2025届云南省大理州新世纪中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届云南省大理州新世纪中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．设M为曲线上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为，则点M横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为( )
A． B． C． D．
4．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．将本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的极值点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，满足且，，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
8．设为虚数单位，则复数 (　　)
A． B． C． D．
9．已知是等差数列的前n项和，且，则的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，给出下列四个说法：
；函数的周期为；
在区间上单调递增；的图象关于点中心对称
其中正确说法的序号是　　
A． B． C． D．
12．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 _____ ．
14．已知复数，那么复数的模为______.
15．已知在定义域上满足恒成立，则______.
16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为，乙每次通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.
(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；
(Ⅱ)记为甲乙两人参加体能测试的次数和，求的分布列和期望.
18．（12分）三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面.
19．（12分）已知i为虚数单位，m为实数，复数.
（1）m为何值时，z是纯虚数？
（2）若，求的取值范围.
20．（12分）已知函数的定义域为.
（1）若，解不等式；
（2）若，求证：.
21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最小值.
22．（10分）的内角所对的边分别是，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，，，求，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．
【详解】
由题意知，所以.
故选C.
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．
2、D
【解析】
求出导函数，倾斜角的范围可转化为斜率的范围，斜率就是导数值，由可得的不等式，解之可得．
【详解】
由题意，
切线倾斜角的范围是，则切线的斜率的范围是，
∴，解得．
故选D．
本题考查导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是其图象在该点处的切线的斜率．解题时要注意直线倾斜角与直线斜率之间的关系，特别是正切函数的性质．
3、C
【解析】
设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.
【详解】
因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，
将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，
所以的面积，故选C．
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.
4、A
【解析】
分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.
详解：令，因为，
所以
因此解集为 ，
选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
5、C
【解析】
分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.
详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，
有种分法，
一人得本，另两个人各得本，
有种分法，
共有种分法，故选C.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
6、A
【解析】
求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．
【详解】
∵，
∴，且函数单调递增．
又，
∴函数在区间内存在唯一的零点，
即函数的极值点在区间内．
故选A．
本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．
7、A
【解析】
设，求出直线AB的方程，根据的开口方向可得到与直线AB的大小关系，从而得到答案.
【详解】
设，则直线AB的方程为，即A,B为直线与的图像的两个交点，由于图像开口向上，所以当时，，即，故选A.
本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.
8、D
【解析】
由复数的乘除运算即可求得结果
【详解】

故选
本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。
9、D
【解析】
由等差数列的求和公式，转化为，故，分析即得解
【详解】
由题意，等差数列，且
可得
故
所以
当时，
则的通项公式可能是
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
10、A
【解析】
利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.
【详解】
依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.
本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.
11、B
【解析】
根据函数的周期性可排除，同时可以确定对．由 ，可去绝对值函数化为，可判断对．由取特值，可确定错．
【详解】
，所以函数的周期不为，错，，周期为．
=，对．
当 时，，，所以f(x)在上单调递增．对．，所以错．即对，填．
本题以绝对值函数形式综合考查三角函数求函数值、周期性、单调性、对称性等性质，需要从定义角度入手分析，也是解题之根本．
12、A
【解析】
考点：条件概率与独立事件．
分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．
解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），
P（AB）==
P（B）=1-P（）=1-=1-=
∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==
故选A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、40
【解析】
设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为
14、
【解析】
由模长性质求解即可.
【详解】
因为,故.
故答案为：
本题主要考查模长的性质,若,则.若,则.属于基础题型.
15、2
【解析】
求出原函数的导函数，可得时，不满足；时，在上单调递增，在上单调递减，求出函数的最大值，转化为最大值小于等于，再由导数求解值.
【详解】
，
，
若，则，函数在上为增函数，
若，由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
由，得，
令，
则，
当时，，
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，只有当时，有，
.
故答案为：2
本题考查了导数在研究不等式恒成立问题，考查了转化与化归、分类讨论的思想，属于中档题.
16、
【解析】
试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，
故答案为0.128.
法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128
考点：相互独立事件的概率乘法公式

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) (Ⅱ)
的分布列为；

2
3
4

【解析】
(Ⅰ)先求出甲未能通过体能测试的概率，然后再求出乙未能通过体能测试的概率，这样就能求出甲、乙都未能通过体能测试的概率，根据对立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通过体能测试的概率；
(Ⅱ)由题意可知，分别求出，然后列出分布列，计算出期望值.
【详解】
解:(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为
乙未能通过体能测试的概率为
甲乙至少有一人通过体能测试的概率为
(Ⅱ)
，，，
的分布列为

2
3
4

本题考查了相互独立事件的概率、对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了数学运算能力.
18、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：
(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面 ；
(2)利用题意可得：，，结合线面垂直的结论则有平面．
试题解析：
（1）∵，分别为，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）∵，为的中点
∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面 平面 ∴
∵， ∴ ∵平面，平面，
∴平面．

点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m的值；
（2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案
【详解】
（1）．
当时，即时，z是纯虚数；
（1）
可设复数对应的点为，
则由，得，
即点在直线上，
又，
点的轨迹为直线与圆相交的弦，
则表示线段上的点到的距离，
由图象可知，当时，距离最小，即点到直线的距离，
则
由得或
，
，
的取值范围是.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．
20、 (1) (2)见解析
【解析】
分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．
详解：（1），即，则，
∴，
∴不等式化为．
①当时，不等式化为，
解得；
②当时，不等式化为，
解得.
综上可得．
∴原不等式的解集为.
（2）证明：∵，
∴.
又，
∴

.
点睛：含绝对值不等式的常用解法
（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．
（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
21、（1），；（2）
【解析】
分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）先证明直线过定点，点在圆的内部.当直线与线段垂直时，取得最小值，利用勾股定理可得结果..
详解：（1）将（为参数，）消去参数，
得直线，，即.
将代入，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的普通方程为，其中，又，
∴，则直线过定点，
∵圆的圆心，半径，，
故点在圆的内部.
当直线与线段垂直时，取得最小值，
∴.
点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及勾股定理求圆的弦长，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
22、（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得

；（2）由，再由余弦订立的得.
试题解析：
（1）由已知
结合正弦定理得
所以
即，亦即
因为，所以.
（2）由，，得，即，
又，得
所以，又，∴