2025届南阳六校高一数学第二学期期末达标测试试题含解析.doc

2025届南阳六校高一数学第二学期期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
2．若实数，满足约束条件则的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（　 ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
5．以点为圆心，且经过点的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
6．若平面α∥平面β，直线平面α，直线n⊂平面β，则直线与直线n的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
7．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．-2 D．
8．的值等于（）
A． B． C． D．
9．在正四棱柱中，，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C． D．
10．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，，，则，，从小到大排列为______
12．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.
13．将角度化为弧度：________.
14．将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）
①g（x）的最小正周期为4π；
②g（x）在区间[0，]上单调递减；
③g（x）图象的一条对称轴为x；
④g（x）图象的一个对称中心为（，0）．
15．_______________.
16．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．
19．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
20．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求．
21．已知函数为奇函数，且．
（1）求实数a与b的值；
（2）若函数，数列为正项数列，，且当，时，，设（），记数列和的前项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为1.4，
∴42=1．4×2．5+a，
∴=1．1，
∴线性回归方程是y=1．4x+1．1，
∴广告费用为6万元时销售额为1．4×6+1．1=3．5
考点：线性回归方程
2、A
【解析】
的几何意义为点与点所在直线的斜率，根据不等式表示的可行域，可得出取值范围.
【详解】
的几何意义为点与点所在直线的斜率．
画出如图的可行域，当直线经过点时，；当直线经过点时，．
的取值范围为,故选A.

本题考查了不等式表示的可行域的画法，以及目标函数为分式时求取值范围的方法.
3、D
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围.
【详解】
由题意得：，
， 是以为首项，为公比的等比数列

为递增数列 ，即
①当时，， ，即
只需即可满足
②当时，， ，即

只需即可满足
综上所述：实数的取值范围为
故选：
本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.
4、A
【解析】
先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.
【详解】
圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，
它们的圆心距等于，等于半径之和，
两个圆相外切.
故选A.
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
5、B
【解析】
通过圆心设圆的标准方程，代入点即可．
【详解】
设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．
故选B
此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．
6、D
【解析】
由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论．
【详解】
平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，
即有直线与直线也无公共点，可得它们异面或平行，
故选：D．
本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题．
7、B
【解析】
按三角函数的定义，有.
8、C
【解析】
根据特殊角的三角函数值，得到答案.
【详解】
.
故选C项.
本题考查特殊角的三角函数值，属于简单题.
9、A
【解析】
计算的面积，根据可得点到平面的距离．
【详解】
中，，，
∴的边上的高为，
∴，
设到平面的距离为，则，
又，
∴，解得．
故选A．

本题涉及点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.
10、B
【解析】
利用分层抽样的定义和方法求解即可.
【详解】
设应抽取的女生人数为，则，解得．
故选B
本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.
【详解】
由题知，
，

，
因为正弦函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.
12、
【解析】
由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.
【详解】

因为，所以异面直线和所成角，
设正方体的棱长为，
则直角三角形中，，
，故答案为.
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
13、
【解析】
根据角度和弧度的互化公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.
14、②④．
【解析】
利用函数的图象的变换规律求得的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，
则函数的最小正周期为，所以①错误的；
当时，，故在区间单调递减，
所以②正确；
当时，，则不是函数的对称轴，所以③错误；
当时，，则是函数的对称中心，所以④正确；
所以结论正确的有②④.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15、2
【解析】
利用裂项求和法将化简为，再求极限即可.
【详解】
令.

.
.
故答案为：
本题主要考查数列求和中的列项求和，同时考查了极限的求法，属于中档题.
16、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得，从而得．
（2）用余弦定理求得，再由三角形面积公式可得三角形面积．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理，
因为，，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，，，
由余弦定理得，
解得或，均适合题.
当时，的面积为.
当时，的面积为.
本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．
18、（I）；(II)
【解析】
（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可
【详解】
（I），由正弦定理得
整理得
，则
，，.
(II)，
，两边平方得

本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题
19、（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【解析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】
由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
三角函数值域得不同求法：
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．
【详解】
（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，
又．
可得，
∴sinBcosBsinB，
则．
又∵B∈（0，π），可得．
（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，
解得．
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.
【详解】
（1）因为为奇函数，，
得，又，得.
（2）由（1）知，得，又
，
化简得到：，又，所以，又，
故，则数列的前项和；
又，则数列的前项和为
，
对恒成立对恒成立
对恒成立，令，则
当为奇数时，原不等式对恒成立
对恒成立，又函数在上单增，故
有；
当为偶数时，原不等式对恒成立
对恒成立，又函数在上单增，故
有.
综上得.
这个题目考查了函数的奇偶性的应用以及数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，还涉及不等式恒成立的问题，属于综合性较强的题目，数列中最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．