2025届黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025届黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校数学高一下期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:
①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有
正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知,下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知都是正数,且，则的最小值等于
A． B．
C． D．
6．三棱锥则二面角的大小为( )
A． B． C． D．
7．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

A． B． C． D．
8．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
9．已知函数，在下列函数图像中，不是函数的图像的是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则______.
12．函数的反函数为____________．
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
14．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；
15．在中，给出如下命题:
①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；
②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
③是内一定点，且，则；
④若且，则为等边三角形，
其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）
16．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知中，.设，，它的内接正方形的一边在斜边上，、分别在、上.假设的面积为，正方形的面积为.

（Ⅰ）用表示的面积和正方形的面积；
（Ⅱ）设，试求的最大值，并判断此时的形状.
18．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
19．已知直线的方程为，其中.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
20．已知点，，均在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于,两点，求的长；
（3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.

（1）求函数的表达式及定义域；
（2）求的最大值及此时的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．
【详解】
，可得，即，
时，，，
相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确；
由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：．
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2、A
【解析】
根据对数函数的定义域直接求解即可.
【详解】
由题知函数，
所以，
所以函数的定义域是.
故选：A.
本题考查了对数函数的定义域的求解，属于基础题.
3、A
【解析】
逐个选项进行判断即可.
【详解】
A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.
故选A.
此题考查不等式的基本性质，是基础题.
4、D
【解析】
首先根据三角函数的定义，求得，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.
【详解】
由已知得，则.
故选D
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.
5、C
【解析】
,故选C.
6、B
【解析】
P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．
【详解】
因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形
又因为PA＝PB＝PC 所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．
设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4 所以tan∠PED 所以∠PED＝60°
即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°
故答案为60°．
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．
7、D
【解析】
设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【详解】
设OA＝1，则AB，
，
以AB中点为圆心的半圆的面积为，
以O为圆心的大圆面积的四分之一为，
以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，
黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，
图Ⅲ部分的面积为π﹣1．
设整个图形的面积为S，
则p1，p1，p3．
∴p1＝p1＞p3，
故选D．

本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．
8、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．
【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1） 
∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ）， 
∴ = + =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） 
= + =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1） 
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0 
∴  
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 
因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B. 
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
9、C
【解析】
根据幂函数图像不过第四象限选出选项.
【详解】
函数为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数的图像.
故选：C.
本小题主要考查幂函数图像不过第四象限，属于基础题.
10、A
【解析】
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】
由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题.
12、
【解析】
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，即可得到结果.
【详解】
解：记
∴
故反函数为：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
13、
【解析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
14、
【解析】
根据模的计算公式可直接求解.
【详解】

故填：.
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
15、①②④．
【解析】
①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；
②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；
③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；
④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.
【详解】
①: ，同理可得：,，所以本命题是真命题；
②: ，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；
③: 由，可得设的中点为，,
,故本命题是假命题；

④: 由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，
由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.
本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.
16、
【解析】
作出函数的图像，根据图像可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
作出函数的图像，由图可知

故答案为：
本题考查了正弦型函数的图像，考查了数形结合思想，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），；，（Ⅱ）最大值为；为等腰直角三角形
【解析】
（Ⅰ）根据直角三角形，底面积乘高是面积；然后考虑正方形的边长，求出边长之后，即可表示正方形面积；
（Ⅱ）化简的表达式，利用基本不等式求最值，注意取等号的条件.
【详解】
解：（Ⅰ）∵在中，∴，. ∴
∴，
设正方形边长为，则，，
∴.
∴，
∴，
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得

，
令，
∵在区间上是减函数
∴当时，取得最小值， 即取得最大值。
∴的最大值为
此时
∴为等腰直角三角形
（1）函数的实际问题中，不仅要根据条件列出函数解析式时，同时还要注意定义域；
（2）求解函数的最值的时候，当取到最值时，一定要添加增加取等号的条件.
18、 (1) (2)见解析
【解析】
(1)首先化简三角函数式，然后确定平移变换之后的函数解析式即可；
(2)结合(1)中函数的解析式确定函数的最大值即可.
【详解】
（1）

.
由题意得，
化简得.
（2）∵，
可得，
∴.
当时，函数有最大值1；
当时，函数有最小值.
本题主要考查三角函数图像的变换，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19、（1）见解析;（2）5;（3）见解析
【解析】
试题分析：
(1)分离系数m，求解方程组可得直线恒过定点；
(2)结合(1)的结论可得点到直线的距离的最大值是5；
(3)由题意得到面积函数： ，注意等号成立的条件.
试题解析：
（1）证明：直线方程
可化为
该方程对任意实数恒成立，所以
解得，所以直线恒过定点
（2）点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即
（3）由于直线过定点，分别与轴，轴的负半轴交于两点，
设其方程为，则
所以
当且仅当时取等号，面积的最小值为4
此时直线的方程为
20、（1）；（2）；（3）存在，和.
【解析】
（1）根据圆心在，的中垂线上，设圆心的坐标为，根据求出的值，从而可得结果；
（2）利用点到直线的距离公式以及勾股定理可得结果；
（3）首先验证直线的斜率不存在时符合题意，然后斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理，根据列方程求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可得：圆心在直线上，
设圆心的坐标为，则，
解得，即圆心，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）圆心到直线的距离为：，
；
（3）设，
由题意可得：，且的斜率均存在，
即，
当直线的斜率不存在时，，则，
满足，故直线满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得，
则，
由得,
即，
即，
解得： ，
所以直线的方程为，
综上所述，存在满足条件的直线和.
本题考查直线和圆的位置关系，注意对于直线要研究其斜率是否存在，另外利用韦达定理可以达到设而不求的目的，本题是中档题.
21、（1）（2）当时，取最大值.
【解析】
（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令，则，，再求最值即可.
【详解】
解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，
由已知可知，
在中，.，，
梯形ABCD的高，
则.
（2）设，则，，
则 ，，
则.
，当时，，
此时，即，
，，，故.
故的最大值为，此时.

本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题