不等式性质与一元二次不等式.doc

第六章　不等式与证明
第一节　不等式的性质及
一元二次不等式
【教学要求】
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景
2.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值3.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,能用不等式(组)研究含有不等关系的实际问题
4.理解并掌据不等式的基本性质
5.了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程
6.理解一元二次不等式的概念
7.通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系
8. 理解并掌握解一元二次不等式的过程
9.会求一元二次不等式的解集
1o.掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想,会设计求解的程序框图

【知识梳理】
1.不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔____.
(2)传递性：a>b，b>c⇒____.
(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒______；a>b，c<0⇒______.
(5)加法法则：a>b，c>d⇒________.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒______.
(7)乘方法则：a>b>0⇒_____(n∈N，n≥1).
(8)开方法则：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2).
2.不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒

(2)a<0<b⇒

(3)a>b>0，0<c<d⇒
3.两个实数比较大小的依据
(1)a-b>0⇔a__b.
(2)a-b=0⇔a__b.
(3)a-b<0⇔a__b.

判别式
Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个相异
实根x1，x2(x1<x2)
有两个相等实
根x1=x2
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集

R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集

∅
__

5.一元二次不等式恒成立的条件
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔

(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔

【特别提醒】
1.不等式两边同乘数c时，要特别注意乘数c的符号.
2.当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.
考向一　比较大小及不等式性质的应用
【典例1】(1)(2016·湖州模拟)已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中成立的是(　　)
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
(2)(2016·舟山模拟)设a>1，且m=loga(a2+1)，n=loga(a-1)，p=loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(　　)
A.n>m>p B.m>p>n C.m>n>p D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号，然后由不等式的性质便可求解.
(2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规律方法】比较大小的策略
(1)简单的代数式之间比较大小：往往利用不等式的性质求解.
(2)指数型及对数型的代数式之间比较大小：一般采取构造函数，利用函数的单调性求解.
(3)其他复杂的多项式之间比较大小：可以采取作差或作商来解决.
易错提醒：
1.利用不等式性质比较大小，一定要弄清参数的符号，明确什么情况下不等号方向改变.
2.构造函数，用函数单调性比较大小，要注意函数是递增还是递减.
【加固训练】1.已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，
④a>b>0，能推出 成立的有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
2.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)
A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
【解析】选C.由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b=0时C不正确.
考向二　一元二次不等式的解法
【典例2】(1)(2015·山东高考)已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2<x<4}，则A∩B=(　　)
A.(1，3) B.(1，4) C.(2，3) D.(2，4)
(2)(2015·江苏高考)不等式 <4的解集为________.
【解题导引】(1)根据一元二次不等式的解法先求出集合A，再求解.
(2)利用指数函数的性质，将原不等式化为关于x的一元二次不等式求解即可.
【母题变式】
1.若本例题(1)条件A={x|x2-4x+3<0}改为A={x|x2-4x+3>0}，则A∩B=______.
【解析】解不等式x2-4x+3>0得x<1或x>3，所以A∩B=(3，4).
答案：(3，4)
2.若本例题(1)条件A={x|x2-4x+3<0}改为A={x|x2-4x +3≥0}，则A∪B=______.
【解析】解不等式x2-4x+3≥0得x≤1或x≥3,则A∪B=(-∞,1]∪(2,+∞)
答案：(-∞,1]∪(2,+∞)
【易错警示】解答本例题(2)时，在利用指数函数的
性质把原不等式转化为一元二次不等式时容易把大于号和小于号弄反，导致解集出错.
【规律方法】
1.解一元二次不等式的方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式.
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
【变式训练】(2016·杭州模拟)若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

【考题例析】
命题方向1：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围
【典例3】(2016·湖州模拟)不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________.
【解题导引】可以把a看成未知数，把b看成常数，把λ看成参数，把原不等式化为关于a的一元二次不等式.
答案：[-8，4]
命题方向2：形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围
【典例4】(2016·沈阳模拟)已知函数f(x)=-x2+ax+b2 -b+1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x∈[-1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A.(-1，0) 　　　 B.(2，+∞)
C.(-∞，-1)∪(2，+∞) D.不能确定
【解题导引】先求出f(x)的最值，再列一元二次不等式求解.
命题方向3：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围
【典例5】(2016·惠州模拟)已知a∈[-1，1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A.(-∞，2)∪(3，+∞) B.(-∞，1)∪(2，+∞)
C.(-∞，1)∪(3，+∞) D.(1，3)

【解题导引】构造关于a的参数列不等式组求解.
【技法感悟】
恒成立问题求解思路
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
幻灯片65
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
【题组通关】
1.(2016·温州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________.
答案：(-∞，0]
2.(2016·衢州模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R)，若当x∈[-1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________.
答案：(-∞，-1)∪(2，+∞)
3.(2016·嘉兴模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<-m+5恒成立，则m的取值范围是________.
4.(2016·金华模拟)已知不等式mx2-2x-m+1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解题提示】分m=0和m≠0两种情况进行讨论，结合开口方向和判别式求解.