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第二章 有理数及其运算

一． 有理数的分类：
正整数 正整数
正有理数 整数 0
正分数 有理数 负整数
有理数 0 正分数
负分数 分数
负有理数 负分数
负整数
总结：1.整数和分数统称为有理数 2.正整数，0，负整数统称为整数
3.正分数，负整数统称为分数。有限小数和无限循环小数也是分数。
4.正数和0统称为非负数。 5.负数和0统称为非正数。
6.正整数和0统称为非负整数。 7.负整数和0统称为非正整数。
练习：1.将下列各数填入相应的集合里：
正数集合（ ）， 整数集合（ ）
分数集合（ ）， 负数集合（ ）
非负数集合（ ）， 非负整数集合（ ）
2. 判断：
（1）正数，0，负数统称为有理数。（ ） （2）小数一定是有理数。 （ ）
（3）0既不是正数也不是负数。（ ） (4)自然数就是正整数. （ ）
（4） 0是最小的自然数. （ ） (5)0既不是奇数也不是偶数 （ ）
(6)一个有理数不是正数就是负数 （ ）(7)一个有理数不是整数就是分数 （ ）

二． 数轴，相反数，绝对值：
1. 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。
2. 相反数：只有符号不同的两个数是相反数。
3. 绝对值：一个数到原点的距离，称为这个数的绝对值。
总结：1.任何一个有理数都可以表示在数轴上，但是数轴上的点不一定是有理数。
2. 数轴的用途：（1）比较数的大小：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3. 互为相反数的两个数的特点：
（1） 到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2） 互为相反数的两数相加和为0. 即：
互为相反数的两个数相除为 即：

4. （1）一个正数的绝对值是它本身。
（2）一个负数的绝对值是它的相反数。= 0
(3)0的绝对值是0.
（4） 任何一个有理数的绝对值都是大于等于0。即：
（5） 如果一个数的绝对值是它本身，则这个有理数是非负数。即：如果有，则
（6） 如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是非正数。即：如果有，则
1. 填空：（1）已知，则（ ）
（2）相反数是它本身的数是（ ），绝对值是它本身的数是（ ）。
(3)若有理数，则是（ ）数。 (4) 已知，则（ ）。
(5)若，则（ ）。
(6)当（ ）时，有最小值。
(7) 最小的自然数（ ），最小的正整数（ ），最大的负整数（ ）,绝对值最小的数（ ）。
2. 判断：
（1）0没有绝对值。（ ） （2）没有绝对值最小的数。（ ）
（3） 负数的绝对值大于它本身。（ ）（4）任何数的绝对值都大于0。（ ）
（5） 若，则。（ ）（6）若，则（ ）
（7） 若，则。（ ）（8）若，则。（ ）
3. 解答题：
（1） 已知且，求。

（2） 若的相反数是最小的质数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，求的值。

三．有理数的混合运算及乘方：
1. 个相同因数的积的运算叫做乘方。记作： 其中叫做底数，叫做指数。
2. 乘方运算的符号法则：
（1） 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（2） 0的任何非0次幂是0，1的任何次幂是1
（3） .
（4）
3.有理数混合运算的顺序：
（1）有括号先算括号，先算乘方，再算乘除，最后算加减。同级运算依次计算。
4.倒数：互为倒数的两个数相乘为1。注意：0没有倒数。
填空：（1）（ ），（ ），（ ）
（ ），（ ），（ ）
（2） 如果，那么（ ）
（3） 已知为任意有理数，规定，则（ ）
（4） 绝对值不超过3的所有负整数的和（ ），绝对值不超过3的所有负整数的倒数和（ ）。倒数等于它本身的数（ ）
（5） 若与互为相反数，则（ ）。
（6） 若，则的值为（ ）。 （8）一个数与它相反数的积是（ ）。
（9）若是正数，则是（ ）。 （10）若，那么（ ）
（11）一个数的倒数的相反数4，则这个数为（ ）。
解答题：
（1） 已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值等于2，求

（2） 已知求的值。

（3）“*”表示一种新运算，它的意义是，如求，

第三章 字母表示数
1. 代数式是用基本运算符号把数字、表示数的字母连接起的式子
注意：（1）单独一个数或一个字母也是代数式。
（2）式子不含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”
（3） 代数式的规范书写：数字必须写在字母的前面；除号必须写成分数线；乘号可以省略；带分数要化成假分数
2. 不含加减运算的代数式称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;
所有字母的“指数和”叫做这个单项式的次数.
3. 几个单项式的和.叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项。构成多项式的单项式中,次数最大的单项式的次数叫该多项式的次数
4. .一个多项式含有几项，就叫做几项式;次数是几就叫做 几次式。不含字母的项 叫做常数项；常数项的系数是1，次数是0。
5. 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
练习：
（1） 的系数是（ ），次数（ ）。
（2） 若代数式，则的值是（ ）。
（3） 若代数式当时其值为，则当时代数式的值（ ）
（4） 多项式是（ ），的系数（ ），次数（ ）
（5） 如果与是同类项，那么（ ），（ ）
（6） 若为常数，代数式为三项式，则的值（ ）
（7） 若单项式与可合并为，则的值是（ ）
（8） 代数式的值与（ ）
（9） 已知,则（ ）
（10） 已知，则（ ）
（11） 已知，则（ ）
解答题：
（1） 已知与是同类项求代数式的值。

如果代数式合并同类项后不含项，求的值。

已知，求代数式的值。

合并同类项：

求下列各式的值：
，其中

其中

，其中

第五章 解方程
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.只含有一个未知数，并且未知数的次数为1整式方程叫做一元一次方程。（未知数的系数不为0）
3.解方程的步骤：（1）有括号去括号，有分母去分母，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1. 移项要变号。
4.等式的性质：（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
（2）等式两边同时乘以一个（或除以同一 个不为0的）数，所得结果仍是等式
5.日历中的数都是整数，最小的数是1，最大的数是31；一个竖列上三个日期的和必须是一个大于或等于24且小于或等于72的数。竖列上的三个日期的和，必须是一个3的倍数。
练习：（1），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）上式中的方程（ ），一元一次方程（ ）
（2） 若与是同类项，则（ ）
（3） 若是关于的一元一次方程，则（ ）
（4） 已知是关于方程的解，则（ ）
（5） 若，则（ ）
（6） 方程的解是，那么（ ）
（7） 已知关于的方程的解是，则的值是（ ）
（8） 已知是方程的解，则关于的方程的解为（ ）
（9） 已知的倒数与互为相反数，则（ ）
计算：

已知方程的解与方程的解相同。求的值；;的值

对于有理数规定运算“”的意义：，求方程的解

已知是关于的方程的解，求代数式的值

若，代数式的值比多，求

当时代数式的值是，求当时，代数式的值