2025年上海市浦东新区洋泾中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年上海市浦东新区洋泾中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知变量，满足约束条件则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在前项和为的等差数列中，若，则=( )
A． B． C． D．
6．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）

A．90° B．45° C．60° D．30°
8．若，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知圆与圆有3条公切线，则（ ）
A． B．或 C． D．或
10．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（　）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为_________
12．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的标准差为__________.
13．三棱锥的各顶点都在球的球面上，，平面，，，球的表面积为，则的表面积为_______．
14．在等比数列中，，则__________．
15．若把写成的形式，则______.
16．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍.求直线l的方程.
18．已知直角梯形中， ， ， ， ， ，过作，垂足为， 分别为的中点，现将沿折叠，使得．
（1）求证：
（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

19．已知.
（Ⅰ）化简； （Ⅱ）已知，求的值．
20．如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：

（1）平面；
（2）.
21．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值;
（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，
最大，由题意知当直线过和两条直线交点时
考点：线性规划的应用.
【详解】
请在此输入详解！
2、B
【解析】
根据的取值进行分类讨论，去掉中绝对值符号，转化为分段函数，利用正弦函数的图象即可得解.
【详解】
当时，；
当时，.
因此，函数的图象是B选项中的图象.
故选：B.
本题考查正切函数与正弦函数的图象，去掉绝对值是关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
3、D
【解析】
先由题意设所求直线为：，再由直线过点，即可求出结果.
【详解】
因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为：，
又所求直线过点，
所以，解得，
所求直线方程为：.
故选：D
本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.
4、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】
已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
5、C
【解析】
利用公式的到答案.
【详解】
项和为的等差数列中，
故答案选C
本题考查了等差数列的前N项和，等差数列的性质，利用可以简化计算.
6、B
【解析】
利用正弦定理得到答案.
【详解】

故答案为B
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
7、A
【解析】
取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.
【详解】
取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.

在中，
，故本题选A.
本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.
8、D
【解析】
根据所给等量关系,用表示出可得.代入中,构造基本不等式即可求得的最小值.
【详解】
因为,
所以变形可得
所以

由基本不等式可得
当且仅当时取等号,解得
所以的最小值为
故选:D
本题考查了基本不等式求最值的应用,注意构造合适的基本不等式形式,属于中档题.
9、B
【解析】
由两圆有3条公切线，可知两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，求解即可.
【详解】
由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.
本题考查了两圆外切的性质，考查了计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果．
【详解】
由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C．
本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意可得三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，由余弦定理可得 cosθ 的值，即可求得θ的值．
【详解】
根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3，5，7的三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，
则由余弦定理可得 cosθ，∴θ＝，
故答案为：C．
本题主要考查余弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
12、11
【解析】
根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．
【详解】
根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：11.
本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差，标准差.
13、
【解析】
根据题意可证得，而，所以球心为的中点．由球的表面积为，即可求出，继而得出的值，求出三棱锥的表面积．
【详解】
如图所示：
∵，平面，∴，又，故球心为的中点．
∵球的表面积为，∴，即有．
∴，．
∴，，
，．
故的表面积为．
故答案为：．
本题主要考查三棱锥的表面积的求法，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．
14、
【解析】由题设可得，则，应填答案。
15、
【解析】
将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
本题考查弧度与角度的互化，象限角的表示，属于基础题．
16、
【解析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果.
【详解】
本题主要考查空间几何体的表面积与体积．
长方体的体对角线是长方体外接球的直径,
设球的半径为，则,
可得，球的表面积
故答案为.
本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
求出直线的倾斜角，可得所求直线的倾斜角，从而可得斜率，再利用点斜式可得结果.
【详解】
因为直线的斜率为， 所以其倾斜角为30°，
所以，所求直线的倾斜角为60°故所求直线的斜率为 ，
又所求直线经过点，
所以其方程为 ，
即，
故答案为：.
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
18、（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：面面 ；（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下先计算 再求得，
，再证面面 面．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得：面面

（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取中点，连接
容易计算
在 中∵ 可知，
∴在中，
又在中，为中点面 ，
∴面 面．

19、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）5分
（Ⅱ）10分
考点：三角函数化简求值
点评：三角函数化简主要考察的是诱导公式，如
等，本题难度不大，需要学生熟记公式
20、 (1)见解析.(2)见解析.
【解析】
（1）先取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据线面垂直的判定定理先证明平面，再由线面垂直的性质，即可得到.
【详解】
（1）取的中点，连接，可得，且.
平面，平面，.
又，，且，
∴四边形是平行四边形，
.又平面，平面，
平面.
（2）在中，，为的中点，
.
是正三角形，为的中点，
，.
平面，∴四边形是矩形，，
又，平面.
又平面，.
，平面.
又平面，.

本题主要考查线面平行以及线面垂直，熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.
21、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;
（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;
（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.
【详解】
（1）由直方图可得:

（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.
直方图可得:
可得:

辆纯电动汽车续驶里程的中位数.
（3） 续驶里程在的车辆数为:
续驶里程在第五组的车辆数为.
从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，
其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，
其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.
本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.