2025年江西省九江市重点中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年江西省九江市重点中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．144种 B．108种 C．72种 D．36种
4．已知函数，若且，则n-m的最小值为( )
A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．2
5．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ）
A．144 B．192 C．216 D．240
6．已知，并且，则方差（）
A． B．C．D．
7．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ）
A．0. 36 B．0. 49 C．0. 51 D．0. 75
8．抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．函数在的图像大致为
A． B． C． D．
11．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
12．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若直线PA与PB的斜率之积为，则椭圆的离心率为_____．
14．向量的夹角为，且则__________.
15．设随机变量的概率分布列如下图，则___________．

1
2
3
4

16．若曲线在矩阵对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为____ .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
18．（12分）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；
用频率估计概率，利用的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布
估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；
利用的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望．

19．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求：(1)展开式的二项式系数和；
(2)展开式中项的二项式系数.
20．（12分）已知数列，…的前项和为.
（1）计算的值，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的表达式.
21．（12分） “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.

22．（10分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
2、B
【解析】
分析：求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到的取值范围
详解：令，
则，
令，

在单调增，在单调减

的取值范围为
故选
点睛：本题主要考查的是函数的零点问题，解决问题的关键是导数判断函数的单调性，然后通过数形结合的方法得到关于的范围
3、C
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分3步进行分析：
①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，
②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A42种情况，
③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，
则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C42A42×1＝72种，
故选：C．
点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．
(2)完成每一步有若干种方法．
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
4、C
【解析】
作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．
【详解】
解：作出函数的图象如下，

，且，可得，
，即为，
可得，，
，
令，则
当时，，递减；
当时，，递增．
则在处取得极小值，也为最小值，
故选C．
本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
5、C
【解析】
由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.
【详解】
因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；
当个位数字是0时，共有种可能；
当个位数字是5时，共有种情况；
因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.
故选C
本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.
6、A
【解析】
试题分析：由得
考点：随机变量的期望
7、C
【解析】
乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率．
【详解】
乙至少赢甲—局的概率为.
故选C
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8、B
【解析】
分析：设，则
，由利用韦达定理求解即可.
详解：设，

的焦点，
设过点的直线为，
，
，

，

，故选B.
点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.
9、A
【解析】
记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，计算出和，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为.
【详解】
记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，
则，，
因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.
本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
11、C
【解析】
根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.
【详解】
由三视图可知，几何体为高为的三棱锥
三棱锥体积：
本题正确选项：
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.
12、B
【解析】
分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.
详解：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，
则，，
故.
故选：B.
点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、．
【解析】
设点P的坐标为，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率．
【详解】
设点P的坐标为．
由题意，有，①
由A（﹣a，0），B（a，0），得，．
由，可得，
代入①并整理得．
由于，故，于是，
∴椭圆的离心率．
故答案为：．
本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，是中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
14、6
【解析】
由题意，利用向量的数量积的运算，可得，即可求解.
【详解】
由题意，可知向量的夹角为，且
则.
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15、
【解析】
依题意可知，根据分布列计算可得；
【详解】
解：依题意可得
故答案为：
本题考查离散型随机变量的分布列与和概率公式的应用，属于基础题.
16、.
【解析】
在曲线上任取一点，得出，由变换得出，代入方程可得出椭圆方程，由此可计算出椭圆的离心率.
【详解】
在曲线上任取一点，得出，①
设点经过变换后对应的点的坐标为，
由题意可得，则有，即，
代入②式得，则，，，
因此，椭圆的离心率为，故答案为.
本题考查坐标变换，考查相关点法求轨迹方程，同时也考查了椭圆离心率的求解，解题的关键就是利用相关点法求出轨迹方程，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)证明见解析.
【解析】
解：(1)方程7x－4y－12＝1可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x1，y1)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝(1＋)·(x－x1)，即y－(x1－)＝(1＋)(x－x1)．
令x＝1得，y＝－，从而得切线与直线x＝1，交点坐标为(1，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x1，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x1,2x1)．
所以点P(x1，y1)处的切线与直线x＝1，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x1|＝2．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为2．
18、 (1)225.6.
(2) （i） ；（ii） 分布列见解析；.
【解析】
分析：（1）由矩形面积和为列方程可得，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市每户居民平均用电量的值；(2) （i）由正态分布的对称性可得结果；（ii）因为，则，，从而可得分布列，利用二项分布的期望公式可得结果.
详解：（1）由得

（2）（i）
（ii）因为，∴，.
所以的分布列为

0
1
2
3

所以
点睛：“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
19、 (1)(2)
【解析】
根据通项公式,求出二项式的常数项,再求出的展开式的各项系数之和,根据题意可以求出的值；
(1)直接运用二项式展开式二项式系数和公式求解即可；
(2)运用二项式的通项公式即可求出展开式中项的二项式系数.
【详解】
二项式的通项公式为：
,令,
因此的展开式中的常数项为：,在中,令,所以的展开式的各项系数之和为,由题意可知：.,
(1) 因为,所以展开式的二项式系数和为；
(2) 因为,所以二项式的通项公式为：
,令,
所以展开式中项的二项式系数为：.
本题考查了二项式通项公式的应用,考查了数学运算能力,区分是二项式的系数还是项的系数是解题的关键.
20、（1），（2）见解析
【解析】
分析：（1）计算可求得，由此猜想的表达式；
（2）利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，再假设当时，等式成立，即，去证明当时，等式也成立即可．
详解：
（I）
猜想
（II）①当时，左边=，右边=，
猜想成立．
②假设当时猜想成立，即
，那么

，
所以，当时猜想也成立．
根据①②可知，猜想对任何都成立．
点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．
21、 (1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：

0
1
2

数学期望
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．
试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，
所以40名读书者中年龄分布在的人数为.
（2）40名读书者年龄的平均数为
.
设中位数为，则
解得，即40名读书者年龄的中位数为55.
（3）年龄在的读书者有人，
年龄在的读书者有人，
所以的所有可能取值是0,1,2，
，
，
，
的分布列如下：

0
1
2

数学期望.
22、（1）的极小值为，无极大值．（2）
【解析】
试题分析：（1）当时，，定义域为，由得．列表分析得的极小值为，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：在上恒成立．由于不易求，因此再进行转化：当时，可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；同理当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.
试题解析：（1），
，令，得．
列表：
x

0

+

↘

极小值

↗

所以的极小值为，无极大值．
（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立．
1）当时，可化为，
令，问题转化为：对任意恒成立；（*）
则，，．
令，则．
①时，因为，
故，所以函数在时单调递减，，
即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）
成立，满足题意；
②当时，，
因为，所以，记，则当时，，
故，所以函数在时单调递增，，
即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；
所以当，恒成立时，；
2）当时，可化为，
令，问题转化为：对任意的恒成立；（**）
则，，．
令，则．
①时，，
故，所以函数在时单调递增，，
即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；
②当时，
ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；
ⅱ）若，则，所以当时，
，
故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；
所以当，恒成立时，；
综上所述，当，恒成立时，，从而实数的取值集合为．
考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性