广东省龙城高级中学2025届数学高一第二学期期末达标测试试题含解析.doc

广东省龙城高级中学2025届数学高一第二学期期末达标测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，已知、、分别是角、、的对边，若，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是
A．至多有一件是次品 B．两件都是次品
C．只有一件是次品 D．两件都不是次品
5．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（ ）

A． B．
C． D．
7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( 　)
A． B． C． D．
8．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（ ）
A． B． C． D．
9．若三个实数a，b，c成等比数列，其中，，则b＝（　　）
A．2 B．－2 C．±2 D．4
10．已知函数，当时，取得最小值，则等于（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列中，，则___________.
12．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.

13．如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线剪开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________

14．将正偶数按下表排列成列，每行有个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字所在的行数与列数分别是_______________.

第列
第列
第列
第列
第列
第行

第行

第行

第行

…
…

15．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　.
16．函数的反函数为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
18．在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
19．已知公差不为0的等差数列的前项和为， ，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．写出集合的所有子集．
21．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．
【详解】
∵，
∴由正弦定理可得
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形
故选D．
判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
2、C
【解析】
根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.
【详解】
由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球
底面正方形对角线长为：
外接球半径
外接球体积
本题正确选项：
本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.
3、B
【解析】
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．
【详解】
；
∵；
∴；
解得．
故选B.
本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．
4、D
【解析】
试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．
解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个
又∵事件A：“至少有一件次品”，
∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，
即是两件都不是次品．
故答案为 D．
点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．
5、A
【解析】
首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.
【详解】
，恒成立，
等价于，恒成立.
令，对称轴为.
即等价于，即可.
当时，
得到，解得：.
当时，
得到，解得：.
当时，
得到，解得：.
综上所述：.
故选：A
本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.
6、D
【解析】
根据向量线性运算法则可求得结果.
【详解】
为中点

本题正确选项：
本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型.
7、D
【解析】
由题意可得中间部分的为20个面包，设最小的一份为，公差为，可得到和的方程，即可求解.
【详解】
由题意可得中间的那份为20个面包，
设最小的一份为，公差为，
由题意可得，解得，故选D.
本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中根据题意设最小的一份为，公差为，列出关于和的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.
【详解】
解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，

过作交于点，则，故，
则为等边三角形，
故，
的外接圆方程为，①
的内切圆方程为，②
①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,
的外接圆圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为，
故答案为：C.
本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.
9、C
【解析】
由实数a，b，c成等比数列，得,从而得解.
【详解】
由实数a，b，c成等比数列，得.
所以.
故选C.
本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.
10、B
【解析】
先对函数进行配凑，使得能够使用均值不等式，再利用均值不等式，求得结果.
【详解】
因为
故
当且仅当，即时，取得最小值.
故，则.
故选：B.
本题考查均值不等式的使用，属基础题；需要注意均值不等式使用的条件.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-1
【解析】
首先根据，得到是以，的等差数列. 再计算其前项和即可求出，的值.
【详解】
因为，.
所以数列是以，的等差数列.
所以.
所以，，.
故答案为：
本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前项和的计算，属于简单题.
12、2
【解析】
根据茎叶图的数据和平均数的计算公式，列出方程，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，可得，即，解得.
本题主要考查了茎叶图的认识和平均数的公式的应用，其中解答中根据茎叶图，准确的读取数据，再根据数据的平均数的计算公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13、
【解析】
设正方形的边长为，正方形的边长为，分别求出阴影部分的面积和平行四边形的面积，最后利用几何概型公式求出概率.
【详解】
设正方形的边长为，正方形的边长为，在长方形中，
，
故平行四边形的面积为，
阴影部分的面积为，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.
本题考查了几何概型概率的求法，求出平行四边形的面积是解题的关键.
14、行列
【解析】
设位于第行第列，观察表格中数据的规律，可得出，由此可求出的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出的值，由此可得出结果.
【详解】
设位于第行第列，
由表格中的数据可知，第行最大的数为，则，解得，
由于第行最大的数为，所以，是表格中第行最小的数，
由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第列，那么.
因此，位于表格中第行第列.
故答案为：行列.
本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.
15、
【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.
【详解】
因为区间总长度为，
符合条件的区间长度为，
所以，由几何概型概率公式可得，
在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，
故答案为：.
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
16、
【解析】
由得，即，把与互换即可得出
【详解】
由得
所以
把与互换，可得
故答案为：
本题考查的是反函数的求法，较简单.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得
，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;
（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.
【详解】
解：（1）由知
所以，即，从而
所以，数列是以2为公比的等比数列
又可得，
综上所述，故.
（2）由（1）可知，故，
综上所述，所以，故而
所以.
本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.
18、 (1) ．(2)
【解析】
（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件.
【详解】
解：（1）由正弦定理得，
由余弦定理得，
∴．又∵，∴．
（2）由余弦定理得，即，
化简得，
，
即，
当且仅当时，取等号．
∴．
在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.
19、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；（2）由题意推导出bn＝22n+1+1，由此利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．
详解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，所以. ①
因为成等比数列，所以. ②
由①，②可得： .
所以.
（Ⅱ）由题意，设数列的前项和为，,
，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列
所以
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
20、
【解析】
根据集合的子集的定义列举出即可．
【详解】
集合的所有子集有：
本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
21、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3 （2）
【解析】
（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计算出每组抽取的人数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
（1）：，.
用分层抽样比较合适.
第1组应抽取的人数为，
第2组应抽取的人数为，
第3组应抽取的人数为，
第4组应抽取的人数为，
第5组应抽取的人数为.
（2）（1）中25人的样本中的优秀员工中，
第4组有3人，记这3人分别为，
第5组有3人，记这3人分别为.
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
选取的2名工人在同一组的基本事件有，，，，，共6个，
故选取的2名工人在同一组的概率为.
本小题主要考查补全频率分布，考查分层抽样，考查古典概型的计算，属于基础题.