2025年山东省沂源县第二中学数学高二第二学期期末经典试题含解析.doc

2025年山东省沂源县第二中学数学高二第二学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是(　　)

A． B． C． D．
2．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．函数导数是( )
A． B． C． D．
4．设集合，，，则的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.

由，，，…，可推出（ ）
A． B． C． D．
6．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
7．在△ABC中，，，，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．或
8．已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是
A． B． C． D．
9．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．13 D．
11．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
12．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从名男同学和名女同学中选取人参加某社团活动，选出的人中男女同学都有的不同选法种数是_______（用数字作答）
14．若将函数表示为，其中 为实数，则等于 _______.
15．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.
16．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的最小的整数值．
18．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若，求的最大值；
（2）若在R上单调递减，
①求a的取值范围；
②当时，证明：.
19．（12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的均值．
20．（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：

选考方案确定情况
化学
生物
政治
地理
物理
选考方案确定的有18人
16
11
5
4
选考方案待确定的有14人
5
5
0
0
历史
选考方案确定的有12人
3
5
4
12
选考方案待确定的有6人
0
0
3
2
（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？
（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量，求的分布列及数学期望.
（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）
21．（12分）已知函数．
（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）
22．（10分）已知函数
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求在上的最大值与最小值。
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.
【详解】
当时：
当时：
当时：
当时：
日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元
故
故答案选A
本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.
2、B
【解析】
分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.
详解：由题可得：

故选B.
点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.
3、A
【解析】
根据导数的基本公式和运算法则求导即可．
【详解】
， 故选：A．
本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．
4、B
【解析】
，所以 ，选A.
点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.
5、A
【解析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…
根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．
【详解】
由图可知，，

…

故选A.
此类题要能够结合图形，发现规律：当时，
6、D
【解析】
分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.
详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：
①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；
②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.
若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，
故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种.
故选：D.
点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
7、A
【解析】
首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B
【详解】
在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A
本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。
8、B
【解析】
将直线的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。
【详解】
直线的直角坐标方程为，斜率所以.故选：B.
本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。
9、A
【解析】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
10、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即

点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
11、B
【解析】
分析：根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
详解：当x＞0时，由|x|﹣1＞2x得x﹣1＞2x，得x＜﹣1，此时无解，
当x≤0时，由|x|﹣1＞2x得﹣x﹣1＞2x，得x＜﹣，
综上不等式的解为x＜﹣，
由≤0得x+1＜0得x＜﹣1，
则“|x|﹣1＞2x”是“≤0”的必要不充分条件，
故选：B．
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
12、A
【解析】
先化简已知条件,再求.
【详解】
由题得
,因为,
,故答案为A
本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据条件分成1名男生2名女生，或2名男生1名女生求解.
【详解】
当3人中包含1名男生2名女生时，有种方法，
当3人中包含2名男生1名女生时，有种方法，
综上：共有60+36=96种方法.
故答案为：96
本题考查分类计数原理以及组合问题，属于简单题型，本题也可以用减法表示.
14、20.
【解析】
把函数f（x）＝x6 ＝[﹣1+（1+x）]6 按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．
【详解】
∵函数f（x）＝x6 ＝[﹣1+（1+x）]6＝1•（1+x）•（1+x）2•（1+x）3•（1+x）6，
又f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，
则a320，
故答案为20.
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
15、900
【解析】
计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.
【详解】
由题意可知，高二年级抽取：人 抽样比为：
该校学生总数为：人
本题正确结果：
本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.
16、
【解析】
利用间接法，计算取3张卡片的总数，然后分别计算取3张同色，2张红色的方法数，最后做差，可得结果.
【详解】
由题可知：16张取3张卡片的所有结果为
取到3张都是同色的结果数为
取到2张都是红色的结果数为
.
故答案为：
本题考查组合的应用，巧用间接法，审清题意，细心计算，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出的具体形式，然后分离参数，进而讨论函数最值的范围，得出整数参量的取值范围.
【详解】
解：（1）．由题意，函数的定义域为，
当时，，单调增区间为：
当时，令，
由，得，，
的单调递增区间为，的单调递减区间为：
（2）．由，
因为对任意的恒成立
当时对任意的恒成立，
，

只需对任意的恒成立即可．
构造函数

，
且单调递增，
，
一定存在唯一的，使得
即，.
单调递增区间，单调递减区间．

的最小的整数值为
本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式的综合题，难度较大．
18、（1）1；（2）①，②证明见解析.
【解析】
（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.
（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.
【详解】
（1）时，
时，，在上单调递增
时，，在上单调递减

（2）由
①在R上单调递减，对恒成立，
即对恒成立，记，
则对恒成立，
当时，，符题
当时，时，，在上单调递减
时，，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递减
时，，在上单调递增；

综上：
②当时，在上单调递减，，
，，.
要证，即证
下面证明
令，，则，
在区间上单调递增，，得证
本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.
19、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．
【详解】
（1）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，
故，
即有，.
由此可得的分布列为

0
1
2
3
4
5

（2），.
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．
20、（1）180；（1）；（3）1人.
【解析】
（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（1）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求．
【详解】
（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的11名历史选考生中确定选考政治的有4人
所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有人
（1）由数据可知，选考方案确定的11名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理.
由已知得的所有取值为0，1，则

所以的分布列为

0
1

所以数学期望.
（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为1．
本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．
21、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）函数在区间上是单调递增函数，，化为：，.利用二次函数的单调性即可得出.
（2）在区间上有两个不相等的实数根，⇔方程在区间上有两个不相等的实数根.令，利用根的分布可得的范围，再利用根与系数关系可得：，得，令.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
【详解】
（1）解：∵函数在区间上是单调递增函数，
∴，化为：，，
令，则时取等号.
.
∴实数的取值范围是；
（2）证明：在区间上有两个不相等的实数根，
即方程在区间上有两个不相等的实数根，
记，则，解得，
，
，
令，
，
记，
，
令在上单调递增.
，
因此函数存在唯一零点，使得，
当 ；当时，，
而在单调递减，在单调递增，
而，
，
，
∴函数在上单调递减，
，
可得：，
即.
本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）利用导数求出的值，作为切线的斜率，并计算出，再利用点斜式写出切线的方程；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值。
【详解】
（1），，
所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，
，所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即；
（2），。
当时，；当时，。
所以，，
因为，，
所以，，则，
所以，函数在上的最大值为。
本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。