高考与阿基米德三角形-可与圆锥曲线结合!.doc

数学高考中的阿基米德三角形一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。证明：设，为弦中点，则过的切线方程为，过的切线方程为：，联立方程组得：解得两切线交点，进而可知轴。性质2：若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线。证明：设，由性质1，所以有 。由三点共线知 即 将 代入得 ，即为点的轨迹方程。性质3：抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹。性质4：若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。证明：设方程为，且，弦过点，由性质2可知点的轨迹方程为，该方程与表示同一条直线，对照可得，即弦过定点。性质5：底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为。证明：，设到的距离为，由性质1知设直线的方程为 ，则，所以。性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为。证明：由性质2，若底边过焦点，则，点的轨迹方程是，即为准线；易验证，即，故阿基米德三角形为直角三角形，且为直角顶点。所以 而性质7 ：在阿基米德三角形中，。证明：如图，作准线，准线，连接，则，显然，所以 ，又因为 ，由三角形全等可得，所以同理可得 所以 性质8：证明：而 性质9 的中点在抛物线上，且点处的切线与平行。证明：由性质1知，可得点坐标为，此点显然在抛物线上；过点的切线斜率为，结论得证。二、 例题解析1（2008年山东卷理科第22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为（）求证：三点的横坐标成等差数列；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；yxBAOM（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由（）证明：由题意设由得，得，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以，由、得，因此，即所以三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：，所以是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点综上所述，仅存在一点适合题意2（2007年江苏卷理科19题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）12.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。4（2005年江西卷理科22题）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.【解答】（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.4（2006年全国卷2 理科第21题）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。解： F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为 (1)过B点的切线方程为 (2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值2. =0可得三角形面积 所以当且仅当时取等号广东模考试题5.（本小题满分14分）2010届广州二模 已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的 不同两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且，与相交于点. (1) 求点的纵坐标； (2) 证明：、三点共线； (3) 假设点的坐标为，问是否存在经过、两点且与、都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.6.(2009韶关一模本题满分13分)已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若、是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以、为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以N（0，2）为焦点，L：y2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x28y（II）直线AB与x轴不垂直，设AB：ykx+2A（x1，y1），B（x2，y2）x28kx160，x1+x28k，x1x216抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，所以，NQ（2011惠州三模）已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y2相切（）求动圆圆心的轨迹C的方程；（）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ【分析】（I）由题意可得：动圆圆心到定点（0，2）与到定直线y2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程即可；（II）设AB：ykx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题解：（I）依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y2为准线的抛物线上（2分）因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x28y（5分）（II）直线AB与x轴不垂直，设AB：ykx+2A（x1，y1），B（x2，y2）（6分）x28kx160，x1+x28k，x1x216（8分）抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，所以，AQBQ（2017山东模拟）已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y1相切（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若点A（x0，y0）是直线xy40上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N求证：直线MN恒过定点；AMN的面积S的最小值【分析】（1）动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y1相切由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程（2）x24y，可得y，设M（x1，y1），N（x2，y2），曲线在点M的曲线方程为：yxy1，在点N处的曲线方程为：yxy2，代入点A（x0，y0），可得直线MN的方程：y，其中y0x04，即x0（x2）+2（4y）0，即可证明直线MN恒过定点联立，化为：x22x0x+4y00，利用根与系数的关系可得|MN|点A到直线MN的距离d利用Sd|MN|，即可得出（1）解：动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y1相切由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程：x24y（2）证明：x24y，y，设M（x1，y1），N（x2，y2），曲线在点M的曲线方程为：yxy1，在点N处的曲线方程为：yxy2，代入点A（x0，y0），可得直线MN的方程：y，其中y0x04，即x0（x2）+2（4y）0，直线MN恒过定点P（2，4）解：联立，化为：x22x0x+4y00，0，x1+x22x0，x1x24x016|MN|点A到直线MN的距离dSd|MN|，令t+1212，则S，当且仅当x02，y02时，取等号AMN的面积S的最小值为1220（本小题满分14分）2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由图613