2024-2025学年河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中数学高一第二学期期末学业质量监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数，又在上递增的函数的个数是（ ）.
①；②；③；④向右平移后得到的函数.
A． B． C． D．
3．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
4．已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
5．圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
6．在锐角中，角的对边分别为. 若，则角的大小为( )
A． B．或 C． D．或
7．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中个零件的长度，在这个工作中，个零件的长度是（ ）
A．总体 B．个体 C．样本容量 D．总体的一个样本
8．曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
9．某程序框图如图所示，若输出的结果为，则判断框内应填入的条件可以为（ ）

A． B． C． D．
10．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中 分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．
12．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
13．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

14．若两个向量与的夹角为，则称向量“”为向量的“外积”，其长度为.若已知，，，则 .
15．设满足约束条件，则的最小值为__________．
16．在数列中，，是其前项和，当时，恒有、、成等比数列，则________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
18．已知数列中，， ，数列满足。
（1）求证：数列为等差数列。
（2）求数列的通项公式。
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.

（1）①证明：；
②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；
（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.
20．一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．

轿车
轿车
轿车
舒适型
100
150

标准型
300
450
600
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数， 记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，求周长的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.
【详解】
在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.
又长方体体对角线等于外接球直径,故.
故外接球体积

故选：D
本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题.
2、B
【解析】
将①②③④中的函数解析式化简，分析各函数的奇偶性及其在区间上的单调性，可得出结论.
【详解】
对于①中的函数，该函数为偶函数，当时，，该函数在区间上不单调；
对于②中的函数，该函数为偶函数，且在区间上单调递减；
对于③中的函数，该函数为偶函数，且在区间上单调递增；
对于④，将函数向右平移后得到的函数为，该函数为奇函数，且当时，，则函数在区间上不单调.
故选：B.
本题考查三角函数单调性与奇偶性的判断，同时也考查了三角函数的相位变换，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于中等题.
3、A
【解析】
首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.
【详解】
解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，

由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.
故实数的取值范围是.
故选：A.
本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4、A
【解析】
设D是BC的中点，由，，知，所以点P的轨迹是射线AD，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【详解】
如图，设D是BC的中点，
∵，
，
∴，
即
∴点P的轨迹是射线AD，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选：A．
本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5、A
【解析】
根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程.
【详解】
圆心为(-1,0),半径为，
则圆的方程为
故选：A
本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题.
6、A
【解析】
利用正弦定理，边化角化简即可得出答案．
【详解】
由及正弦定理得，又，
所以，所以，又，所以．
故选A
本题考查正弦定理解三角形，属于基础题．
7、D
【解析】
根据总体与样本中的相关概念进行判断.
【详解】
由题意可知，在这个工作中，个零件的长度是总体的一个样本，故选D.
本题考查总体与样本中相关概念的理解，属于基础题.
8、D
【解析】
首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.
【详解】
首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.
故选D.
本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.
9、D
【解析】
由已知可得，该程序是利用循环结构计算输出变量S的值，模拟过程分别求出变量的变化情况可的结果.
【详解】
程序在运行过程中，判断框前的变量的值如下：k=1,S=1;k=2,S=4;k=3,S=11,k=4,S=26;此时应该结束循环体，并输出S的值为26，所以判断框应该填入条件为：
故选D
本题主要考查了程序框图，属于基础题.
10、A
【解析】
试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以．
考点：两条直线平行的条件．
点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．
【详解】
因为，所以
整理可得 ，由正弦定理得
因为，
所以
所以当时，的面积的最大值为
本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．
12、2
【解析】
试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α，
则扇形面积为S=αr2=α×22=4
解得：α=2
考点：扇形面积公式．
13、
【解析】
试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，
四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，
这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，
考点：三视图
点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．
14、3
【解析】

故答案为3.
【点评】
本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，
15、-1
【解析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】
由x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立，解得A（﹣1，1）．
∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣1．
故答案为：﹣1．

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16、.
【解析】
由题意得出，当时，由，代入，化简得出，利用倒数法求出的通项公式，从而得出的表达式，于是可求出的值.
【详解】
当时，由题意可得，即，
化简得，得，
两边取倒数得，，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，，
则，
因此，，故答案为：.
本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用转化为的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果；
（Ⅱ）先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解析：（Ⅰ）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（Ⅱ） ， ∴

上述两式相减 可得
∴=
本题考查等比数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题．
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）将题目过给已知代入进行化简，结合的表达式，可证得为等差数列；（2）利用（1）的结论求得的通项公式，代入求得的通项公式.
【详解】
（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。
（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。
本小题第一问考查利用数列的递推公式证明数列为等差数列，然后利用这个等差数列来求另一个等差数列的通项公式.在解题过程中，只需要牢牢把握住等差数列的定义，利用等差数列的定义来证明.
19、（1）①见解析；②见解析，；（2）.
【解析】
（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；
（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．
【详解】
（1）①，，，，
，，，，
，
，
；
②由知，点为四边形外接圆的圆心，
，，，
，四边形外接圆的圆心为的中点，
点的坐标为；
（2）由两点间的距离公式可得，，，，
过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，
，
设的坐标为，则，，
，，
点的坐标为．
本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20、（1）400；（2）；（3）
【解析】
（1）由分层抽样按比例可得；
（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．
（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．
【详解】
（1）由题意，解得；
（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．
（3）由题意，
满足的有共6个，
函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，
∴所求概率为．
本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据辅助角公式和的范围，得到的值；
（2）利用余弦定理和基本不等式，得到的范围，结合三角形三边关系，从而得到周长的取值范围.
【详解】
（1）因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得

由基本不等式可知，
又，所以
解得，
根据三角形三边关系得，即，
故
所以周长的范围为.
本题考查辅助角公式，余弦定理解三角形，基本不等式求最值，三角形三边关系，属于中档题.