2025年上海市师大二附中高二数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

2025年上海市师大二附中高二数学第二学期期末综合测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．.从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（ ）种.
A． B． C． D．
3．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）
A．—2 B．—1 C．1 D．2
6．若函数无极值点，则（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）
A.B.
C.D.
8．若，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是______.
14．已知，则的最小值为________.
15．若，且，则______.
16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查结果只有“满意”和“不满意”两种，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
 班号
 一班
 二班
三班 
 四班
 五班
 六班
 频数
 5
 9
 11
 9
 7
 9
 满意人数
 4
 7
 8
 5
 6
 6
（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
18．（12分）如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥中，，面，E、F分别为、的中点.如果，，与底面成角.

（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角形式表示）；
（2）求点D到平面的距离.
19．（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值
20．（12分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 ．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；
（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
22．（10分）已知函数.
（1）当a=2，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意，函数在上单调递减，又由函数是定义上的偶函数，得到函数在单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】
易知函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，
所以函数在上单调递增，
则由，
得，即，
即在上恒成立，
则，
解得，
即的最大值为.
本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
2、C
【解析】
排列方法为,选C.
3、B
【解析】
先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.
【详解】
①当时，.
在上是减函数，；
②当时，.
在上是减函数，
.
的值域是
或
所以或
，
的最小值是.
故:B.
本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.
4、C
【解析】
由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且，先由求出，然后即可算出
【详解】
由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为，且
因为，所以
所以
故选：C
本题考查的是二项分布的知识，若，则，.
5、C
【解析】

将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，
不满足题意；当时，画出可行域，如图所示，
其中．显然不是最优解，
故只能是最优解，代入目标函数得，
解得，故选C．
考点：线性规划．
6、A
【解析】
先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.
【详解】
由题得，
因为函数无极值点，
所以，
即.
故选：A
本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7、D
【解析】
试题分析：由可得：，所以函数的周期，又因为是定义在R上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以当时，，因此，，所以。
考点：函数的性质。
8、C
【解析】
取特殊值进行验证即可。
【详解】
取代入，排除A、B、D，故选：C。
本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。
9、C
【解析】
分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果.
详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得
，
且
，
，
，故选C.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
10、A
【解析】
利用集合的交集运算进行求解即可
【详解】
由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，
所以的取值范围为
答案选A
求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等
11、A
【解析】
根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．
【详解】
∵，∴，
令得；当时，，即函数在内单调递减，
可排除B,D；又时，，排除C，故选A.
本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.
12、C
【解析】
由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．
【详解】
若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；
得对恒成立，
∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．
故选C．
本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据题意,构造函数, ,利用导数判断的单调性,再把不等式化为,利用单调性求出不等式的解集.
【详解】
解:根据题意,令,
其导函数为
时,,
,
在上单调递增;
又不等式可化为
,
即,
;
解得,
该不等式的解集是为.
故答案为:.
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.
14、1
【解析】
，利用基本不等式求解即可．
【详解】
解：，
当且仅当，即时取等号。
故答案为：1．
本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．
15、5
【解析】
由正态分布曲线的对称性可得，正态分布曲线关于直线对称，即可得，再求解即可.
【详解】
解：由，
得，
又，
所以，
即，
故答案为：5.
本题考查了正态分布曲线的对称性，属基础题.
16、；
【解析】
将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.
【详解】
根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；
根据题意：乙恰好比甲多投进2次，
包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.
则乙投进3次，甲投进1次的概率为；
乙投进2次，甲投进0次的概率为.
故乙恰好比甲多投进2次的概率为.
故答案为：.
本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析
【解析】
分析：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共16人，即可得出持满意态度的频率．
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，1．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．
详解：
因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共16人，
所以持满意态度的频率为，
据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，1．；；；．
的分布列为：

 0
 1
 2
 1
 P

．
点睛：本题考查了超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）先确定与底面所成角，计算SA，再建立空间直角坐标系，利用向量数量积求异面直线与所成角；
（2）先求平面的一个法向量，再利用向量投影求点D到平面的距离.
【详解】
（1）因为面，所以是与底面所成角，即，
因为,以为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,
从而,,
因此
所以异面直线与所成角为，
（2）设平面的一个法向量为,
因为，所以令，
从而点D到平面的距离为
本题考查线面角以及利用向量求线线角与点面距，考查综合分析求解能力，属中档题.
19、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3
【解析】
试题分析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2时，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x-2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能够求出k、B的值
试题解析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2时，x（x﹣2）＜1；
x＜1或x＞2时，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．
由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B
①k＜1时，﹣2＜x＜1时，f'（x）＜1；1＜x＜2时，f'（x）＞1，
∴f（x）在[﹣2，1）上递减，在（1，2）上递增，
x=1为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）
即，解得k=-1，B=-17
②k＞1时，，解得k=1，B=3
综上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
20、
【解析】
分析：由圆化为，由极坐标系中，点，求出其直角坐标，可求过点 的圆 的切线极坐标方程．
详解：∵圆
∵极坐标系中，点，
在上，的圆心 ），

∴过点 的圆 的切线方程为： ．
即
故答案为．
点睛：本题考查简单曲线的极坐标方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）由题可得，解方程组求得答案；（Ⅱ）在定义域内单调递增即在上恒成立，所以恒成立，进而求得答案．
【详解】
（Ⅰ）
依题意得，即
解得，故所求的实数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵在定义域内单调递增 ∴在上恒成立
即恒成立
∵时，，
∴ 所以实数的取值范围为.
本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题．
22、（1）见解析；(2)
【解析】
（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．
【详解】
（1）当a=2时，，令，解得x=1.
列表：
x

1

—
0
+

极小值

所以，当x=1时，有极小值，没有极大值
（2）①因为. 所以，.
当时，，
所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意，
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值.
1°当时，在上单调递减，在上单调递增，
只有一个零点，不合题意；
2°当时，，故，最多有两个零点.
注意到，令,
取，使得，下面先证明；
设，令，解得.
列表
x

—
0
+

极小值

所以，当，有极小值.
所以，故，即.
因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意
3°当时，，故，最多有两个零点.
注意到，取，
则
，
因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.
本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．