山西省太原市第十二中学2025届数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

山西省太原市第十二中学2025届数学高一第二学期期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（　）
A．二升 B．三升 C．四升 D．五升
3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，则的值为( )
A． B． C． D．
4．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
5．若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
6．如图，中，，，用表示，正确的是( )

A． B．
C． D．
7．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．设等比数列的前项和为，若，公比，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．30 D．31
9．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，，且，则______．
12．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.
13．已知是内的一点，，，则 _______；若，则_______.
14．已知向量，，则______.
15．在中，，，点为延长线上一点，，连接，则=______.
16．在中，为边中点，且，，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且，向量， .
（1）求函数的解析式，并求当时， 的单调递增区间；
（2）当时， 的最大值为5，求的值；
（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．设数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否对一切正整数，有？说明理由.
19．已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m=1．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：y=x﹣m与圆C相切，求m的值．
20．己知 ，，且函数的图像上的任意两条对称轴之间的距离的最小值是.
（1）求的值：
（2）将函数的图像向右平移单位后，得到函数的图像，求函数在上的最值，并求取得最值时的的值.
21．如图，已知圆： ，点.

（1）求经过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.
考点：不等式
2、B
【解析】
由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．
【详解】
由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为，故选B．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，根据三角函数的定义可得.
故选：C.
本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4、A
【解析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．
故选：A．
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
5、A
【解析】
由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
由平面向量基本定理和三角形法则求解即可
【详解】
由，可得，则，即.
故选C.
本题考查平面向量基本定理和三角形法则,熟记定理和性质是解题关键,是基础题
7、B
【解析】
先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.
【详解】
因为，所以，
整理得：，
解得，
所以，
同理，.
故选B
本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、A
【解析】
直接利用等比数列前n项和公式求.
【详解】
由题得.
故选A
本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、D
【解析】
本题首先可根据数列是各项均为正数的等比数列以及计算出的值，然后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果．
【详解】
因为等比数列的各项均为正数，，
所以，，
所以，
故选D．
本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为以及在等比数列中有，考查计算能力，是简单题．
10、B
【解析】
利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.
【详解】
，又，，
，又，
，又，
，，
，，，
解得：或，
一定是直角三角形.
本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对的形状作出判断.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据的坐标表示，即可得出，解出即可．
【详解】
，，．
本题主要考查平行向量的坐标关系应用．
12、2 n2.
【解析】
由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.
【详解】
由题意，有，即，解得，
所以.
故答案为：，.
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.
13、
【解析】
对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.
【详解】
∵，
∴；
∵，
∴
解得：，∴.
故答案为：；.
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.
14、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
15、.
【解析】
由题意,画出几何图形.由三线合一可求得,根据补角关系可求得.再结合余弦定理即可求得.
【详解】
在中,,
作,如下图所示:

由三线合一可知为中点
则
所以
点为延长线上一点,
则在中由余弦定理可得

所以
故答案为:
本题考查了等腰三角形性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
16、0
【解析】
根据向量，，取模平方相减得到答案.
【详解】

两个等式平方相减得到：

故答案为0
本题考查了向量的加减，模长，意在考查学生的计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ， 单调增区间为；（2）或；（3）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.
试题解析：
（1）

∵
∴
∴单调增区间为
（2）当时，
若，，∴
若，，∴
∴综上，或.
（3）在上恒成立，
即在上恒成立，
∴
在上最大值2，最小值，
∴
∴的取值范围.
点睛: 本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.
18、（1）；（2）对一切正整数，有.
【解析】
（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数n，有，
考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。
【详解】
（1）

当时，
两式做差得
，
，当时，上式显然成立，。
（2）证明：当时，
可得
由
可得
即有<
则当时，不等式成立。
检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。
本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
19、（1）当m＜2时，曲线C表示圆（2）m=±3
【解析】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=1，
得（x+1）2+（y+2）2=2﹣m，
由2﹣m＞1，得m＜2．
∴当m＜2时，曲线C表示圆；
（2）圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为．
∵直线l：y=x﹣m与圆C相切，
∴，
解得：m=±3，满足m＜2．
∴m=±3．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
20、（1）1；（1）此时，此时
【解析】
（1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（2）＝2求出的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
（1）由条件利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g（x）在x∈[]上的最值．
【详解】
（1）f（x）＝sin（ωx+）+cos（ωx+）＝，故，求得ω＝1．
再根据 ，可得＝﹣，
故．
（1）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）＝的图象.
∵x∈[]，∴，当时，即时，g（x）取得最大值为；
当时，即时，g（x）取得最小值为2．
本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y＝Asin（ωx+）的部分图象求解析式，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21、（1）或；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值
试题解析：（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．
当切线的斜率存在时，设： ，即，
圆心到切线的距离等于半径3，
，解得．
切线方程为，即
故所求直线的方程为或．
（2）由题意可得， 点的轨迹是以为直径的圆，记为圆．
则圆的方程为．
从而，
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．