，．
（i）若，则，
从而当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在的最小值为，
而，
故当时，，即恒成立．
（ii）若，
则，
从而当时，，即在单调递增，
而，
故当时，，即恒成立．
（iii）若，，
则在上单调递增，
而，
从而当时，不可能恒成立，
综上可得的取值范围是．
18、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．
试题解析：
∵平面，，平面，
∴，，且，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．

（1）∵，，∴，
∴，，
设平面的法向量为，则，取，得．
又，所以，∵，∴，
又平面，因此，平面．
（2）∵平面的一个法向量为，
由（1）知，平面的法向量为，
设二面角的平面角为（为钝角），则
，得：．
所以二面角的大小为．
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)由时，利用，结合等差数列的定义和通项公式即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，运用裂项相消法求和，化简整理，然后利用放缩法可证明.
试题解析：(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.
(2)因为==,
故Tn=
=
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
20、 (I) (II)
【解析】
(I)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，而后求出椭圆的方程；
(II)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用S＝|OP||y1－y2| 进行求解．
【详解】
解：(1)由题意得: , 解得:
即轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故可设AB的方程为x＝y＋1.
由消去x得5y2＋2y－3＝0，
所以
设直线与轴交于点
S＝|OP||y1－y2|
S＝.
本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系．
21、
【解析】
分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果.
详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为
∴的焦点坐标为，∴，
因此抛物线的方程为
设，，，则，
∴
∵为的中点，所以，故
∴直线的方程为
∵ 直线过点， ∴，
故直线的方程为，其与轴的交点为
由得：，，
∴的面积为.
点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
22、（I），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题中条件列方程组求出和的值，于此可得出和的表达式；
（Ⅱ）将的通项表示为，再利用裂项法可求出数列的前项和.
【详解】
（Ⅰ）由题意，得，即，，解得，
所以，；
（Ⅱ）因为，
所以.
本题考查等差数列通项和求和公式，考查裂项求和法，在求解等差数列的问题时，一般都是通过建立首项与公差的方程组，求解这两个基本量来解决等差数列的相关问题，考查计算能力，属于中等题。