2025届榆林市重点中学高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025届榆林市重点中学高二数学第二学期期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

（参考公式：，其中.）
附表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则下列选项正确的是（ ）
A．有的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．有的把握认为使用智能手机对学习有影响
D．有的把握认为使用智能手机对学习无影响
5．已知函数的定义域为，若对于，分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：
①②③④.其中为“三角形函数”的个数是（）
A． B． C． D．
6．在的二项展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
8．已知命题：①函数的值域是；
②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；
③当或时，幂函数的图象都是一条直线；
④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.
其中正确的命题个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.

由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为
A．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析
C．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发
10．如图是导函数的图象，则的极大值点是（ ）

A． B． C． D．
11． 设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
12．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若对一切，复数的模始终不大于2，则实数a的取值范围是_______；
14．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．
15．已知函数.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于_______．
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求曲线在原点处的切线方程.
（2）当时，求函数的零点个数;
18．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本频数分布表
（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？
（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：

19．（12分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
20．（12分）已知函数.
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）当时，求证：.
21．（12分）设椭圆： 的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于， 两点， （）为椭圆上一点，求面积的最大值．
22．（10分）某市交通管理有关部门对年参加驾照考试的岁以下的学员随机抽取名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：
学员编号

科目三成绩

科目四成绩

（1）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；
（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到分以上（含分）才算合格，从抽测的到号学员中任意抽取两名学员，记为抽取学员不合格的人数，求的分布列和数学期望．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案
详解：：若f（3）=3，
则f（1）=3或f（1）=4；
f（2）=3或f（2）=4；
故这样的映射的个数是2×2=4个，
故选：B．
点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题
2、C
【解析】
每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：
，
∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：
.
本题选择C选项.
3、B
【解析】
分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.
详解：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，
则，，
故.
故选：B.
点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.
4、A
【解析】
分析：根据列联表中数据利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.
详解：根据卡方公式求得，
，
该研究小组有的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.
点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
5、B
【解析】
根据构成三角形条件，可知函数需满足，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立.
【详解】
根据题意，对于，分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足：
对于①，，如当时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；
对于②，，则，满足，所以②是“三角形函数”；
对于③，，则，当时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；
对于④，，由指数函数性质可得，满足，所以④是“三角形函数”；
综上可知，为“三角形函数”的有②④，
故选：B.
本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题.
6、C
【解析】
因为,可得时，的系数为，C正确.
7、D
【解析】
由题意，双曲线的渐近线方程为，
∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：上，
∴，
∵，∴，∴，
∴
∴椭圆方程为：.
故选D.
考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.
8、C
【解析】
：①根据指数函数的单调性进行判断；
②根据三角函数的图形关系进行判断；
③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.
【详解】
①因为是增函数，所以当时，函数的值域是，故①正确；
②函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，故②错误；
③当时，直线挖去一个点，当时，幂函数的图形是一条直线，故③错误；
④作出的图像如图所示：

所以在上递减，在上递增，在上递减，
又因为在上有两个，在上有一个，
不妨设，
则，即，则的范围即为的范围，
由，得，
则有，即的范围是，所以④正确；
所以正确的命题有2个，故选C.
该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.
9、B
【解析】
根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。
【详解】
由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为
（万元），
数据分析岗位的平均薪资为（万元），
数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），
数据产品岗位的平均薪资为（万元）。
故选：B。
本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。
10、B
【解析】
根据题意，有导函数的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案．
【详解】
根据题意，由导函数的图象，
，并且，，，在区间，上为增函数，
，，，在区间，上为减函数，
故是函数的极大值点；
故选：．
本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题．
11、A
【解析】
试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．
12、A
【解析】
分别化简集合和，然后直接求解即可
【详解】
∵，，∴.
本题考查集合的运算，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由模的定义求出模，列出不等式，用几何意义解释此不等式，问题为点到的距离不大于2，而点以原点为圆心的单位圆上，因此只要到圆心距离不大于1即可．
【详解】
由题意，设，，则，而在圆上，∴，即，解得．
故答案为：
本题考查复数的模的定义，考查平面上两点间的距离公式．解题关键是利用的几何意义，把它转化为两点间的距离，而其中一点又是单位圆上的动点，由点到圆上点的距离最大值为此点到圆心距离加半径，从而问题可转化为点到圆心的距离不大于1，这样问题易求解．
14、
【解析】
试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．
【详解】
设“长为4的木棍”对应区间，
“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，
则满足的区间为或，
根据几何概率的计算公式可得，．
故答案为．
本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
15、
【解析】
先将f（x）的解析式进行降幂，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴可得到x0的关系式，将x0的关系式代入即可得到答案．
【详解】
由题设知 ．
因为是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以 ，即 （k∈Z）．
所以 ．
故答案为．
本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题．属中档题.
16、
【解析】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）函数零点个数为两个
【解析】
（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线在原点处的切线方程；
（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．
【详解】
（1）由题意，函数，则，则，
从而曲线在原点处的切线方程为．
（2）由（1）知，令得或，
从而函数单调增区间为，单调减区间为，
当时，恒成立，所以在上没有零点；
当时，函数在区间单调递减，且，存在唯一零点；
当时，函数在区间单调递增，且，存在唯一零点．
综上，当时，函数零点个数为两个.
本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．
18、（1）800件；（2）见解析；
【解析】
（1） 结合频数分布表，求出满足条件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列联表，计算K2值，判断即可
【详解】
（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为；
∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）；
（2）由表1和图得到列联表：

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
42
90
不合格品
2
8
10
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得；
∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．
19、 (1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
．
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且．
由，得，解得．
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是．
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.
20、（1）在上减，上增；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即
，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间.
（2）由，进而可得，记，研究函数
的单调性，求出的最小值，进而可得证.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
由，
所以，又因为，
所以在上单调递增，注意到，
所以在上减，上增.
（2）由，所以,
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增 ，
所以是的最小值点，，故.
本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.
21、（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的长轴为及，求得的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和，利用弦长公式及点到直线的距离，求得的面积，同时，进而求得的面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），
则椭圆的离心率为（2分）， 2a=1， （3分）
由⇒，故椭圆M的方程为． （5分）
（Ⅱ）由，得， （6分）
由，得﹣2＜m＜2
∵，． （7分）
∴=
又P到AB的距离为． （10分）
则
， （12分）
当且仅当取等号 （13分）
∴． （11分）
考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据表格中的数据得出个学员中抽测成绩中大于或等于分的人数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）先根据表格中的数据得出到号学员合格与不合格的人数，可得知随机变量的可能取值有、、，然后再根据超几何分布的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，并列出分布列，结合数学期望公式可计算出的值.
【详解】
（1）学员抽测成绩大于或等于分的有个，
从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，
估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；
（2）号至号学员中有个合格，个不合格，的可能取值为、、，
，，，
的分布列为：

因此，随机变量的数学期望为．
本题考查利用古典概型概率公式计算事件概率，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布类型，结合相应的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.