2025届黑龙江省哈尔滨三十二中高一下数学期末检测模拟试题含解析.doc

2025届黑龙江省哈尔滨三十二中高一下数学期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
2．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．已知数列满足：，，则该数列中满足的项共有（ ）项
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．-3
5．在中，，则此三角形解的情况是( )
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
6．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）

A． B． C． D．
9．在直角坐标系中，已知点，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．已知扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．
12．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．
13．函数，的值域是________．
14．若x、y满足约束条件，则的最大值为________.
15．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.
16．异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为___________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆,圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的方程;
(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.
(i)求的坐标;
(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)请确定是否是数列中的项?
19．已知数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
20．已知的三个顶点为.
（1）求过点且平行于的直线方程；
（2）求过点且与、距离相等的直线方程.
21．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】

如图所示，设，则弧长，线段，作 于 当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.
2、B
【解析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
3、C
【解析】
利用累加法求出数列的通项公式，然后解不等式，得出符合条件的正整数的个数，即可得出结论.
【详解】
，，
，
解不等式，即，即，，则或.
故选：C.
本题考查了数列不等式的求解，同时也涉及了利用累加法求数列通项，解题的关键就是求出数列的通项，考查运算求解能力，属于中等题.
4、A
【解析】
已知等式左边用诱导公式变形后用正弦和二倍角公式化简，右边用切化弦法变形，再由二倍角公式化简后可得．
【详解】
，
，
∴，．
故选：A．
本题考查诱导公式，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握三角函数恒等变形公式，确定选用公式的顺序是解题关键．
5、B
【解析】
由题意知，，，，∴，如图：

∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．
6、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．
【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1） 
∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ）， 
∴ = + =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） 
= + =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1） 
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0 
∴  
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 
因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B. 
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
7、C
【解析】
由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.
【详解】
解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；
必要性：在△中，由及正弦定理，可得，
可得,,故，必要性成立；
故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，
故选C.
本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.
8、B
【解析】
试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．
考点：几何概型．
9、B
【解析】
求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d，再求出，代入即可得解.
【详解】
，即，
点到直线的距离，
，
的面积为：.
故选：B
本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题.
10、A
【解析】
设半径为，圆心角为，根据扇形面积公式，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】
设半径为，圆心角为，则对应扇形面积，
又，，
则
故选A.
本题主要考查由扇形面积求圆心角的问题，熟记扇形面积公式即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可
【详解】
根据，即，故，或，
∵在区间（且）上至少含有30个零点，
∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），
∴的最小值为，
故答案为：
本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。
12、
【解析】
根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．
【详解】
∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2
∴圆锥的高，
底面半径.
∴这个圆锥的表面积：
.
故答案为．

本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13、
【解析】
利用正切函数在单调递增，求得的值域为.
【详解】
因为函数在单调递增，
所以，，故函数的值域为.
本题考查利用函数的单调性求值域，注意定义域、值域要写成区间的形式.
14、18
【解析】
先作出不等式组所表示的平面区域，再观察图像即可得解.
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
由图可得：目标函数所在直线过点时，取最大值，
即，
故答案为： .

本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.
15、
【解析】
首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程.
【详解】
当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，
当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短，
圆：，圆心，
, ,
直线方程是，即，
故填：.
本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型.
16、
【解析】
将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.
故答案为：

本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）（i）,（ii）见解析
【解析】
(1)根据题意，将问题转化为关于直线的对称点即可得到，半径不变，从而得到方程；
(2) (i) 设，由于弦长和距离都相等，故P到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；
(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断.
【详解】
（1）设，因为圆与圆关于直线对称，，
则直线与直线垂直，中点在直线上，得
解得所以圆.
（2）（i）设的方程为，即；
的方程为，即.
因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，
所以到的距离与到的距离相等，即，
所以或.
由题意，到直线的距离，
所以不满足题意，舍去，
故，点坐标为.
（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
证明如下：
当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的半径；
当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.
当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即.
因为到的距离，
到的距离，所以到的距离与到的距离相等.
所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.
综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.
18、（1）（2）是数列中的第项
【解析】
(1)直接利用等差数列的公式计算得到通项公式.
(2)将3998代入通项公式，是否有整数解.
【详解】
(1)设数列的公差为，
由题意有，解得
则数列的通项公式为，
(2)假设是数列中的项，有，得，故是数列中的第项
本题考查了等差数列的公式，属于简单题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)本题可令求出的值，然后令求出，即可求出数列的通项公式；
(2)首先可令，然后根据错位相减法即可求出数列的前项和。
【详解】
(1)当，，得.
当时，，,
两式相减，得，化简得，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以。
(2)由(1)可知，令，
则①，
两边同乘以公比，得到②，
由①②得：

所以。
本题主要考查了数列通项的求法以及数列前项和的方法，求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等；求数列前项和常用的方法有：错位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法等，属于中等题。
20、 (1)；(2).
【解析】
（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.
【详解】
（1）由、两点的坐标可得，
因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为
由点斜式方程可得目标直线方程为
整理得.
（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为
又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.
综上所述，满足题意的直线方程为.
本题考查直线方程的求解，属基础题.
21、 (1)见证明；(2)
【解析】
(1)根据EF是△BDP的中位线可知EF∥DP，即可利用线线平行得出线面平行；(2) 取AB中点O,连接PO，DO，可证明∠PDO为DP与平面ABCD所成角，在Rt△DOP中求解即可.
【详解】
(1)因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．
因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，
所以EF∥DP．又DP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．
(2)取AB中点O,连接PO，DO

∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO，
∠PDO为DP与平面ABCD所成角，
在Rt△DOP中，sin∠PDO=,
∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为
本题主要考查了线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题.