资源描述
2016年福建省厦门双十中学、海沧实验中学、南安一中联考高考数学模拟试卷（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁UA）∩B=（ ）
A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．设z=1+i（是虚数单位），则=（ ）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i
3．化简的结果是（ ）
A．cos160° B．﹣cos160° C．±cos160° D．±|cos160°|
4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A．6万元 B．8万元 C．10万元 D．12万元
5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ）
A．8 B． C．12 D．16
11．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．
14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．
15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（n∈N*）
求：（1）数列{an}的通项公式an；
（2）若bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和 Tn．
18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
低碳族人数
占本组的频率
第一组
[25，30）
120
0.6
第二组
[30，35）
195
p
第三组
[35，40）
100
0.5
第四组
[40，45）
a
0.4
第五组
[45，50）
30
0.3
第六组
[50，55）
15
0.3
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．
19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．
20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．
（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
2016年福建省厦门双十中学、海沧实验中学、南安一中联考高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁UA）∩B=（ ）
A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】对应思想；定义法；集合．
【分析】根据补集的定义先求出∁UA，再计算（∁UA）∩B．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，
∴∁UA={2，4，6}，
∴（∁UA）∩B={2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的简单运算问题，是基础题目．
2．设z=1+i（是虚数单位），则=（ ）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】把复数z=1+i代入后直接运用复数的除法运算．
【解答】解：因为z=1+i，所以．
故选B．
【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．
3．化简的结果是（ ）
A．cos160° B．﹣cos160° C．±cos160° D．±|cos160°|
【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．
【专题】计算题．
【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．
【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°
故选B
【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）
A．6万元 B．8万元 C．10万元 D．12万元
【考点】用样本的频率分布估计总体分布．
【专题】计算题；图表型．
【分析】设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额．
【解答】解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，
故选 C．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题．在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率．
5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得．
【解答】解：∵，且，
∴•（﹣）=﹣=1﹣1×2×cos＜，＞=0，
解得cos＜，＞=，
∴向量和的夹角＜，＞=，
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题．
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．
【解答】解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，
∴a4•a14=（2）2=8，
∵a4•a14=（a9）2，
∴a9=2，
∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．
7．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（，），
化目标函数z=x﹣2y为，
由图可知，当直线过A时，最小在y轴上的截距最大，z有最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
9．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．
【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．
【解答】解： =，
∵函数f（x）的最大值为2，
∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，
∴函数f（x）的周期T=4×=6π，
由周期公式可得T==6π，解得ω=，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ）
A．8 B． C．12 D．16
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．
【解答】解：根据题意，得；
该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，
且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，
所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4，AC=AB==，AD==6，
S△ABC=×4×4=8．S△ADC==4，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC中，作CE⊥E，连结DE，则CE==，DE==，
S△ABD==12．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．
11．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．
【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），
联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），
解之可得x=，y=
故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），
将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，
化简可得c2=5a2，故可得e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．
12．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．
【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；
x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；
x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．
不妨设0＜a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=1，2015＞c＞1，
∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= e ．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．
【解答】解：∵1＜ln3＜2，
∴2＜ln3+1＜3，
由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，
故答案为：e．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．
14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，
切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），
所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 12π ．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．
【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，
∴△PAB≌△PAC≌△PBC．
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC．
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：
则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．
∵长方体的对角线长为，
∴球直径为2，半径R=，
因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为 ．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．
【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可得，由三角函数恒等变换的应用化简可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：在△ABC中，由题意得：，
由余弦定理得：，
所以，
即，
所以当时，取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（n∈N*）
求：（1）数列{an}的通项公式an；
（2）若bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和 Tn．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由，当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）由（1）可得，．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵，
∴当n=1时，a1=S1=3．
（*），
显然，当n=1时也满足（*）式，
综上所述，．
（2）由（1）可得，．
其前n项和①
则②
①﹣②得，
=
=﹣2n•3n+1，
∴．
【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
低碳族人数
占本组的频率
第一组
[25，30）
120
0.6
第二组
[30，35）
195
p
第三组
[35，40）
100
0.5
第四组
[40，45）
a
0.4
第五组
[45，50）
30
0.3
第六组
[50，55）
15
0.3
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为=0.06，在有频率分布直方图会全图形即可．
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．
【解答】解：（1）第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以 n==1000．
由题可知，第二组的频率为 1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以 p==0.65，
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．
频率直方图如下：
（2）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．
设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有
（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、
（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；
其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、
（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．
∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为P=．
【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．
19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；
（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又∵CF∩EF=F，CF⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴BD⊥面EFC，∵BD⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面EFC．
（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD⊂平面ABD，EF⊂平面ABD，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，∴，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴，
∴．
【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】综合题；直线与圆．
【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），
根据题意得，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，
即S=2．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；
（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ），
所以…
由题设知f'（1）=2﹣b=0，
∴b=2…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
故只需证，
设，…
F′（x）=2x﹣1﹣+==
令F′（x）=0，得…
当时，F′（x）＜0，
当时，F'（x）＞0，
所以，…
所以，g（x）＞f（x）﹣2ln2…
【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系，以及构造函数利用函数单调性最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．
（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．
【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．
（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．
【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…
又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…
所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…
（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…
又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…
所以，…
所以AE•DC=AB•BE…
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．
【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【专题】计算题．
【分析】（1）把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程是x2+y2=2，把曲线C2的参数方程化为普通方程是．
（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，由此求得t的取值范围．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=2，表示以原点（0，0）为圆心，半径等于的圆．
曲线C2的普通方程是，表示一条垂直于x轴的线段，包括端点． …
（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，
解得，即t的取值范围为 （0，）∪（，+∞）．…
【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．
【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，
得x＞﹣5，所以x≥4成立；
当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；
（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|
≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，
当﹣时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9．
即m的取值范围为（﹣∞，9]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．
第25页（共25页）
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
