云南省玉溪市第一中学2024-2025学年高一下数学期末调研试题含解析.doc

云南省玉溪市第一中学2024-2025学年高一下数学期末调研试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )

A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙
B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D．甲乙两队得分的极差相等
4．若向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样法
7．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
8．已知，，直线，若直线过线段的中点，则（ ）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
9．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
10．已知数列{an}满足且，则的值是( )
A．－5 B．－ C．5 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下边程序执行后输出的结果是（ ）．

12．一个圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为________．
13．函数的定义域是_______________.
14．函数的定义域是________
15．已知在中，，则____________.
16．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为3元，根据以往的经验售价为4元时，可卖出280桶；若销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？
19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：
（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

20．已知三角形的三个顶点，，.
（1）求线段的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
21．已知圆与直线相切
（1）若直线与圆交于两点，求
（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．
【详解】
易求得线段的方程为，得，
由直线的方程得
，
当时，，此时，；
当时，，此时，．
因此，实数的取值范围是或，故选A．
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．
2、A
【解析】
先求出再利用正弦定理求解即可.
【详解】
，，，
由正弦定理可得，
解得，
故选：A.
本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.
3、C
【解析】
由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．
【详解】
29；30，∴∴A错误；
甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；
甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；
排除可得C选项正确，
故选C．
本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.
4、B
【解析】
根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出的坐标表示.
【详解】
因为且，所以，
所以，所以.
故选：B.
本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知，若则有.
5、B
【解析】
由正弦定理可得，化简后求出，然后求出即可．
【详解】
，，
，，
，．
故选：．
本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
6、D
【解析】
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
【详解】
总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：1，所抽取的比例也是16：12＝4：1．
故选D．
本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．
7、B
【解析】
由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．
【详解】
在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，
连接，则为直角三角形，
不妨设，则，所以,
故选B．

本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、B
【解析】
根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.
【详解】
因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选
本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.
9、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
10、A
【解析】
试题分析：即
数列是公比为3的等比数列
．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、15
【解析】
试题分析：程序执行中的数据变化如下：
，输出
考点：程序语句
12、
【解析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入圆锥的体积公式求解．
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为，底面积为，
则，解得，，∴高＝＝＝，
∴＝＝．
故答案为：．
本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的侧面积、底面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
13、
【解析】
解方程即得函数的定义域.
【详解】
由题得，解之得
故答案为.
本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
14、
【解析】
根据的值域为求解即可.
【详解】
由题.故定义域为.
故答案为：
本题主要考查了反三角函数的定义域,属于基础题型.
15、
【解析】
根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.
【详解】
因为，所以且，
又，所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.
16、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P，使得平面，且．
【解析】
试题分析：（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明垂直平面内的两条相交直线．由题意易得四边形是菱形，所以，从而，即，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P使得PM平行平面内的一条直线即可．由于，故可取线段中点P，中点Q，连结．则，且．由此即可得四边形是平行四边形，从而问题得证．
试题解析：（ I ） 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故．
又因为，M为AE的中点所以，
即
又因为，
所以四边形是平行四边形．
所以
故．
因为平面平面， 平面平面，平面
所以平面．
因为平面， 所以．
因为，、平面，
所以平面．
（Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．
平面的法向量为．
设平面的法向量为， 因为，，
， 令得，．
所以， 因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ） 存在点P，使得平面．
法一: 取线段中点P，中点Q，连结．

则，且．
又因为四边形是平行四边形，所以．
因为为的中点，则．
所以四边形是平行四边形，则．
又因为平面，所以平面．
所以在线段上存在点，使得平面，．
法二：设在线段上存在点，使得平面，
设，（），，因为．
所以．
因为平面， 所以，
所以， 解得， 又因为平面，
所以在线段上存在点，使得平面，．
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角．
18、定价为每桶7元，最大利润为440元.
【解析】
若设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则，其
中，整理函数，可得取何值时，有最大值，即获得最大利润
【详解】
设定价在进价的基础上增加元，日销售利润为元，则
，
由于，且，所以，；
即，．
所以，当时，取最大值．
此时售价为，此时的最大利润为440元.
本题主要考查二次函数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1），
三棱锥P-ABC的体积为
.
（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线
BC与AD所成的角.
在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，
，所以∠ADE=.
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是.
20、（1）（2）.
【解析】
（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出边上的高所在的直线方程.
【详解】
（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,
所以,
所以线段的中线AD所在直线方程为
即.
（2）由题得,
所以AB边上的高所在直线方程为，
即.
本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）4；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用直线与圆相切，结合点到直线距离公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设，则，利用两点间距离公式表示出，化简可得结果.
【详解】
（1）由题意知，圆心到直线的距离：
圆与直线相切 圆方程为：
圆心到直线的距离：
，
（2）证明：设，则

即为定值
本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.