2025年云南省昆明市重点中学高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025年云南省昆明市重点中学高一数学第二学期期末经典试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ (　　)
A． B．3 C． D．
2．如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）

A．20米 B．15米 C．12米 D．10米
3．已知，且，那么a，b，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．两直角边分别为1,的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是( )
A． B．3π C． D．
5．函数的零点所在的一个区间是（ ）．
A． B． C． D．
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）

A．7 B．12 C．17 D．34
7．己知向量，.若，则m的值为( )
A． B．4 C．- D．-4
8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．16 B．20 C．24 D．28
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.
12．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
13．函数的单调增区间是________.
14．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .
15．某市三所学校有高三文科学生分别为500人，400人，300人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从三所高三文科学生中抽取容量为24的样本，进行成绩分析，则应从校高三文科学生中抽取_____________人．
16．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，，其前项和为.
（1）求的通项公式及；
（2）令，求数列的前项和，并求的值.
18．已知向量，满足：，，．
（Ⅰ）求与的夹角；
（Ⅱ）求．
19．记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式
（2）求，并求的最小值
20．如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.

21．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员在处先看到山顶的俯角为18°30′，经过后又在处看到山顶的俯角为81°

（1）求飞机在处与山顶的距离（精确到）；
（2）求山顶的海拔高度（精确到）
参考数据： ，
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，
所以
故选B.
主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.
2、B
【解析】
设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.
【详解】
设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.
故选B.

本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.
3、D
【解析】
直接用作差法比较它们的大小得解.
【详解】
；
；
.
故.
故选：D
本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、A
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式
可得．
【详解】
由题得直角三角形的斜边为2，则斜边上的高为.
由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中，

故选．
本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题.
5、B
【解析】
判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（1）函数值的大小，通过零点存在性定理判断即可
【详解】
函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜1，f（1）＝1+1＝1＞1，
可得f（﹣1）f（1）＜1．
由零点存在性定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，1）．
故选：B．
本题考查零点存在性定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
6、C
【解析】
第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7、B
【解析】
根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于，所以，解得.
故选B.
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.
8、C
【解析】
先由题意求出，再结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为是与的等比中项，
所以，故，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，取等号；
故选C
本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
9、B
【解析】
根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.
【详解】
有三视图可得几何体的直观图如下图所示：

其中：，，，
则：，，
，，

几何体表面积：
本题正确选项：
本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.
10、D
【解析】
利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若且，则，该选项错误；
对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；
对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；
对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选：D.
本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。
【详解】

当时，符合，

当时，符合，

一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。
12、
【解析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果.
【详解】
本题主要考查空间几何体的表面积与体积．
长方体的体对角线是长方体外接球的直径,
设球的半径为，则,
可得，球的表面积
故答案为.
本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题.
13、，
【解析】
先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出。
【详解】
因为，所以的单调增区间是，。
本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。
14、10
【解析】
根据等差数列的前n项和公式可得，结合等差数列的性质即可求得k的值．
【详解】
因为
，且
所以
由等差数列性质可知
因为
所以
则根据等差数列性质可知
可得
本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．
15、8
【解析】
利用分层抽样中比例关系列方程可求.
【详解】
由已知三所学校总人数为500+400+300=1200，设从校高三文科学生中抽取x人，由分层抽样的要求及抽取样本容量为24，所以，，故答案为8.
本题考查分层抽样，考查计算求解能力，属于基本题.
16、2
【解析】
根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.
【详解】
城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.
本市共有城市数24 ,
用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，
每个个体被抽到的概率是，
丙组中对应的城市数8，
则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.
本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式及前n项的和公式可得答案；
（2）利用“裂项求和”法可得答案.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，
又，解得.
所以.
所以.
（2）由，得.
设的前项和为，
则
.
本题主要考查等差数列的通项公式及前n项的和，及数列求和的“裂项相消法”，属于中档题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为，
所以．
所以．
因为，所以．
（Ⅱ）因为，
由已知，，
所以．
所以．
本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.
19、 (1) ；(2) ，最小值.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意求出，进而可得出通项公式；
（2）根据等差数列的前项和公式先求出，再由得到范围，进而可得出结果.
【详解】
（1）因为数列为等差数列，设公差为，
由可得，即，
所以；
（2）因为为等差数列的前项和，
所以，
由得，
所以当时，取最小值，且最小值为.
本题主要考查等差数列，熟记通项公式以及前项和公式即可，属于常考题型.
20、（1）；（2）7.
【解析】
试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在中，∵，∴
∴
（II）在中，由正弦定理得：
在中，由余弦定理得：
∴
考点：正弦定理与余弦定理．
21、（1）14981m（2）
【解析】
（1）先求出飞机在150秒内飞行的距离，然后由正弦定理可得；
（2）飞机，山顶的海拔的差为，则山顶的海拔高度为．
【详解】
解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为，
在中，由正弦定理，有，
∴；
（2）飞机，山顶的海拔的差为，
，
即山顶的海拔高度为．
本题主要考查正弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．