2025年辽宁省新民市第一高级中学高二数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025年辽宁省新民市第一高级中学高二数学第二学期期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则 （ ）
附：若，则，
A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.0228
3．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为，则变量x，y是（）
A．线性正相关关系 B．线性负相关关系
C．由回归方程无法判断其正负相关关系 D．不存在线性相关关系
4．已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为
A． B． C． D．
7．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
①若，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则 .
其中真命题的序号为（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．乘积可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．已知复数 (是虚数单位)，则的虚部为
A． B． C． D．
11．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
12．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，则的取值范围是________
14．双曲线上一点到点的距离为9，则点到点的距离______.
15．若对于任意实数x，都有，则的值为_________.
16．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若η=2ξ﹣3，则η的期望为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，求；
；
；
设，求和：.
18．（12分）每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了名不同性别的学生，现已得知人中喜爱阅读的学生占，统计情况如下表

喜爱
不喜爱
合计
男生

女生

合计

（1）完成列联表，根据以上数据，能否有的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关?请说明理由：
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取位学生进行调查，求抽取的位学生中至少有人喜爱阅读的概率，（以下临界值及公式仅供参考）

，
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若，求证：在上恒成立.
20．（12分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：

1
2
3
4
5

0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；
(2)求的分布列及期望．
21．（12分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中, 为侧面的对角线的交点, 分别为棱的中点.

(1)求证:平面//平面；
(2)求二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正数，满足，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案.
详解：如图：

要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，
硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，
由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为.
故选B.
点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.
2、D
【解析】
由随机变量，所以正态分布曲线关于对称，再利用原则，结合图象得到.
【详解】
因为，所以，
所以，即，
所以.选D．
本题主要考查正态分布曲线及原则，考查正态分布曲线图象的对称性.
3、B
【解析】
根据变量x，y的线性回归方程的系数0，判断变量x，y是线性负相关关系．
【详解】
根据变量x，y的线性回归方程是1﹣2x，
回归系数2＜0，
所以变量x，y是线性负相关关系．
故选：B．
本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．
4、B
【解析】
画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.

【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
5、A
【解析】
试题分析：因为，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线a在点P（1，1）处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=-1，即，所以a=-1．故选A．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
6、A
【解析】
分析：先求出基本事件的总数，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数，由此即可求出.
详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，
基本事件的总数，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数，
恰好取到1件次品的概率.
故选：A.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
7、D
【解析】
由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；
②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；
③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；
④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.

综上可得：真命题的序号为②④.
本题选择D选项.
本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
8、D
【解析】
,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D
9、A
【解析】
根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可
【详解】
最大数为，共有个自然数连续相乘
根据排列公式可得
故选
本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键
10、D
【解析】
先利用复数的除法将复数表示为一般形式，于是可得出复数的虚部。
【详解】
，因此，复数的虚部为，故选：D。
本题考查复数的概念，解决复数问题，一般利用复数的四则运算律将复数表示为一把形式，考查计算能力，属于基础题。
11、D
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），
∴f（0）=1+b=0，
解得b=-1
∴f（1）=2+2-1=1．
∴f（-1）=-f（1）=-1．
故选D．
12、C
【解析】
由求出的范围，再由方差公式求出值．
【详解】
∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．
本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.
详解：因为复数满足，
在复平面内设复数对应的点为，
则到的距离之和为，
所以点的轨迹为以为端点的线段，
表示线段上的点到的距离，
可得最小距离是与的距离，等于；
最大距离是与的距离，等于；
即的取值范围是，故答案为.
点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.
14、或
【解析】
先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到，进而可求出的值，得到答案.
【详解】
双曲线，
，，，和为双曲线的两个焦点，
点在双曲线上，
，解或，
，或，
故答案为：或.
本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于.
15、
【解析】
根据题意，分析可得，求出其展开式，可得为其展开式中含项的系数，由二项式定理求出项，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，，其展开式的通项为，
又由，
则为其展开式中含项的系数，
令可得：；
即；
故答案为：．
本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．
16、3
【解析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2
Eη=2Eξ-3=3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）－2；（2）；（3）
【解析】
（1）令求得，令求得所有项的系数和，然后可得结论；
（2）改变二项式的“－”号为“＋”号，令可得；
（3）由二项展开式通项公式求得，再得，变形，然后由组合数的性质求和．
【详解】
（1）在中，令，得，
令，得，
∴；
（2）由题意，令，得
；
（3）由题意，又，∴，
∴，
∴

．
本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和问题，考查组合数的性质及二项式系数的性质．解题时难点在于组合数的变形，变形后才能求和．
18、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）补全列联表，计算，与临界值表对比得到答案.
（2）喜爱阅读的人数为随机变量，将2人喜欢阅读，3人喜欢阅读概率相加得到答案.
【详解】
解：列联表如表

喜爱
不喜爱
合计
男生

女生

合计

由表可知
因为，
所以有的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关.
（2）设人中喜爱阅读的人数为随机变量，由题可知
所以人中至少有人喜爱阅读的概率为

所以
本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的应用能力.
19、（1）极小值为，无极大值（2）不存在满足题意的实数．（3）见证明
【解析】
（1）当 时,可求导判断单调性，从而确定极值;
（2）先求出的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；
（3）若，令，求的单调性即可证明不等式成立.
【详解】
解：（1）当 时，，

在 上单调递减，在 上单调递增
当 时，极小值为，无极大值
（2），令
则,在上单调递减，在上单调递增
若存在实数，使得与的单调区间相同，
则，
此时，与在上单调递减矛盾，
所以不存在满足题意的实数．
（3），记.
，又在上单调递增，且
知在上单调递增，故.
因此，得证．
本题主要考查利用导函数工具解决极值问题，单调性问题，不等式恒成立问题等，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力及计算能力，综合性强.
20、 (1)； (2).
【解析】
试题分析：（1）每位顾客采用1期付款的概率为，3位顾客采用1期付款的人数记为，则，
（2）分别计算利润为200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；
试题解析：（1）；
（2）η的可能取值为200元，250元，300元.
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2.
η的分布列为：

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.
考点：1.二项分布；2.分布列与数学期望；
21、 (1)证明见解析；(2).
【解析】
（1）利用线线平行证明平面//平面，
（2）以C为坐标原点建系求解即可．
【详解】
（1）证明分别为边的中点，可得,
又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得故有，
由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，可得.
由， 平面，， 平面，得 平面， 平面， ，可得平面 平面.
（2）为轴建立空间直角坐标系，如图，

则 ，
设平面的一个法向量为，取，有
同样可求出平面的一个法向量，
，
结合图形二面角的余弦值为.
本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式求解二面角．
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集；
（2）由题意得，再根据基本不等式即可求出.
【详解】
（1）因为
所以
①当时，
由，解得
②当时，
由，解得
又，
所以
③当时，不满足，此时不等式无解
综上，不等式的解集为
（2）由题意得
所以
=

当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式的简单证明，注意利用基本不等式证明时要强调等号成立的条件！